Soal dan Pembahasan Pemodelan Bidang Biologi PDF

Preview

Summary

SOAL DAN PEMBAHASAN PEMODELAN DALAM BIDANG BIOLOGI LAJU PERTUMBUHAN POPULASI (MODEL DISKRET, MODEL KONTINU, MODEL BERGANTUNG KEPADATAN) 1. Dimisalkan laju kelahiran suatu kehidupan adalah 221 tiap 1000 (tiap tahun) dan laju kematian 215 tiap 1000 (tiap tahun) dan diketahui bahwa pada tahun 1950 besa...

Description

SOAL DAN PEMBAHASAN PEMODELAN DALAM BIDANG BIOLOGI

LAJU PERTUMBUHAN POPULASI (MODEL DISKRET, MODEL KONTINU, MODEL BERGANTUNG KEPADATAN) 1.

Dimisalkan laju kelahiran suatu kehidupan adalah 221 tiap 1000 (tiap tahun) dan laju kematian 215 tiap 1000 (tiap tahun) dan diketahui bahwa pada tahun 1950 besar populasi 2000. Tentukan besar populasi pada tahun 1988. Jawab: Diketahui: 𝑏 (𝑡 ) =

221

1000

; 𝑑 (𝑡 ) =

215

1000

; 𝑡0 = 1950; ∆𝑡 = 1 tahun;

𝑁(1950) = 𝑁0 = 2000; 𝑡 = 1988

Ditanyakan: 𝑁(𝑡) = 𝑁(1988) =? Penyelesaian:

Mencari laju pertubuhan 𝑅0 = 𝑅(𝑡) dimana:

𝑅0 = 𝑏(𝑡) − 𝑑(𝑡) =

221 215 6 − = = 0,006 1000 1000 1000

Kemudian substitusi 𝑅0 = 0,006 dan yang sudah diketahui pada persaaan:

𝑁(1988) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

= 2000(1 + 0,006(1))

= 2000(1 + 0,006)38

1988−1950 1

= 2510,459

Jadi besar populasi pada tahun 1988 adalah 2511.

2.

Suatu kehidupan mempunyai laju pertumbuhan 𝑎% tiap tahun dan diketahui bahwa besar populasi pada awal pengamatan adalah 𝑁0 . Kapan besar populasi menjadi dua kali lipat? Jawab:

Diketahui: 𝑅0 = 𝑎% = 0,0𝑎; ∆𝑡 = 1; 𝑁(𝑡0 ) = 𝑁0 ; 𝑁(𝑡) = 2𝑁0

Ditanya: 𝑡 − 𝑡0 ? Penyelesaian:

𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)𝑡−𝑡0 2𝑁0 = 𝑁0 (1 + 0,0𝑎)𝑡−𝑡0 2 = (1 + 0,0𝑎)𝑡−𝑡0

log 2 = log(1 + 0,0𝑎)𝑡−𝑡0

log 2 = (𝑡 − 𝑡0 ) log(1 + 0,0𝑎) Nafida Hetty Marhaeni

𝑡 − 𝑡0 =

log 2 log(1 + 0,0𝑎)

𝑡 = 𝑡0 +

0,301

log(1+0,0𝑎)

0,301

Jadi besar populasi akan menjadi dua kali lipat saat 𝑡 = 𝑡0 + log(1+0,0𝑎) 3.

Diketahui bahwa 20 tahun yang lalu jumlah penduduk suatu desa adalah 2000 orang, sedang laju pertumbuhan penduduk desa tersebut dapat dianggap diskrit dan proporsional terhadap jumlah penduduk. Bila diketahui saat ini jumlah penduduk desa tersebut adalah 6000 orang, tentukan: a. Laju pertumbuhan populasi penduduk desa tersebut. b. Model matematika untuk besar populasi penduduk desa tersebut berdasarkan hasil a. Jawab: Diketahui: 𝑡 − 𝑡0 = 20; 𝑁(𝑡0 ) = 2000; 𝑁(𝑡) = 6000; ∆𝑡 = 1 Ditanya: (a) 𝑅0 (b) 𝑁(𝑡) Penyelesaian:

𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

6000 = 2000(1 + 𝑅0 . 1)20 6000 2000

= (1 + 𝑅0 )20

3 = (1 + 𝑅0 )20

log 3 = log(1 + 𝑅0 )20

log 3 = 20 log(1 + 𝑅0 ) 1

20

log 3 = log(1 + 𝑅0 ) 1

log 320 = log(1 + 𝑅0 ) 1

320 = 1 + 𝑅0

𝑅0 = 1,0056 − 1 𝑅0 = 0,056

Diperoleh 𝑅0 = 0,056, selanjutnya akan dicari model matematikanya yaitu 𝑁(𝑡) 𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

= 2000(1 + 0,056.1) = 2000(1,056)𝑡−𝑡0

𝑡−𝑡0 1

Jadi model matematikanya adalah 𝑁(𝑡) = 2000(1,056)𝑡−𝑡0

Nafida Hetty Marhaeni

4.

Populasi penduduk di Amerika diketahui meningkat dengan laju yang proposional dengan jumlah penduduk yang sekarang hidup. Dalam tahun 1890 jumlah penduduk Amerika 3,93 juta penduduk kemudian pada tahun 1990 jumlah penduduknya menjadi 62,95 juta jiwa. Perkiraan pertumbuhan penduduk Amerika sebagai fungsi dari waktu adalah... Jawab: Diketahui: 𝑡 − 𝑡0 = 1990 − 1890 = 100; 𝑁(𝑡0 ) = 𝑁(1890) = 3,93; 𝑁(𝑡) = 𝑁(1990) = 62,95; ∆𝑡 = 1 Ditanya: 𝑁(𝑡)

Penyelesaian:

𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

62,95 = 3,93(1 + 𝑅0 . 1)100

62,95 3,93

= (1 + 𝑅0 )100

16,018 = (1 + 𝑅0 )100

log 16,018 = log(1 + 𝑅0 )100

log 16,018 = 100 log(1 + 𝑅0 ) 1

100

log 16,018 = log(1 + 𝑅0 ) 1

log 16,018100 = log(1 + 𝑅0 ) 1

16,018100 = 1 + 𝑅0

𝑅0 = 1,028 − 1 𝑅0 = 0,028

Diperoleh 𝑅0 = 0,028 , selanjutnya akan dicari model matematikanya yaitu 𝑁(𝑡) 𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

= 3,93(1 + 0,028 .1)

= 3,93(1,028 )𝑡−𝑡0

𝑡−𝑡0 1

Jadi model matematikanya adalah 𝑁(𝑡) = 3,93(1,028 )𝑡−𝑡0

5.

Hasil penelitian terhadap pertumbuhan populasi bakteri diketahui bahwa setelah selang waktu 8 jam besar populasi menjadi dua kali besar populasi mula-mula. Tentukan laju pertumbuhan populasi tersebut. Jawab: Diketahui: 𝑡 − 𝑡0 =8 jam dan 𝑁(𝑡) = 2𝑁(𝑡0 ) = 2𝑁0 Ditanya: 𝑅0 ?

Penyelesaian: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 ) 2𝑁0 = 𝑁0 𝑒 𝑅0 8

Nafida Hetty Marhaeni

2 = 𝑒 𝑅0 8

ln 2 = ln 𝑒 𝑅0 8

ln 2 = 𝑅0 8 ln 𝑒

0,693 = 𝑅0 8 (1)

𝑅0 =

0,693 8

= 0,087

Jadi laju pertumbuhan populasi bakteri tersebut adalah 0,087.

6.

Laju pertumbuhan bakteri adalah proporsional terhadap besar populasi. Bila diketahui besar populasi pada awal pengamatan adalah 1000 bakteri dan setelah 1 jam kemudian menjadi 1500 bakteri. Tentukan besar populasi bakteri setelah 24 jam sejak awal pengamatan. Jawab: Diketahui: 𝑁0 = 1000; 𝑁(𝑡) = 1500; 𝑡 − 𝑡0 = 1 jam

Ditanya: 𝑅0 ?

Penyelesaian: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 ) 1500 = 1000𝑒 𝑅01 3 2

= 𝑒 𝑅0 3

ln = ln 𝑒 𝑅0 2

0,405 = 𝑅0 ln 𝑒 0,405 = 𝑅0 (1) 𝑅0 = 0,405

Diperoleh laju pertumbuhan populasi bakterinya adalah 𝑅0 = 0,405 sehingga jumlah bakteri setelah 24 jam sejak awal pengamatan adalah: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 )

𝑁(24) = 1000𝑒 0,405(24)

Karena sejak awal pengamatan maka 𝑁0 = 1000 dan 𝑡 − 𝑡0 = 24

= 1000𝑒 9,72 = 1000(16647,2447) = 16647244,7 = 1,66472447 × 107

Jadi, jumlah populasi setelah 24 jam pengamatan adalah 1,66472447 × 107 bakteri. 7.

Diketahui bahwa 20 tahun yang lalu jumlah penduduk suatu desa adalah 2000 orang, sedang laju pertambahan penduduk desa tersebut di anggap kontinu dan proporsional terhadap jumlah penduduk. Bila diketahui saat ini jumlah penduduk desa tersebut 600 orang. a. Tentukan laju pertumbuhan populasi penduduk desa tersebut b. Tentukan model matematika untuk besar populasi penduduk desa tersebut berdasarkan nilai a

Nafida Hetty Marhaeni

Jawab: Diketahui: 𝑡 − 𝑡0 = 20; 𝑁(𝑡0 ) = 2000; 𝑁(𝑡) = 600; Ditanya: (a) 𝑅0 (b) 𝑁(𝑡) Penyelesaian:

𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 )

600 = 2000𝑒 𝑅0 (20) 0,3 = 𝑒 20𝑅0

ln 0,3 = ln 𝑒 20𝑅0

0,3 = 20𝑅0 ln 𝑒 0,015 = 𝑅0 (1)

Gunakan sifat ln 𝑎𝑏 = 𝑏 ln 𝑎

𝑅0 = 0,015

Diperoleh laju pertumbuhan populasi penduduknya adalah 𝑅0 = 0,015 sehingga model matematikanya

𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 )

= 2000𝑒 0,015(𝑡−𝑡0 )

Jadi, model matematika untuk besar populasi adalah 𝑁(𝑡) = 2000𝑒 0,015(𝑡−𝑡0 )

8.

Laju pertumbuhan suatu jenis bakteri tidak diketahui, tetapi dianggap konstan dan kontinu. Apabila pada awal penelitian diketahui bahwa besar populasi 200 dan setelah satu jam kemudian berkembang menjadi 6500. Berapakah akan diduga besar populasi bakteri tersebut setelah empat jam sejak penelitian dimulai. Jawab: Diketahui: 𝑁0 = 200; 𝑁(𝑡) = 6500; 𝑡 − 𝑡0 = 1 jam

Ditanya: 𝑅0 dan 𝑁(4) Penyelesaian:

𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 ) 6500 = 200𝑒 𝑅0 1 6500 200

= 𝑒 𝑅0

32,5 = 𝑒 𝑅0

ln 32,5 = ln 𝑒 𝑅0

ln 32,5 = 𝑅0 ln 𝑒

3,48124 = 𝑅0

Diperoleh laju pertumbuhan populasi bakterinya adalah 𝑅0 = 3,48124 sehingga jumlah bakteri setelah 4

jam sejak awal pengamatan adalah: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 )

𝑁(4) = 200𝑒 3,48124(4)

Karena sejak awal pengamatan maka 𝑁0 = 200 dan 𝑡 − 𝑡0 = 4

Nafida Hetty Marhaeni

𝑁(4) = 200𝑒 9,72 = 200(1115663,66) = 223132732

Jadi, jumlah populasi setelah 4 jam pengamatan adalah 2,23132732 × 108 bakteri. 9.

Suatu populasi bakteri mula-mula sebesar 𝑁0 dengan laju pertumbuhan konstan 𝑅0 . Setelah selang waktu

𝑡0 jam populasi tersebut dipindah ke medium lain sehingga laju pertumbuhannya menjadi 𝑅1 (konstan). Tentukan model untuk populasi tersebut. Jawab: Untuk menyelesaikan model matematika permasalahan di atas dapat diadakan asumsi bahwa 𝑁0 cukup

besar dan rata-rata waktu generasi bakteri cukup kecil, sehingga 𝑁(𝑡) dapat dianggap kontinu terhadap 𝑡.

Dengan demikian bentuk model matematika untuk populasi bakteri tersebut dapat diturunkan dari persamaan:

Dengan 𝑅 konstan dan

𝑅 = 𝑅0 , 0 < 𝑡 ≤ 𝑡0 𝑅 = 𝑅1 , 𝑡 > 𝑡0

𝑑𝑁𝑡 = 𝑅𝑁(𝑡) 𝑑𝑡

Diberikan syarat awal 𝑁(0) = 𝑁0

Masalah syarat batas di atas mempunyai penyelesaian 𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 𝑡

Dan

𝑁 (𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 𝑇0 +𝑅1 (𝑡−𝑡0 )

, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 , 𝑡 > 𝑡0

Jadi persamaan ini merupakan bentuk model matematika untuk populasi bakteri tersebut.

10. Suatu hewan diselidiki akan berjumlah 4 kali lipat dalam waktu 10 tahun. Tentukan jumlah hewan dalam jangka waktu 20 tahun (diskret). Jawab: Diketahui: (1) ∆𝑡 = 1; (2)𝑡 − 𝑡0 = 10 → 𝑁(𝑡0 ) = 𝑁0 ; (3)𝑁(𝑡) = 4𝑁0 Ditanya: 𝑡 − 𝑡0 = 20 → 𝑁(𝑡) … ? Penyelesaian:

𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡) 10

4𝑁0 = 𝑁0 (1 + 𝑅0 1) 1

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

4 = (1 + 𝑅0 )10

log 4 = log(1 + 𝑅0 )10

log 4 = 10 log(1 + 𝑅0 ) 1

10

log 4 = log(1 + 𝑅0 )

Nafida Hetty Marhaeni

1

log 410 = log(1 + 𝑅0 ) 1

410 = 1 + 𝑅0

𝑅0 = 1,1487 − 1 𝑅0 = 0,1487

Sehingga untuk 𝑡 − 𝑡0 = 20 banyaknya populasinya (𝑁(𝑡)) adalah:

𝑁 (𝑡 )

𝑁(20)

= 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

20

= 𝑁0 (1 + 0,1487.1) 1 = 𝑁0 (1,1487)20 = 16,0005𝑁0

Jadi jumlah hewan dalam jangka waktu 20 tahun adalah 𝑁(𝑡) = 16,0005𝑁0 11. Laju pertumbuhan sejenis bakteri tidak diketahui. Apabila 𝑁(𝑡) adalah besar populasi pada saat 𝑡 dan diberikan data 𝑁(0) = 100, 𝑁(1) = 120, 𝑁(2) = 160. Tentukan pendugaan besar populasi untuk 𝑡 = 4. Jawab:

Untuk lebih mudah memahami permasalahan ini disajikan dalam tabel berikut: 𝑡

0

𝑁(𝑡)

1

120

2

160

4

?

100

Mengingat nilai-nilai variabel 𝑡 yang diberikan adalah 𝑡 = 0,1,2,4 (diskret) maka model pertumbuhan populasi untuk bakteri tersebut adalah model diskret dengan persamaan: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

Laju pertumbuhan pertama, untuk 𝑡0 = 0 dan 𝑡 = 1 dengan 𝑁(0) = 𝑁0 = 100 dan 𝑁(𝑡) = 𝑁(1) = 120 𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

120 = 100(1 + 𝑅0 1) 120 100

= 1 + 𝑅0

𝑅0 =

120 100

𝑅0 = 0,2

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

1−0 1

−1

Laju pertumbuhan kedua, untuk 𝑡0 = 1 dan 𝑡 = 2 dengan 𝑁(1) = 𝑁0 = 120 dan 𝑁(𝑡) = 𝑁(2) = 160 𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

160 = 120(1 + 𝑅0 1)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

2−1 1

Nafida Hetty Marhaeni

160 120

= 1 + 𝑅0

𝑅0 = 0,333

Dari kedua nilai 𝑅0 yang diperoleh dicari nilai 𝑅0 rerata: 𝑅0 =

0,2 + 0,333 = 0,2667 2

Selanjutnya, akan dihitung pendugaan besar populasi untuk 𝑡 = 4 dengan 𝑡0 = 0; 𝑁(𝑡0 ) = 100

𝑁 (𝑡 )

= 𝑁0 (1 + 𝑅0 ∆𝑡)

𝑁 (4)

𝑡−𝑡0 ∆𝑡

= 100(1 + 0,2667.1) = 100(1,2667)4

4−0 1

= 257,4513 = 258

Jadi harga pendugaan besar populasi bakteri untuk 𝑡 = 4 adalah 𝑁(4) = 258 bakteri 12. Diketahui bahwa 20 tahun yang lalu jumlah penduduk suatu desa adalah 2000 orang, sedang laju pertumbuhan penduduk desa tersebut dapat dianggap kontinu dan merata terhadap jumlah penduduk. Bila diketahui saat ini jumlah penduduk desa tersebut adalah 6000 orang, tentukan: a. Laju pertumbuhan populasi penduduk desa tersebut. b. Model matematika untuk besar populasi penduduk desa tersebut berdasarkan hasil a. Jawab: Diketahui: 𝑡 − 𝑡0 = 20; 𝑁(𝑡0 ) = 2000; 𝑁(𝑡) = 6000; Ditanya: (a) 𝑅0 (b) 𝑁(𝑡) Penyelesaian:

𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 )

6000 = 2000𝑒 𝑅0(20) 6000 2000

= 𝑒 20𝑅0

ln 3 = ln 𝑒 20𝑅0

1,099 = 20𝑅0 ln 𝑒 1,099 20

= 𝑅0 (1)

Gunakan sifat ln 𝑎𝑏 = 𝑏 ln 𝑎

𝑅0 = 0,05495

Diperoleh laju pertumbuhan populasi penduduknya adalah 𝑅0 = 0,05495 sehingga model matematikanya 𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑅0 (𝑡−𝑡0 )

= 2000𝑒 0,05495(𝑡−𝑡0 )

Jadi, model matematika untuk besar populasi adalah 𝑁(𝑡) = 2000𝑒 0,05495(𝑡−𝑡0 ) Nafida Hetty Marhaeni

13.

Diberikan model pertumbuhan sebagai berikut: 𝑑𝑁 = 𝑎𝑁 2 − 𝑏𝑁 𝑑𝑡 Hitunglah solusi eksak dari persamaan tersebut. Jawab: 𝑑𝑁 = 𝑎𝑁 2 − 𝑏𝑁 𝑑𝑡 𝑑𝑁 = (𝑎𝑁 − 𝑏)𝑁 𝑑𝑡 𝑑𝑁 = 𝑑𝑡 (𝑎𝑁 − 𝑏)𝑁

∫

𝑑𝑁 = ∫ 𝑑𝑡 (𝑎𝑁 − 𝑏)𝑁

Penyelesaian: Gunakan integral pecah rasional 1

(𝑎𝑁−𝑏)𝑁 1

(𝑎𝑁−𝑏)𝑁

1

0𝑁 + 1

𝑥

= (𝑎𝑁−𝑏) + =

𝑦

𝑁

𝑥𝑁+𝑦(𝑎𝑁−𝑏) (𝑎𝑁−𝑏)𝑁

= 𝑥𝑁 + 𝑦𝑎𝑁 − 𝑦𝑏

= (𝑥 + 𝑦𝑎)𝑁 − 𝑦𝑏

Diperoleh:

−𝑦𝑏 = 1 → 𝑦 = −

1

𝑏

1

𝑥 + 𝑦𝑎 = 0 → 𝑥 = −𝑎𝑦 sehingga: 𝑥 = −𝑎 (− ) → 𝑥 = 𝑏

Jadi,

𝑎 𝑏

𝑎 1 − 1 𝑥 𝑦 𝑏 = + = + 𝑏 (𝑎𝑁 − 𝑏)𝑁 (𝑎𝑁 − 𝑏) 𝑁 (𝑎𝑁 − 𝑏) 𝑁

Maka: 𝑎 𝑏

𝑑𝑁

∫ (𝑎𝑁−𝑏)𝑁 = ∫ ( (𝑎𝑁−𝑏) + 𝑎

1

𝑎

(𝑎)( )

−

1 𝑏

𝑁

) 𝑑𝑁

1

1

1

1

= ∫ 𝑑𝑁 − ∫ 𝑑𝑁 𝑏 𝑎𝑁−𝑏 𝑏 𝑁 1

𝑎 𝑑𝑁 − ∫ 𝑁 𝑑𝑁 = ∫ 𝑎𝑁−𝑏 𝑏 𝑏

𝑎

1

= ( )∫ 𝑏 1

𝑎

𝑎

𝑎𝑁−𝑏

1

1

𝑑𝑁 − ∫ 𝑁 𝑑𝑁 𝑏 1

= 𝑏 ln|𝑎𝑁 − 𝑏| − 𝑏 ln|𝑁 | + 𝐶1

Sedangkan, ∫ 𝑑𝑡

= 𝑡 + 𝐶2 Nafida Hetty Marhaeni

Untuk itu, ∫

Misalkan 𝑡 = 0 → 𝑁(0) = 𝑁0 1

1

1 1 ln|𝑎𝑁 − 𝑏| − ln|𝑁| + 𝐶1 = 𝑡 + 𝐶2 𝑏 𝑏 1 1 ln|𝑎𝑁 − 𝑏| − ln|𝑁| = 𝑡 + 𝐶 (∗) 𝑏 𝑏

Maka: 𝐶 = ln|𝑎𝑁0 − 𝑏| − 𝑏 ln|𝑁0 | 𝑏

𝑑𝑁 = ∫ 𝑑𝑡 (𝑎𝑁 − 𝑏)𝑁

1 1 ln|𝑎𝑁0 − 𝑏| − ln|𝑁0 | = 0 + 𝐶 𝑏 𝑏 (**)

Substitusi (**) pada (*)

1 1 1 1 ln|𝑎𝑁 − 𝑏| − ln|𝑁| = 𝑡 + ln|𝑎𝑁0 − 𝑏| − ln|𝑁0 | 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 1 1 1 1 ln|𝑎𝑁 − 𝑏| − ln|𝑎𝑁0 − 𝑏| + ln|𝑁0 | − ln|𝑁| = 𝑡 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 1 1 (ln|𝑎𝑁 − 𝑏| − ln |𝑎𝑁0 − 𝑏 |) + (ln|𝑁0 | − ln |𝑁|) = 𝑡 𝑏 𝑏 𝑎𝑁 − 𝑏 1 𝑁0 1 ln | | + ln | | = 𝑡 𝑎𝑁0 − 𝑏 𝑏 𝑁 𝑏 𝑎𝑁 − 𝑏 𝑁0 1 ln | || | = 𝑡 𝑎𝑁0 − 𝑏 𝑁 𝑏 𝑎𝑁 − 𝑏 𝑁0 ln | | | | = 𝑏𝑡 𝑎𝑁0 − 𝑏 𝑁

ln |

𝑎𝑁 − 𝑏 𝑁0 | | | = ln 𝑒 𝑏𝑡 𝑎𝑁0 − 𝑏 𝑁 𝑁0 𝑎𝑁 − 𝑏 = 𝑒 𝑏𝑡 𝑁 𝑎𝑁0 − 𝑏

𝑁0 (𝑎𝑁 − 𝑏) = 𝑁(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 𝑁=

𝑁=

𝑁−

𝑁=

𝑁0 (𝑎𝑁 − 𝑏) (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡

𝑁0 𝑎𝑁 − 𝑁0 𝑏 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡

𝑁0 𝑏 𝑁0 𝑎𝑁 − 𝑏𝑡 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒

𝑁0 𝑎𝑁 𝑁0 𝑏 =− 𝑏𝑡 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡

𝑁 (1 −

𝑎𝑁0 𝑁0 𝑏 ) = − (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 Nafida Hetty Marhaeni

𝑁(

(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 − 𝑎𝑁0 𝑁0 𝑏 )=− 𝑏𝑡 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒

𝑁(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 − 𝑎𝑁0 ) = −(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡

𝑁(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 − 𝑎𝑁0 ) = −(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡

𝑁0 𝑏 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡

𝑁0 𝑏 (𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡

𝑁(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 − 𝑎𝑁0 ) = −𝑁0 𝑏

𝑁0 𝑏 = −𝑁(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 − 𝑎𝑁0 ) 𝑁=

Jadi solusi eksaknya adalah 𝑁 =

𝑁0 𝑏 −(𝑎𝑁0 − 𝑏)𝑒 𝑏𝑡 − 𝑎𝑁0 )

𝑁= 𝑁0 𝑏

𝑁0 𝑏

𝑎𝑁0 −(𝑎𝑁0 −𝑏)𝑒 𝑏𝑡

𝑎𝑁0 −(𝑎𝑁0 −𝑏)𝑒 𝑏𝑡

Nafida Hetty Marhaeni...