Solución Clase integral para PC1 2021-2 PDF

Preview

Summary

Matemática Analítica 3-MA 654 Ciclo 2021- 02Clase Integral para la PC  Contenidos: Números complejos, planos, superficies, descripción de regiones en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.  Orientaciones: Tener en cuenta las siguientes recomendaciones. La PC1 será en forma virtual en la...

Description

Matemática Analítica 3-MA654 Ciclo 2021-02 Clase Integral para la PC1 

Contenidos: Números complejos, planos, superficies, descripción de regiones en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Orientaciones: Tener en cuenta las siguientes recomendaciones. La PC1 será en forma virtual en la segunda sesión de clase de la semana 4 La tolerancia será de 20 minutos. Tener a la mano una calculadora ya sea física o virtual.



1. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas justificando apropiadamente.

a.

La región compleja |𝑧 − 1 + 𝑗| ≤ 2 es el circulo de centro (1; -1) y radio 2.

b. Se puede afirmar que los planos 𝒫1 : 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 4 = 0 ; 𝒫2 : −2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 − 6 = 0 son perpendiculares.

c.

Se puede afirmar que el punto 𝑃(−1; 3; 2) pertenece a la superficie cuya ecuación es 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑧 − 2 = 0.

2. Sea 𝐷 = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑒 𝑗𝜃 | ≥ 𝑅𝑒(𝑧) ∧ 𝑧. 𝑧 ≤ 1} una región en el plano complejo. Determine

el área de la región D.

3. Sea el sólido 𝐄 en el primer octante, limitada por las superficies: 𝑆1 : 𝑦 = 4 − 𝑥 2 ; 𝑆2 : 𝑥 + 𝑧 =

2; 𝑆3 : 𝑥 = 0 ; 𝑆4 : 𝑦 = 0 y 𝑆5 : 𝑧 = 0. Determine los enunciados correctos a. La proyección sobre el plano XZ es un triángulo de área 2 𝑢 2 . b. La curva intersección de las superficies 𝑆1 y 𝑆2 en el primer octante, es la curva que va del punto (2;0;0) al punto (0;4;2). c. Al proyectar el sólido 𝐄 sobre el plano coordenado XY, la variación de z es: 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑥 . d. La proyección del sólido 𝐄 sobre el plano coordenado XY es un círculo en el primer cuadrante. e. Las trazas de las superficies 𝑆1 y 𝑆2 se intersectan con el plano coordenado YZ en el punto (4;0;2).

4. Sea 𝐸 la región del primer octante limitada por las superficies 𝑆1 : 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦2

;

𝑆2 : 𝑧 = 4 − √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑆3 : 𝑦 = 2𝑥 𝑦 𝑆4 : 𝑦 = 𝑥. Describa el sólido 𝐄 en coordenadas cartesianas y cilíndricas.

5. Describa en coordenadas cartesianas la región 𝐄 en el espacio limitada por las superficies 2 2 S1 : x  y  1 y S 2 : z  y  1 . Considere la región 𝐄 en el primer octante.

6. Grafique la región en el primer octante limitada por las superficies 𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦2 , 𝑦 = 𝑥 ,

𝑥 = 0 y 𝑧 = 0. Describa la región en forma ordenada mostrando la proyección.

7. Sea un sólido 𝐄 limitado por las superficies de ecuaciones: 𝑆1 : 𝑧 = 1 − 𝑥 2 , 𝑆2 : 𝑦 + 𝑧 = 2,

𝑆3 : 𝑧 = 0 y 𝑆4 : 𝑦 = 0. Marque todas las alternativas correctas. a. La proyección del sólido 𝐄 con el plano XY es un cuadrado de área 4𝑢 2 . b. Las trazas de la superficie 𝑆1 con el plano coordenado XZ es una parábola. c. El punto (0; 2; 1) pertenece a la curva intersección entre 𝑆1 y 𝑆2 . d. Al describir el sólido 𝐄 proyectado sobre el plano XY, La descripción es un solo conjunto.

8. Sea un sólido 𝐄 que se encuentra dentro del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1,

abajo del plano 𝑧 = 4 y arriba del paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 . El sólido se muestra en la figura adjunta. Describa el sólido 𝐄 en forma ordenada usando coordenadas cartesianas y cilíndricas.

9. Dada la superficie cuadrática: 9𝑥 2 + 16𝑦 2 − 36𝑧 2 + 144 = 0. Marque la alternativa correcta

a. b. c. d.

La superficie es un paraboloide La superficie es un hiperboloide de una hoja La superficie es un hiperboloide de dos hojas. La superficie es un cono.

10. Una empresa fabrica piezas para almacenar una crema

facial, estas piezas se pueden representar como un 2 sólido limitado por las superficies 𝑧 = 4 − (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 3 y 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑧 − 3)2 = 4, tal como se muestra en la figura adjunta. Considere que las medidas en el sistema de coordenadas están dadas en centímetros. a. Identifique la curva intersección de las superficies dadas. b. Describa el sólido 𝑬.

11. Si la gráfica de la figura adjunta tuviese por ecuación: 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 = 1, entonces el

valor de la expresión 𝐴3 . 𝐵2 . 𝐶 3 ¿será negativo?

Ejercicios propuestos 1. Dada la superficie 𝑆, con ecuación 𝑥 2 + 𝑧2 + 2𝑦 = 1 + 𝑦 2 a. Identifique la superficie que representa. b. Determine los puntos de corte de 𝑆 con los ejes coordenados. c. Determine y grafique las trazas de 𝑆 en 𝑅 2 d. Esboce la gráfica de la superficie. 2. Dada la superficie 𝑆, con ecuación 𝑥 2 + 𝑦2 = 1 + (𝑧 − 1)2 a. Identifique la superficie. b. Determine los puntos de corte de 𝑆 con los ejes coordenados. c. Determine e identifique las trazas de 𝑆 d. Determine y esboce la gráfica de la sección plana de la superficie con respecto al plano 𝑧 = 3. e. Esboce la gráfica de la superficie. 3. Dada la superficie 𝑆, con ecuación 4(𝑧 − 1)2 − 4𝑥 2 = 4𝑦2 a. Identifique la superficie. b. Determine los puntos de corte de 𝑆 con los ejes coordenados. c. Determine y bosqueje la traza en el plano 𝑥𝑦 d. Determine y grafique la sección plana de la superficie para 𝑧 = 2 . e. Esboce la gráfica de la superficie. 4. Dada la superficie 𝑆, con ecuación 4 − 𝑧 2 = 𝑦 + 4𝑥 2 a. Identifique la superficie. b. Determine los puntos de corte de 𝑆 con los ejes coordenados. c. Determine y bosqueje la traza en el plano 𝑥𝑧. d. Determine y grafique la sección plana de la superficie para 𝑦 = 3. e. Esboce la gráfica de la superficie. 5. Dadas las superficies 𝑆1 : 𝑥 = 𝑦 2 + 2; 𝑆2 : 𝑦 + 𝑧 = 2; 𝑆3 : 𝑥 − 𝑦 = 0; restringidas al primer octante. a. Represente gráficamente la curva 𝐶 dada por la intersección de las superficies 𝑆2 y 𝑆3 e indique sus extremos. b. Represente gráficamente la curva 𝐶 dada por la intersección de las superficies 𝑆1 y 𝑆2 e indique sus extremos. 6. Dadas las superficies 𝑆1 : 𝑦 = 9 − 𝑥 2 y 𝑆2 : 𝑧 − 𝑥 = 0. Esboce el gráfico de las superficies y el gráfico de la curva intersección en el primer octante. Además, determine las coordenadas de los extremos de la curva. 7. Trace el sólido en el primer octante, que está limitado por el cilindro 𝑦 2 + 𝑥 = 4 y los planos 𝑥 + 2𝑧 = 6, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 y 𝑥 = 0. Luego, describa el sólido de forma ordenada como un conjunto de puntos de 𝑅 3 . 8. Grafique la región en el primer octante limitada por las superficies 𝑥 2 + 𝑦 2 = 80 − 𝑧2 , 𝑦 = 2𝑥 , 𝑧 = 0 y 𝑦 = 0. Describa la región en forma ordenada mostrando la proyección.

9. Describa en forma ordenada el sólido mostrado en la figura proyectándolo sobre dos planos diferentes

10. Dada la región 𝐄 en el primer octante, encerrada por el paraboloide 𝑧 = 9 − 𝑥 2 − 𝑦2 , y los planos 𝑥 + 3𝑦 = 3, 𝑧 = 0 y 𝑥 = 0. Represente gráficamente la región 𝐄 y descríbala en coordenadas cartesianas y cilíndricas. 11. Grafique la región en el primer octante, que está por debajo del cono 𝑧 = 12 − √𝑥 2 + 𝑦2 y dentro del cilindro 𝑥 = √49 − 𝑦 2 . Luego, descríbala en forma ordenada mostrando la proyección....