Soportes en estatica apl PDF

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Documento con la explicacion de los soportes en estatica....

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Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.1 Aplicaciones bidimensionales ANTECEDENTES Cuando un objeto sobre el cual actúa un sistema de fuerzas y momentos está en equilibrio, se satisfacen las siguientes condiciones: 1. La suma de las fuerzas es igual a cero:

©F = 0.

(5.1)

2. La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero: 兺Mcualquier punto ⫽ 0.

(5.2)

A partir del análisis realizado para los sistemas equivalentes de fuerzas y momentos en el capítulo 4, las ecuaciones (5.1) y (5.2) implican que el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre un objeto en equilibrio es equivalente a un sistema en el que no se incluyen fuerzas ni pares. Esto ayuda a comprender la naturaleza del equilibrio. Desde el punto de vista de la fuerza total y el momento total ejercidos sobre un objeto en equilibrio, los efectos son iguales que si no se aplicara ninguna fuerza y ningún par sobre dicho cuerpo. Esta observación también aclara que si la suma de las fuerzas sobre un objeto es igual a cero y la suma de los momentos respecto a un punto también es nula, entonces la suma de los momentos respecto a cualquier punto será igual a cero.

Ecuaciones de equilibrio escalares Cuando las cargas y reacciones sobre un objeto en equilibrio forman un sistema bidimensional de fuerzas y momentos, éstos se relacionan mediante tres ecuaciones de equilibrio escalares: 兺Fx ⫽ 0,

(5.3)

兺Fy ⫽ 0,

(5.4)

兺Mcualquier punto ⫽ 0.

(5.5)

Una pregunta natural es: ¿Se puede obtener más de una relación a partir de la ecuación (5.5) evaluando la suma de los momentos respecto a más de un punto? La respuesta es sí, y en muchos casos resulta conveniente hacerlo de esta manera. Pero debe considerarse lo siguiente: las ecuaciones adicionales no serán independientes de las ecuaciones (5.3)-(5.5). En otras palabras, no se pueden obtener más de tres ecuaciones de equilibrio independientes a partir de un diagrama de cuerpo libre bidimensional. Lo anterior implica que, cuando mucho, es posible resolver un sistema de tres fuerzas o pares desconocidos. Este punto se analiza a mayor profundidad en la sección 5.2.

Soportes Cuando una persona está de pie, el piso la soporta. Cuando alguien está sentado en una silla con los pies en el piso, la silla y el piso lo soportan. En esta sección se estudiará cómo los objetos pueden soportarse o mantenerse en su lugar. , lo que expresa el hecho de que ,o cargas, que actúan sobre el objeto. Por ejemplo, un puente se sostiene gracias a las reacciones ejercidas por sus soportes, y las cargas son las fuerzas ejercidas por el peso del mismo puente, el tráfico que lo cruza y el viento. Algunos tipos muy comunes de soportes se representan con modelos estilizados llamados convenciones de soporte. Los soportes reales a menudo se parecen a

5.1 Aplicaciones bidimensionales

Ménsula

Pasador Cuerpo soportado

(b)

(a) y

x Ax Ay (c)

(d)

Figura 5.1 (a) Soporte de pasador. (b) Vista lateral que muestra el pasador que atraviesa la viga. (c) Sujeción de una barra soportada. (d) El soporte de pasador es capaz de ejercer dos componentes de fuerza.

los modelos estilizados, pero aunque no se parecieran, se representan por medio de estos modelos si los soportes reales ejercen las mismas (o aproximadamente las mismas) reacciones que los modelos. Soporte de pasador En la figura 5.1a se muestra un soporte de pasador. En el diagrama se representa una ménsula a la cual está unido un objeto (una viga, por ejemplo) con un pasador liso que pasa por la ménsula y el objeto. La vista lateral se muestra en la figura 5.1b. Para entender las reacciones que puede generar un soporte de pasador resulta útil imaginar la sujeción de una barra unida a un soporte de pasador (figura 5.1c). Si se trata de mover la barra sin hacerla girar (es decir, trasladar la barra), el soporte ejerce una fuerza reactiva que lo impide. Sin embargo, se puede hacer girar la barra alrededor del eje del pasador. El soporte no puede generar un par respecto al eje del pasador para impedir el giro. Así, un soporte de pasador no puede generar un par respecto al eje del pasador, pero sí puede ejercer una fuerza sobre un cuerpo en cualquier dirección, lo que comúnmente se expresa representando la fuerza en términos de sus componentes (figura 5.1d). Las flechas indican las direcciones de las reacciones si Ax y Ay son positivas. Si se determina que Ax o Ay son negativas, la reacción tendrá la dirección opuesta a la de la flecha. El soporte de pasador se usa para representar cualquier soporte real capaz de ejercer una fuerza en cualquier dirección sin generar un par. Hay soportes de pasador en muchos dispositivos comunes, particularmente los diseñados para permitir que partes conectadas giren una respecto a la otra (figura 5.2). Soporte de rodillo La convención llamada soporte de rodillo (figura 5.3a) es un soporte de pasador montado sobre ruedas. Como el soporte de pasador, éste no puede generar un par respecto al eje del pasador. Dado que puede moverse libremente en la dirección paralela a la superficie sobre la que rueda, no puede generar una fuerza paralela a la superficie, sino sólo una fuerza normal (perpendicular) a ella (figura 5.3b). En las figuras 5.3c-e se muestran otras convenciones usadas comúnmente como equivalentes al soporte de rodillo. Las ruedas de vehículos y que soportan partes de máquinas son soportes de rodillo si las fuerzas de fricción ejercidas sobre ellas son insignificantes en comparación con las fuerzas normales. Una superficie plana y lisa también se puede representar por medio de un soporte

Soportes de pasador

Figura 5.2 Soportes de pasador en una tijera y una engrapadora.

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198

Capítulo 5 Objetos en equilibrio Cuerpo soportado Pasador Ménsula A

Figura 5.3 (a) Soporte de rodillos. (b) La reacción consiste en una fuerza normal a la superficie. Soportes equivalentes (c)–(e) Soportes equivalentes al soporte de rodillos.

(a)

(b)

(c)

Figura 5.4 Soporte de un objeto por medio de una superficie plana y lisa.

(d)

(e)

de rodillo (figura 5.4). Las vigas y los puentes a veces están soportados de esta manera, para que absorban dilataciones y contracciones térmicas. Los soportes de la figura 5.5 son similares al soporte de rodillo en que no pueden generar un par sino sólo una fuerza normal a una dirección particular (la fricción se ignora). El cuerpo soportado está unido a un pasador o collarín que se mueve libremente en una dirección pero no en la perpendicular (la fricción es insignificante.) En estos soportes, el objeto soportado está unido a un pasador o collarín que puede moverse libremente en una dirección pero está restringido en la dirección perpendicular. A diferencia de los soportes de rodillo, estos soportes pueden ejercer una fuerza normal en cualquier sentido. Soporte fijo El soporte fijo presenta el objeto soportado literalmente empotrado en la pared (figura 5.6a). Esta convención también se denomina soporte empotrado. Para entender sus reacciones, imagínese sujetando una barra unida a un soporte fijo (figura 5.6b). Si intenta trasladar la barra, el soporte genera una

Figura 5.5 Soportes similares al soporte de rodillo excepto que la fuerza normal se puede ejercer en cualquier dirección.

(a)

(b)

(a) Pasador en una ranura.

( c)

(b) Pistón en una ranura.

A

(c) Collarín sobre un eje.

Cuerpo soportado (a)

(b) y

MA

Figura 5.6 (a) Soporte fijo. (b) Sujeción de una barra empotrada. (c) Reacciones que es capaz de ejercer un soporte fijo.

x

Ax

Ay (c)

5.1 Aplicaciones bidimensionales

fuerza reactiva que lo impide; si trata de hacerla girar, el soporte genera un par reactivo que lo impide. Un soporte fijo puede generar dos componentes de fuerza y un par (figura 5.6c). El término MA es el par generado por el soporte y la flecha curva indica su dirección. Los postes de bardas y los del alumbrado público tienen soportes fijos. Las uniones de partes conectadas que no pueden moverse una con respecto a la otra, como la cabeza y el mango de un martillo, pueden modelarse como soportes fijos. En la tabla 5.1 se resumen las convenciones de soportes usadas comúnmente en aplicaciones bidimensionales, incluidas las del capítulo 3. Aunque el número de Tabla 5.1

Soportes usados en aplicaciones bidimensionales. Soportes

Reacciones

T

Cuerda o cable

Resorte

Una fuerza colineal

A Una fuerza normal a la superficie de soporte

Contacto con una superficie lisa

y

Ax

x

Ay Dos componentes de fuerza

Contacto con una superficie rugosa

y

Ax

x

Ay Dos componentes de fuerza

Soporte de pasador

Soporte de rodillo A Una fuerza normal a la superficie de soporte Equivalentes

A Una fuerza normal y

Pasador guiado o collarín MA

x

Ax

Soporte fijo (empotrado)

Ay Dos componentes de fuerza y un par

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200

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

convenciones puede parecer muy grande, los ejemplos y problemas ayudarán a familiarizarse con ellas. También se recomienda observar cómo están soportados algunos de los objetos que se ven en la vida diaria e intentar representar sus soportes con algunas de las convenciones.

Diagramas de cuerpo libre En el capítulo 3 se presentaron los diagramas de cuerpo libre y se usaron para determinar las fuerzas que actúan sobre cuerpos simples en equilibrio. Mediante las convenciones de soportes es posible representar cuerpos más elaborados y construir en forma sistemática sus diagramas de cuerpo libre. Por ejemplo, la viga de la figura 5.7a tiene un soporte de pasador en su extremo izquierdo y uno de rodillo en el derecho, y está cargada con una fuerza F. El soporte de rodillo descansa sobre una superficie inclinada 30° respecto a la horizontal. Para obtener el diagrama de cuerpo libre de la viga se aísla de sus soportes (figura 5.7b), dado que el diagrama no debe contener más cuerpos que la viga. Se completa el diagrama con las reacciones que pueden generar los soportes sobre la viga (figura 5.7c). Observe que la reacción B generada por el soporte de rodillo es normal a la superficie sobre la que descansa. El objeto de la figura 5.8a tiene un soporte fijo en su extremo izquierdo. El cable que pasa por una polea está unido al cuerpo en dos puntos. Se aísla el cuerpo de sus soportes (figura 5.8b) y se completa el diagrama de cuerpo libre con las reacciones en el soporte fijo y las fuerzas ejercidas por el cable (figura 5.8c). No olvide el par en el soporte fijo. Como se supuso que la tensión en el cable es la misma en ambos lados de la polea, las dos fuerzas ejercidas por el cable tienen la misma magnitud T. Después de haber obtenido el diagrama de cuerpo libre de un objeto en equilibrio mostrando las cargas y reacciones que actúan sobre él, se pueden aplicar las ecuaciones de equilibrio.

F

F A

A

B

B

30⬚ (b)

(a)

y

F A

Ax

B

x B

Ay

30⬚ Reacciones debidas al soporte de pasador

Reacciones debidas al soporte de rodillo (c)

Figura 5.7 (a) Viga con soportes de pasador y de rodillo. (b) La viga se aísla de sus soportes. (c) Diagrama de cuerpo libre completo.

5.1 Aplicaciones bidimensionales

201

Reacciones debidas al cable T y MA A

A

A

T x

Ax Ay

(a)

Reacciones debidas al soporte fijo (c)

(b)

Figura 5.8 (a) Objeto con un soporte fijo. (b) Aislamiento del objeto. (c) Diagrama de cuerpo libre completo.

RESULTADOS

Ecuaciones de equilibrio La suma de fuerzas es igual a cero: Cuando un objeto está en equilibrio, el sistema de fuerzas y momentos que actúa sobre él satisface dos condiciones.

Cuando el sistema de fuerzas y momentos que actúa sobre un objeto en equilibrio es bidimensional, satisface tres ecuaciones de equilibrio escalar.

⌺F ⫽ 0.

(5.1)

La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero: ⌺Mcualquier punto ⫽ 0.

(5.2)

⌺Fx ⫽ 0,

(5.3)

⌺Fy ⫽ 0,

(5.4)

⌺Mcualquier punto ⫽ 0.

(5.5)

Soportes y x

Ax Soporte de pasador

Para dibujar el diagrama de cuerpo libre de un objeto, éste se aísla de sus soportes y se muestran las reacciones, las fuerzas y los momentos que pueden ejercer los soportes (tabla 5.1).

Soporte de rodillo

Ay Componentes de dos fuerzas

A Una fuerza normal a la superficie de soporte y MA x

Ax Soporte fijo (empotrado)

Ay Componentes de dos fuerzas y un par

5.2

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

201

5.2 Diagramas de cuerpo libre La aplicación exitosa de las ecuaciones de equilibrio requiere de una especificación completa de todas las fuerzas externas conocidas y desconocidas que actúan sobre un cuerpo. La mejor manera de tomar en cuenta esas fuerzas es trazar el diagrama de cuerpo libre del cuerpo, el cual lo representa aislado o “libre” de su entorno, esto es, un “cuerpo libre”. Sobre este bosquejo es necesario mostrar todas las fuerzas y los momentos de par que ejerce el entorno sobre el cuerpo, de manera que cuando se apliquen las ecuaciones de equilibrio se puedan tener en cuenta estos efectos. Para resolver problemas en mecánica, es de primordial importancia tener un entendimiento total de cómo trazar un diagrama de cuerpo libre.

Reacciones en soportes. Antes de presentar un procedimiento formal sobre cómo trazar un diagrama de cuerpo libre, primero consideraremos los diversos tipos de reacciones que ocurren en soportes y puntos de contacto entre cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerza. Como regla general,

•

Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces se desarrolla una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección.

•

Si se evita una rotación, se ejerce un momento de par sobre el cuerpo.

Por ejemplo, consideremos tres maneras en que un elemento horizontal, como una viga, está soportado en su extremo. Un método es por medio de un rodillo o cilindro, figura 5-3a. Como este soporte sólo evita que la viga se traslade en dirección vertical, el rodillo puede ejercer una fuerza sobre la viga únicamente en esta dirección, figura 5-3b. La viga puede ser soportada de una forma más restrictiva con un pasador, como se muestra en la figura 5-3c. El pasador liso atraviesa un orificio localizado en la viga y en dos placas que están fijas al suelo. Aquí, el pasador puede evitar la traslación de la viga en cualquier dirección , figura 5-3d, por lo que debe ejercer una fuerza F sobre la viga en esta dirección. Por lo general, para fines de análisis es más fácil representar esta fuerza resultante F por medio de sus dos componentes rectangulares Fx y Fy, figura 5-3e. Si se conocen Fx y Fy, entonces se pueden calcular F y . La manera más restrictiva de soportar la viga sería con un soporte fijo como se muestra en la figura 5-3f. Este soporte impedirá la traslación y la rotación de la viga. Para ello deben desarrollarse una fuerza y un momento de par sobre la viga en su punto de conexión, figura 5-3g. Como en el caso del pasador, la fuerza se suele representar mediante sus componentes rectangulares Fx y Fy. En la tabla 5-1 se presentan otros tipos comunes de soportes para cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerzas. (En todos los casos se supone que se conoce el ángulo ). Estudie cuidadosamente cada uno de los símbolos usados para representar esos soportes y los tipos de reacciones que éstos ejercen sobre sus elementos en contacto.

5

rodillo (a)

F ( b)

pasador (c) F f o bien

Fx

Fy (e)

(d) M Fx soporte fijo (f)

Fy (g )

Fig. 5-3

CAPÍTULO 5

202

TABLA 5-1

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas bidimensionales

Tipos de conexión

Reacción

Número de incógnitas

(1) u

Una incógnita. La reacción es una fuerza de tensión que actúa alejándose del elemento en la dirección del cable.

u F cable

(2) u

u

o bien

u F

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa a lo largo del eje del eslabón.

F

eslabón sin peso (3)

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

5 u

u F

rodillo (4)

u

F

o bien F

u

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la ranura.

u

rodillo o pasador confinado en una ranura lisa (5)

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

u

u F

soporte mecedora (6)

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

u

u superficie de contacto lisa

F

(7) o bien u

u

u

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la barra.

F elemento conectado mediante un pasador a un collar sobre una barra lisa continúa

5.2

TABLA 5-1

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

203

Continuación

Tipos de conexión

Reacción

(8)

Número de incógnitas F

Fy o bien

u

Dos incógnitas. Las reacciones son dos componentes de fuerza, o la magnitud y la dirección  de la fuerza resultante. Observe que  y  no son necesariamente iguales [no suelen serlo, a menos que la barra mostrada sea un eslabón como en (2)].

f

Fx pasador liso o articulación lisa (9)

F

Dos incógnitas. Las reacciones son el momento de par y la fuerza que actúa perpendicularmente a la barra.

M

elemento con conexión fija a un collar sobre una barra lisa (10)

5 Fy

F Fx

M

f

o bien M

Tres incógnitas. Las reacciones son el momento de par y las dos componentes de fuerza, o el momento de par y la magnitud y la dirección  de la fuerza resultante.

soporte fijo

En la siguiente serie de fotografías se presentan ejemplos típicos de soportes reales. Los números indican los tipos de conexión a que se hace referencia en la tabla 5-1. Esta trabe de concreto descansa sobre el borde que supuestamente actúa como una superficie de contacto lisa. (6)

El cable ejerce una fuerza sobre la ménsula, o soporte, en la dirección del cable. (1)

El soporte de mecedora para esta trabe de puente permite el movimiento horizontal de manera que el puente pueda dilatarse y contraerse por cambios en la temperatu...