Statistik - Anleitung mit Taschenrechner Casio fx-991 EX CLASSWIZ PDF

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Anleitung mit Taschenrechner Casio fx-991 EX CLASSWIZ...

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Statistik – Taschenrechner fx-991EX Tabellen und Diagramme

z.B. → Verhältnisskala: Währung → Intervallskala: Temperatur → Ordinalskala: Schulnoten → Nominalskala: Farbe

1

Statistische Kennzahlen MENU → 6 → 1 (X) / 2 (X&Y) → “eingeben“ → AC → OPTN → 2 (1-Variable Calc) X ΣX σ2X σX S2X SX Q1 Med Q3

= = = = = = = = =

X > Med = X < Med = X = Med =

Arithmetisches Mittel Summe Varianz Standardabweichung Stichprobenvarianz Stichprobenstandardabweichung 1. Quartil Median 3. Quartil Rechtsschief Linksschief Symmetrisch

Variationskoeffizient

=

σX oder SX X󰋀

Interquartilsabstand

=

Q3 – Q1

Z-Wert

=

xi− µ σX

Durchschnittliche jährliche Rendite Wenn nur die Gesamtsteigerung bekannt ist

= = z.B.

√Zahl x Zahl … – 1 √1.00 x 1.00 x 1. Gesamtsteigerung – 1 4 √1.00 𝑥 1.00 𝑥 1.00 𝑥 1.30 – 1 n

n

Arithmetisches Mittel von n finden wenn Arithmetisches Mittel von N bekannt ist Bekannt: X, N und X von Frequency 1 Gesucht: X von Frequency 2 MENU → 6 → 1 → X = X von Frequency 1 → Freq = Frequency 1 → Zweite Zeile: X = Testwert von Multiple Choice → Freq = Frequency 2 → Jeden Wert versuchen bis X bekannt entspringt Kovarianz & Korrelationskoeffizient MENU → 6 → 2 → eingeben → AC → OPTN → “downscrollen“ → 4 (Regression) 3→ r = Korrelationskoeffizient (r) 3 → x → OPTN → “downscrollen“ → 2 → 5 (SX) → x → OPTN → “downscrollen” → 2 → “downscrollen” → 3 (SY) = Kovarianz (r x SX x SY)

2

Werte aus Summenstatistiken n

Gegeben:

∑ yi = Wert 3

n

∑ xi = Wert 1

i=1

i=1

n

n

∑ yi^2 = Wert 4

∑ xi^2 = Wert 2

i=1

i=1 n

∑ xiyi = Wert 5 i=1

Varianz σ2X 1

n

Stichprobenvarianz S2X Wert 1 2 )) n

1

x (Wert 2 – n x (

n−1

Standardabweichung σX

Wert 1 2 )) n

x (Wert 2 – n x (

Stichprobenstandardabweichung SX 2

√1 x (Wert 2 – n x (Wert 1 ) ) n n Kovarianz σxy

√

1

Wert 1

x (Wert 2 – n x (

n−1

n

Stichprobenkovarianz Sxy

Wert 5−n(X x Ȳ) n

Wert 5−n(X x Ȳ)

Korrelationskoeffizient pσxσy

Stichprobenkorrelation rSxxSy

σxy

2

) )

n−1

σX x σY

Sxy SX x SY

Lineare Einfachregression auch S. 10 (Steigerung) Y als Funktion von X σY pσxσy x σX

Y als Funktion von X SY rSxxSy x SX

3

Wahrscheinlichkeitsrechnung Permutationen Anzahl Möglicher Ordnungen von allen Einheiten einer Population (n) n! = n → Shift → X-1 Anzahl Möglicher Ordnungen von einer gewissen Anzahl Einheiten (k) einer Population (n) Reihenfolge relevant n! (n−k)!

n

=

oder P k

n → Shift → x → k

Anzahl Möglichkeiten einer gewissen Einheit (k) einer Population (n) Reihenfolge irrelevant (Beispiel Lotto) n!

k!(n−k)!

n

oder C

k

=

n → Shift → / → k

Beispiel Gegenwahrscheinlichkeit

6

C2

=

15

→

1

15

=

0.067

Wahrscheinlichkeitstabelle  B B ) A P(A∩B P(A) P(A∩B)     ) A P(A∩B) P(A∩B) P(A  P(B) P(B) P(S) = 1 P(A∪B) = P(A∪B) = P(A|B) = P(B|A) =

) + P(A  ∩B) P(A∩B) + P(A∩B P(A) + P(B) - P(A∩B)

(A∩B)

P(B) (A∩B) P(A)

Stochastisch unabhängig wenn: P(A∩B) = P(A) x P(B)

4

Diskrete Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binominalverteilung P(X = …) MENU → 7 → 4 → 2 → “eingeben” P(X > … µ X < …) Wie P(X = …) berechnen allerdings am Ende „1 – Resultat“ (Gegenwahrscheinlichkeit) P(X ≤ …) MENU → 7 → “downscrollen” → 1 → 2 → “eingeben” P(X ≥ …) MENU → 7 → “downscrollen” → 1 → 2 → X = X-1 → MENU → 1 → 1 – ANS E(X)N P(X = … | X ≤ …) MENU → 1 → E(X)N(X erster Wert Shift → / → X zweiter Wert) 0.5^10 z.B. 0.5^10(10𝐶9) E(X)N

P(X = … | X ≥ …) MENU → 1 → E(X)N((X erster Wert Shift → / → X zweiter Wert) + 1) 0.5^10 z.B. 0.5^10((10𝐶9)+1) Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable X (Bernoulli-Verteilung) Erwartungswert E(X) = nxp 2 Varianz σ X = n x p x (1-p) oder E(X) x (1-p) Lineare Transformation Gegeben: µX (X), σ2X, Werte der linearer Transformationsformel (Y = Wert 1- Wert 2xX) Gesucht: µY (Ŷ), σ2Y µY (Ŷ) = Wert 1 – Wert 2 x µX (X) 2 σ Y= (-Wert 2)2 x σ2X z.B.

Wahrscheinlichkeit gegeben aber N gesucht Binominalverteilung anwenden → N = Single Choice Antwortmöglichkeiten bis Wahrscheinlichkeit der Aufgabenstellung entspricht! z.B.

5

Stetige Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stetige Uniformverteilung

Xmin (a)+ Xmax(b)

Erwartungswert E(X) oder µ

=

Varianz σ2X

=

Dichtefunktion f(x) oder Funktionswert

=

Xmax (b)−Xmin (a)

P(Wert 1 ≤ X ≤ Wert 2)

=

P(X < Wert) P(X > Wert)

= = =

(Wert 2 – Wert 1) x Xmax (b)−Xmin (a)

(Wert 2 – Wert 1) x Dichtefunktion f(x) oder Funktionswert Wert in kumulative Verteilungsfunktion für x einfügen 1 – Wert in kumulative Verteilungsfunktion für x einfügen

1. und 3. Quartil

=

0.25 = kumulative Verteilungsfunktion Formel negativ umformen! z.B. 0.5 x (1-(0.5)1/3) Single Choice Werte in Formel einsetzen Q1 = 0.25, Median = 0.5, Q3 = 0.75

→

Interquartilsabstand:

12

Achtung! - - = +

1

1

MENU → 7 → 3 → Area: 0.75, σ, µ - MENU → 7 → 3 → Area: 0.25, σ, µ

Z-Wert aus X oder X bestimmen P(X =,…)

2 (Xmax (b)−Xmin (a))^2

= P(Z =

z.B. (Allenfalls Beträge kürzen)

…− µX (X󰋀)

Xmax (b)−Xmin (a) √ (µX (X )x n)

) oder

…− µX (X󰋀) √σ2X

→ Anschliessend Standardnormalverteilung anwenden Standardnormalverteilung σ=1 µ=0 Bei Normalverteilung sind σ und µ gegeben! MENU → 7 → 2 P(Z < …) → Lower (-1099), Upper (Zahl) P(Zahl 1 < … < Zahl 2) → Lower (Zahl 1), Upper (Zahl 2) P(Z > …) → Lower (Zahl), Upper (1099) MENU → 7 → 3 P(Z < z1) = … → „eingeben“ P(Z > z1) = … → „1 – Zahl eingeben“ 6

Symmetrische Dreiecksverteilung Dichtefunktion f(x) oder

Funktionswert

1

=

Xmax (b)−Xmin (a)

z.B.

x2

→ Modus = Median

Stichprobenerhebungen und die Verteilung von Stichprobenstatistiken Standardfehler Wenn N nicht bekannt: Keine Endlichkeitskorrektur (geschätzter Standardfehler) n

N

< 0.05 (5%) → √

n N

> 0.05 (5%) → √

σ2X n

σ2X n

x√

N−n

N−1

=

Standardfehler

=

Standardfehler mit Endlichkeitskorrektur

Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariable X MENU → 7 → 2 P(X < …)

→ Lower (-1099), Upper (Zahl), σ = √

P(X > …)

→ Lower (Zahl), Upper (1099), σ = √

z.B.

P(Zahl 1 < X < Zahl 2)

σ2X n

σ2X n

oder √

oder √

σ2X n

σ2X n

→ Lower (Zahl 1), Upper (Zahl 2), σ = √ µ (gegeben)

x√

x√

N−n

N−1

N−n

N−1

σ2X oder n

√

, µ (gegeben)

, µ (gegeben)

σ2X

x√

σ2X

x√

n

N−n

N−1

,

Abweichung vom Mittelwert (Zahl = Abweichung) P(X - µ) | > Zahl Entspricht gleich: P(X < µ - Zahl) + P(X > µ + Zahl) → Lower (-1099), Upper (µ - Zahl), σ = √ µ (gegeben) → Wert 1 → Lower (µ + Zahl), Upper (1099), σ =√

σ2X oder n

σ2X n

√

oder √

n

σ2X n

µ (gegeben) → Wert 2 → Wert 1 + Wert 2 = Wahrscheinlichkeit der Abweichung vom Mittelwert (µ)

x√

N−n

N−1

N−n

N−1

7

Punkt- und Intervallschätzung: Eine Population Konfidenzniveaus Konfidenzniveau Zuverlässigkeitsfaktor za/2-Wert 80% 1.282 90% 1.645 95% 1.96 98% 2.326 99% 2.576 99.8% 3.09 99.9% 3.29 Anderes Konfidenzniveau bestimmen: MENU → 7 → 3 → Area 1 - (1 – Konfidenzniveau z.B. 0.7) / 2 Konfidenzintervall bestimmen (σX bekannt) Gegeben: n, X, σ2X oder σX X ± za/2-Wert x

σX √n

→ Resultat: - Wert < µ < + Wert

Konfidenzintervall bestimmen (σX nicht bekannt nur SX) Gegeben: n, X, S2X oder SX za/2-Wert in Tabelle A-2 S. 182 ablesen (Konfidenzniveau & v = n-1) SX X ± za/2-Wert x n → Resultat: - Wert < µ < + Wert √

Zufallsstichprobe n bestimmen (Abweichungsbreite - Wert < µ < + Wert bekannt, z.B. 2) Abweichungsbreite x za/2-Wert x ➔

σX

√n

n mit Single Choice Antwortmöglichkeiten testen bis Wert = Abweichungsbreite!

Über- und Unterschreitung vom Arithmetischem Mittel Konfidenzniveau und za/2-Wert = 1 – (% in Aufgabenstellung x2) Überschreitung = µ = X + za/2-Wert x σX Unterschreitung = µ = X - za/2-Wert x σX z.B.

Auswirkung bei Veränderung von n Gegeben: - Wert < µ < + Wert bei n1 Gesucht: - Wert < µ < + Wert bei n2

z.B.

σX

X ± za/2-Wert erfinden x √n1 = Wert 1 X ± za/2-Wert erfinden x

➔

σX

√n2

= Wert 2

Veränderung von Wert 1 auf Wert 2 bei n1 zu n2 übertragen

Je grösser das Konfidenzniveau, desto breiter - Wert < µ < + Wert und umgekehrt

8

Hypothesentests: Eine Population z z -z -z

> < > <

4 Varianten Kritischer Wert Nullhypothese verwerfen Kritischer Wert Nullhypothese nicht verwerfen - Kritischer Wert Nullhypothese nicht verwerfen - Kritischer Wert Nullhypothese verwerfen

p-Wert bestimmen MENU → 7 → 2 Einseitig: P(Z > z oder t) Einseitig: P(-Z < -z oder -t) Zweiseitig: P(Z > z oder t) Zweiseitig: P(-Z < -z oder -t)

→ Lower (z), Upper (1099) → Lower (-1099), Upper (z) → Lower (z), Upper (1099) → MENU → 1 → ANS → x → 2 → Lower (-1099), Upper (z) → MENU → 1 → ANS → x → 2

Wenn: p-Wert < kritischer Wert → verwerfen Wenn: p-Wert > kritischer Wert → nicht verwerfen σX bekannt z (Teststatistik) =

X − µ

σX / √n

Einseitiger Mittelwerttest H0: µ ≥ oder µ ≤…, H1: µ > oder µ < a Kritischer Wert 0.01 + / - 2.326 0.05 + / - 1.645 0.1 + / - 1.282

Zweiseitiger Mittelwerttest H0: µ = …, H1: µ ≠… a Kritischer Wert 0.01 + / - 2.576 0.05 + / - 1.96 0.1 + / - 1.645

σX nicht bekannt nur SX X − µ √n

t (Teststatistik) = SX /

wenn: n ≤ 101 Einseitiger Mittelwerttest H0: µ ≥ oder µ ≤…, H1: µ > oder µ < a Kritischer Wert a n-1 a

n-1

a

n-1

wenn: n > 101

→ za/2-Wert in Tabelle A-2 S. 182 ablesen Zweiseitiger Mittelwerttest H0: µ = …, H1: µ ≠… a Kritischer Wert 𝑎 n-1 2 𝑎 n-1 2 𝑎 n-1 2 → Tabelle „σ bekannt„ verwenden

9

Lineare Einfachregression β0 = Ordinatenabschnitt β1 = Steigerung Ԑi = Störterm (Nicht berücksichtigte Faktoren) Yi = Abhängige Variable Xi = Unabhängige Variable (rxy x (sy / b1) b1 = Ordinatenabschnitt (Geschätzter durchschnittlicher Wert von y wenn x = 0) b0 = Steigerung (Geschätzter durchschnittlicher Veränderung von y wenn x um eine Einheit steigt) Y AM = Arithmetisches Mittel von Y Bestimmung der geschätzten Regressionsgeraden (kleinste Quadrate Schätzer) MENU → 6 → 2 → eingeben → AC → OPTN → 3 Resultat: Ŷi = a (übernehmen) + b (übernehmen) x X → a = b0, b = b1 Formel anwenden: OPTN → “downscrollen“ → 4 → 5 (Ŷ) → “linksscrollen“ → “x eingeben“ Populationsregressionsfunktion Yi = β0 + β1 x Xi + Ԑi Stichprobenregressionsfunktion (b0 & b1 sind geschätzt) Ŷi = b0 + b1 x Xi ei = Residuum, Formel für lineare Einfachregression: Yi – Ŷi oder Yi – (b0 + b1 x Xi) = Abstand zwischen einem Punkt und einer geschätzten Geraden X aus Tabelle entnehmen → - → OPTN → “downscrollen“ → 4 → 5 (Ŷ) → “linksscrollen“ → “x eingeben“ b1

=

b0

= =

SY

rSxxSy x SX → Stichprobenstandardabweichung und Stichprobenkovarianz auf S. 3 SXY

oder: S^2X Y AM – b1 x X

Quadratsummen (Streuungs- oder Varianzzerlegung) SSE = Quadratsummer der Fehler ∑ni=1 (Yi − Ŷi)2 oder ∑ ni=1(Yi − b0 + b1 x X) 2 z.B. (245 - 1400Ŷ)2 + (312 - 1600Ŷ)2… + (255 - 1700Ŷ)2 = 13665.57 SSR = Quadratsumme der Regression ∑ni=1 (Ŷi − Y AM)2 z.B. (1400Ŷ – 286.5)2 + (1600Ŷ – 286.5)2…+ (1700Ŷ – 286.5)2 = 18934.94 SST = Totale Quadratsumme ∑ni=1 (Yi − Y AM)2 oder SSR + SSE z.B. (245 – 286.5)2 + (312 – 286.5)2…+ (255 – 286.5)2 = 32600.50 OPTN → «downscrollen» → 4 → 5 (Ŷ)

10

Weitere Formeln SST = (n-1) x S2Y (Stichprobenvarianz) oder SY2 (Stichprobenstandardabweichung2) z.B. Aufgabe oben S2Y = 3622.27 (im TR: OPTN → “downscrollen“ → 2 → “downscrollen“ → 2) SST = (10-1) x 3622.27 = 32600.50 Weiteres Beispiel:

SSR = R2 x SST SSE = (1- R2) x SST Korrelationskoeffizient im Quadrat R2 ➔ Wie viel % der Streuung von y kann durch den Mittelwert erklärt werden? σxy

( σX x σY)2 oder

SSR

SST

oder 1 -

SSE

SST

R2 = 1

0 < R2 < 1

R2 = 0

Varianz von b0 und b1 b0 : Wie stark variiert b0 von Stichprobe zu Stichprobe 2

sb0 b1

:

=

1

(n +

 ^2 X

SSE

) x ( n−2)

(n−1)x S^2X

Wie stark variiert b1 von Stichprobe zu Stichprobe 2

sb1

=

SSE

n−2

/ (n-1) x S2X

oder 2

Schätzer für die Varianz der Störterme σˆ2 oder s e SSE n−2

oder

1

(n +

 ^2 X

2

)xse

(n−1)x S^2X

s2e

(n−1)x S^2X

→ n-2 wegen b0 und b1

Standardfehler Regressionskoeffizient sb0

=

√s

Regressionskoeffizient sb1

=

√s

Schätzung / Regression σˆ se

=

√

2

b0 2

b1

SSE

n−2

11

Hypothesentests 1. 2.

Variante: Variante:

Stichprobenkorrelation

t = Standardfehler der Schätzung = t=

b1− β1

z.B.

Sxy

SX x SY

/√

SSE

n−2

sb1

Kritischer Wert:n-2 bei 95% Konfidenzintervall auf Tabelle S. 182 t t -t -t

> < > <

4 Varianten Kritischer Wert Nullhypothese verwerfen Kritischer Wert Nullhypothese nicht verwerfen - Kritischer Wert Nullhypothese nicht verwerfen - Kritischer Wert Nullhypothese verwerfen

p-Wert einer Steigerung bestimmen MENU → 7 → 2 P(Z > t) → Lower (t), Upper (1099) P(-Z < -t) → Lower (-1099), Upper (t) Zusatz p < 1% = hochsignifikant = Nullhypothese auf 1% Signifikanzniveau verwerfen 1% = Nullhypothese auf 5% Signifikanzniveau verwerfen ≤p < 5% = signifikant 5% ≤p < 10% = schwach signifikant = Nullhypothese auf 10% Signifikanzniveau verwerfen p ≥ 10% = nicht signifikant = Nullhypothese nicht verwerfen

Konfidenzintervall einer Steigerung bestimmen Stichprobenkorrelation + / - za/2-Wert (aus Tabelle S.182) x Standardfehler der Schätzung za/2-Wert = n-2 auf Tabelle b1 + / - za/2-Wert x sb1

oder

Sxy SX x SY

+ / - za/2-Wert x √

z.B. 0.854003 + / - 2.042 x 0.178103

Okunsches Gesetz z.B. y=3–2 µ konstant (0) Veränderung von 1

SSE

n−2

=y=3–2x0=3 = y =3 – 2 x 1 = 1

12...