Solucionario 9 - loloollllllllllll PDF

Preview

Summary

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSESCUELA DE ESTUDIOS GENERALESÁREA INGENIERÍASolucionariopráctica Nº 09SECCIÓN 2CÁLCULO 12020 -ELABORADO POR:Amado Vargas, GyanfrancoDamian Lopez, Victoria FatimaGomez Hinojosa, Maria FernandaMendoza Espinoza, Alexander del PieroPaucar Vargas, Giovanni Jossepe1...

Description

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES ÁREA INGENIERÍA

Solucionario práctica Nº09 SECCIÓN 2 CÁLCULO 1 2020-1 ELABORADO POR: Amado Vargas, Gyanfranco Damian Lopez, Victoria Fatima Gomez Hinojosa, Maria Fernanda Mendoza Espinoza, Alexander del Piero Paucar Vargas, Giovanni Jossepe

1. Determina la derivada de las siguientes funciones polinómicas aplicando la definición. a. 𝑓(𝑥) =

3𝑥−4 2

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 2

𝑓′(2) = 𝑙𝑖𝑚𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) ℎ ℎ→0

3(2 + ℎ) − 4 3(2) − 4 − 2 2 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ ℎ→0 6 + 3ℎ − 4 − 6 + 4 ℎ→0 2ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

= 𝑙𝑖𝑚

3ℎ

ℎ→0 2ℎ

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = −1 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

=

3 2

𝑓(−1 + ℎ) − 𝑓(−1) ℎ→0 ℎ

𝑓′(−1) = 𝑙𝑖𝑚

(−1+ℎ) 3 −(−1)3 ℎ

(−1 + ℎ)3 − (−1)3 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ

ℎ3 − 3ℎ2 + 3ℎ − 1 − (−1) ℎ→0 ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ(ℎ2 − 3ℎ + 3) − 1 + 1 ℎ→0 ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

= 𝑙𝑖𝑚ℎ2 − 3ℎ + 3 ℎ→0

=3

c. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 4 𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(4) 𝑓′(4) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

(4 + ℎ − 2) 2 − (4 − 2) 2 ℎ

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

(2 + ℎ)2 − (2)2 ℎ

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ2 + 4ℎℎ+ 4 − 4 ℎ→0

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ(ℎ + 4) ℎ ℎ→0

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ + 4 ℎ→0

d. 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 +5 3

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = −2

=4

𝑓(−2 + ℎ) − 𝑓(−2) 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ

(−2 + ℎ) 2 + 5 − (−2)2 + 5 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 3ℎ

(−2 + ℎ) 2 + 5 − [(−2)2 + 5] 3ℎ ℎ→0

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ2 − 4ℎ + 4 + 5 − [4 + 5] 3ℎ ℎ→0

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ2 − 4ℎ + 9 − 9 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 3ℎ ℎ(ℎ − 4) ℎ→0 3ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ−4 ℎ→0 3

= 𝑙𝑖𝑚 =

−4 3

2. Determine la derivada de las siguientes funciones racionales aplicando la definición. a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥 = −2 𝑓(−2 + ℎ) − 𝑓(−2) 𝑓′(−2) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 6

6 6 − ( −2) −2 + ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ

(−2−+ 6(−2 ℎ)(−2) = 𝑙𝑖𝑚 6(−2) + ℎ) ℎ ℎ→0 = 𝑙𝑖𝑚 −12 − (12 + 6ℎ) ℎ→0 (−2 + ℎ)(−2)(ℎ)

−12 − 12 − 6ℎ ℎ→0 (−2 + ℎ)(−2)(ℎ)

= 𝑙𝑖𝑚

− 6ℎ ℎ→0 (−2 + ℎ)(−2)(ℎ)

= 𝑙𝑖𝑚

3 ℎ→0 (−2 + ℎ)

= 𝑙𝑖𝑚

b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥 = 2 3

=

−3 2

𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) ℎ→0 ℎ

𝑓′(2) = 𝑙𝑖𝑚

3 3 2(2 + ℎ) − 1 − 2(2) − 1 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 3 3 − 4 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 4 + 2ℎ − 1 ℎ→0 ℎ 3 3 3 + 2ℎ − 3 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ

3 − 1(3 + 2ℎ) ℎ→0 (3 + 2ℎ)(ℎ)

= 𝑙𝑖𝑚

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

3 − 3 − 2ℎ (3 + 2ℎ)(ℎ)

−2ℎ (3 + 2ℎ)(ℎ)

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

=

−2 3 + 2ℎ

−2 3

𝑐) 𝑓(𝑥) =

1

𝑥2

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1

Para hallar la derivada en la siguiente función racional aplicamos la definición 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ ℎ→0

𝑓 ′ (𝑥) = lim Reemplazando según la función:

1 1 ( 𝑥 + ℎ) 2 − 𝑥 2 lim ℎ→0 ℎ

Operando en aspa:

𝑥 2 − (𝑥 2 +ℎ2 + 2𝑥ℎ) 𝑥 2 (𝑥 + ℎ)2 lim ℎ→0 ℎ

Simplificando:

𝑥 2 −𝑥 2 − ℎ 2 − 2𝑥ℎ ℎ→0 ℎ𝑥 2 (𝑥 + ℎ)2 lim

Simplificando “h”

−ℎ2 − 2𝑥ℎ ℎ→0 ℎ𝑥 2 (𝑥 + ℎ)2 lim

−ℎ − 2𝑥 ℎ→0 𝑥 2 (𝑥 + ℎ)2 lim

Al no haber indeterminación, reemplazamos “h” −2𝑥 ℎ→0 𝑥 4 lim

lim ℎ→0

Ahora si podemos aplicar f’(1)

𝑑)𝑓(𝑥) =

𝑥−2

𝑥−4

−2 𝑥3

−2 = −2 ℎ→0 (1)3

𝑓 ′ (1) = lim

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 5

𝑓 ′ (𝑥) = lim 𝑓(𝑥 + ℎℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0

𝑥−2 −𝑥−4 𝑥𝑥 + ℎ −2 + ℎ − 4 lim ℎ ℎ→0

(𝑥 + ℎ − 2)(𝑥 − 4) − (𝑥 − 2)(𝑥 + ℎ − 4) (𝑥 + ℎ − 4)(𝑥 − 4) lim ℎ→0 ℎ 𝑥 2 − 4𝑥 + ℎ𝑥 − 4ℎ − 2𝑥 + 8 − (𝑥 2 + 𝑥ℎ − 4𝑥 − 2𝑥 − 2ℎ + 8) (𝑥 + ℎ − 4)(𝑥 − 4) lim ℎ→0 ℎ Simplificando términos:

𝑥 2 − 4𝑥 + ℎ𝑥 − 4ℎ − 2𝑥 + 8 − 𝑥 2 − 𝑥ℎ + 4𝑥 + 2𝑥 + 2ℎ − 8) ℎ→0 ℎ(𝑥 + ℎ − 4)(𝑥 − 4) lim

−2ℎ ℎ→0 ℎ(𝑥 + ℎ − 4)(𝑥 − 4) lim Simplificando “h”

−2 ℎ→0 (𝑥 + ℎ − 4)(𝑥 − 4) lim

Ahora si reemplazamos “h”, ya que no existen indeterminaciones lim

ℎ→0

Reemplazamos x=5

−2 (𝑥 − 4)2

−2 −2 = lim 2 ℎ→0 (5 − 4)2 ℎ→0 (5 − 4)

𝑓 ′ (5) = lim

lim −2 = − 2

ℎ→0

3) Determine la derivada de las siguientes funciones irracionales aplicando la definición 𝑎)𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim

√(𝑥 + ℎ) + 4 − √𝑥 + 4 ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim

Multiplicando a ambos por su conjugada (√(𝑥 + ℎ ) + 4 + √𝑥 + 4) para formar una diferencia de cuadrados: 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0

(√(𝑥 + ℎ) + 4 − √𝑥 + 4)(√(𝑥 + ℎ) + 4 + √𝑥 + 4) ℎ(√(𝑥 + ℎ) + 4 + √𝑥 + 4) 𝑥 + ℎ + 4 − (𝑥 + 4)

𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0 ℎ(√(𝑥

Simplificando términos:

+ ℎ) + 4 + √𝑥 + 4)

𝑥 +ℎ+4−𝑥 −4

𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0 ℎ(√(𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0 ℎ(√(𝑥

Simplificando “h” 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0

+ ℎ) + 4 + √𝑥 + 4) ℎ

+ ℎ) + 4 + √𝑥 + 4) 1

(√(𝑥 + ℎ ) + 4 + √𝑥 + 4)

Una vez eliminado las indeterminaciones, pasamos a reemplazar “h” 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0

1

(√𝑥 + 4 + √𝑥 + 4)

𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0

1

𝑓 ′ (0) = lim

ℎ→0 2√𝑥

2√𝑥1+ 4

+4

= lim

1

ℎ→0 2√0 +

4

1 1 𝑓 ′ (0) = lim = ℎ→0 4 4

𝑏) 𝑓(𝑥) = √1 − 3𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = −1

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑥→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim

(√1 − 3(𝑥 + ℎ) + 2) − (√1 − 3𝑥 + 2) 𝑥→0 ℎ lim

√1 − 3(𝑥 + ℎ) + 2 − √1 − 3𝑥 − 2 𝑥→0 ℎ lim

√1 − 3(𝑥 + ℎ) − √1 − 3𝑥 𝑥→0 ℎ lim

Multiplicamos por su conjugada √1 − 3(𝑥 + ℎ) − √1 − 3𝑥 para obtener una diferencia de cuadrados:

lim 𝑥→0

(√1 − 3(𝑥 + ℎ(√1 ℎ) − √1 − 3𝑥)(√1 3(−𝑥 3𝑥) + ℎ) + √1 − 3𝑥) − 3(𝑥 + ℎ) +−√1 lim 𝑥→0

1 − 3𝑥 − 3ℎ − (1 − 3𝑥)

ℎ(√1 − 3(𝑥 + ℎ) + √1 − 3𝑥)

Simplificando términos: lim 𝑥→0

1 − 3𝑥 − 3ℎ − 1 + 3𝑥

ℎ(√1 − 3(𝑥 + ℎ) + √1 − 3𝑥)

Simplificando “h”: lim 𝑥→0

−3ℎ

ℎ(√1 − 3(𝑥 + ℎ ) + √1 − 3𝑥)

lim

𝑥→0 (√1 −

−3

3(𝑥 + ℎ) + √1 − 3𝑥)

Ahora si procedemos a reemplazar “h”, ya que se eliminó la indeterminación lim 𝑥→0

−3

(√1 − 3𝑥 + √1 − 3𝑥) lim

𝑥→0

Ahora si reemplazamos en x=-1

−3

2√1 − 3𝑥

𝑓 ′ (−1) = lim

−3

𝑥→0 2√1 −

3(−1)

−3 −3 = 𝑥→0 4 4 lim

𝑐) 𝑓(𝑥) = √4𝑥+ 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 2 3

= lim

𝑥→0

−3

2√ 4

𝑓 ′ (𝑥) = lim 𝑓(𝑥 + ℎℎ ) − 𝑓(𝑥) 𝑥→0

( √4(𝑥 + ℎ) + 1) − ( √4𝑥 + 1) lim 𝑥→0 ℎ 3

3

Simplificando términos:

√4(𝑥 + ℎ) + 1 − √4𝑥 − 1 lim 𝑥→0 ℎ 3

3

√4(𝑥 + ℎ) − √4𝑥 𝑥→0 ℎ lim

2

3 Multiplicando para formar una diferencia de cubos √4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 3√4(𝑥 + ℎ) + 3

2

√4𝑥

3

3

3

lim 𝑥→0

2

2

3 ( √4(𝑥 + ℎ) − √4𝑥 )( √4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 √4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 ) 3

3

2

3

3

2

ℎ( 3√4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 3√4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 )

Simplificando términos: lim 𝑥→0

3

4𝑥 + 4ℎ − 4𝑥

2

𝑥→0

2

ℎ( 3√4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 3√4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 ) 3

3

Simplificando “h”: lim

3

4ℎ

2

2

3 3 3 ℎ( √4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 √4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 )

lim

3

2

4

2

( √4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 3√4(𝑥 + ℎ) + √4𝑥 )

𝑥→0 3

3

3

Una vez eliminadas las indeterminaciones, reemplazamos “h” lim 𝑥→0

2

4

2

( √4𝑥 + √4𝑥 √4𝑥 + √4𝑥 ) 3

lim 𝑥→0

3

3

3

2

4

2

( √4𝑥 + 2 √4𝑥 ) 3

3

3

Ahora reemplazamos en x=2 𝑓 ′ (2) = lim 𝑓 ′ (2) = lim 𝑥→0

2 4 3 2 3 ( + 2 √8 ) √8 𝑥→0

4

2

2

( √8 + 2 √8 ) 3

3

=

4 1 = 12 3

𝑑)𝑓(𝑥) = √24 − 𝑥− 3 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = −3 3

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓′(𝑥) = lim

( 3√24 − (𝑥 + ℎ) − 3) − ( √24 − 𝑥 − 3) lim ℎ→0 ℎ 3

Formamos una diferencia de cubos multiplicando tanto arriba como abajo por 2

3 √24 − (𝑥 + ℎ) + ( √24 − (𝑥 + ℎ) ) ( 3√24 − 𝑥) + √24 −𝑥

3

lim ℎ→0

3

2

2

3 ( √24 − (𝑥 + ℎ) ) − (3√24 − 𝑥) [ √24 − (𝑥 + ℎ) + ( √24 − (𝑥 + ℎ) ) ( √24 − 𝑥 ) + 3√24 − 𝑥 ] 3

3

2

3

2

ℎ [ √24 − (𝑥 + ℎ) + ( √24 − (𝑥 + ℎ) ) ( √24 − 𝑥 ) + √24 − 𝑥 ] 3

lim ℎ→0

lim ℎ→0

3

3 ( √24 − (𝑥 + ℎ) ) − ( √24 − 𝑥 )

2

3

3

3

3

3

2

3 3 ℎ [ √24 − (𝑥 + ℎ ) + ( √24 − (𝑥 + ℎ) ) ( √24 − 𝑥) + √24 − 𝑥 ] 3

2

3

24 − 𝑥 − ℎ − 24 + 𝑥

2

3 ℎ [ √24 − (𝑥 + ℎ ) + ( √24 − (𝑥 + ℎ) ) ( √24 − 𝑥) + √24 − 𝑥 ] 3

3

3

2

lim ℎ→0

2 2 3 3 3 3 ℎ [ √24 − (𝑥 + ℎ) + ( √24 − (−ℎ 𝑥 + ℎ) ) ( √24 − 𝑥) + √24 − 𝑥 ]

lim

−1

2

2

3 [ √24 − (𝑥 + ℎ) + ( √24 − (𝑥 + ℎ) ) ( √24 − 𝑥) + √24 − 𝑥 ]

ℎ→0 3

3

3

Una vez eliminadas las indeterminaciones, reemplazamos “h” lim

ℎ→0

−1

2

3

lim

2

lim ℎ→0

𝑓 ′ (2) = lim ℎ→0

lim ℎ→0

3

3

3

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎:

ℎ→0

2

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) ℎ

3

−1

2

[( √24 − 𝑥 ) + 2 √24 − 𝑥 ] 3

3

−1

2

[( √24 − (−3) ) + 23√24 − (−3) ] 3

−1

2

[( √27) + 2 √27 ]

4. 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = {

𝑓′(2−) = lim−

3

−1

Ahora si reemplazamos en x=-3

𝑓′(𝑥 −) = lim−

3

[ √24 − 𝑥 + ( √24 − 𝑥 )( √24 − 𝑥) + √24 − 𝑥 ]

ℎ→0 3

ℎ→0

2

3 [ √24 − (𝑥 + 0) + ( √24 − (𝑥 + 0) ) ( √24 − 𝑥) + √24 − 𝑥 ]

2 − 𝑥, 2𝑥 − 4,

3

=

−1 1 =− 27 3 + 18

𝑥≤2 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑦 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 2 𝑥>2

ℎ 2 𝑓′(2+) = lim− ℎ→0

𝑓′(2+) = lim− ℎ→0

𝑓′(2+) = 2

2(2 + ℎ) − 4 − (2 − 2) ℎ 2ℎ ℎ

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑓′(2−) ≠ 𝑓′(2+)

∴ 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 2

5. 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 5| 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑦 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 =

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎:

𝑓′(𝑥 −) = lim− ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎:

5 5 − 𝑓 ( 2 + ℎ) − 𝑓 ( ) 5 2 𝑓′ ( ) = lim− ℎ→0 2 ℎ

ℎ0→ℎ+

5 5 5 5 > → 2 (ℎ + ) > 5 → 2 (ℎ + ) − 5 > 0 2 2 2 2

5 5 |2 (ℎ + ) − 5| = 2 (ℎ + ) − 5 2 2

5 5 |2 (ℎ + 2) − 5| − |2 ( 2) − 5| 5+ 𝑓′ ( ) = lim+ ℎ→0 ℎ 2 5 2 (ℎ + ) − 5 5+ 2 𝑓′ ( ) = lim+ ℎ→0 2 ℎ

𝑓′ (

5 2ℎ ) = lim− ℎ→0 ℎ 2 +

5 𝑓′ ( ) = 2 2 +

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑓′ (

5− 5+ ) ≠ 𝑓′ ( ) 2 2

∴ 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 6. 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = {

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎:

𝑓′(𝑥 −) = lim− ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

2𝑥, 𝑥2,

5 2

𝑥...