STUDENT REVIEW & BANK SOAL KALKULUS II PDF

Preview

Summary

STUDENT REVIEW & BANK SOAL KALKULUS II Dosen Pengampu: Maxrizal, S.Pd.Si., M.Sc. Disusun Oleh: Mahasiswa Kelas TH & TK Kalkulus II TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015 CATATAN DOSEN PENGAMPU Assalamulaikum wr. wb Salam semangat!!! Saya ucapkan selamat kepada mahasiswa-mahas...

Description

Accelerat ing t he world's research.

STUDENT REVIEW & BANK SOAL KALKULUS II Maxrizal Maxrizal

Related papers PUSAT PERBUKUAN PUSAT PERBUKUAN Parjan Kusnadi Kelas12 sma mat emat ika aplikasi ipa pest a e s Rendy Kora BUKU MAT EMAT IKA UNT UK KELAS XII SMA Idik Saeful Bahri

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

STUDENT REVIEW & BANK SOAL KALKULUS II

Dosen Pengampu: Maxrizal, S.Pd.Si., M.Sc. Disusun Oleh: Mahasiswa Kelas TH & TK Kalkulus II

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015

CATATAN DOSEN PENGAMPU Assalamulaikum wr. wb Salam semangat!!! Saya ucapkan selamat kepada mahasiswa-mahasiswi yang telah berhasil mereview kembali perkuliahan Kalkulus II selama 1 semester. Student review dan bank soal ini adalah kumpulan materi-materi dari modul kuliah, bahan dari internet dan diskusi materi di kelas selama pembelajaran. Saya berharap karya para mahasiswa ini akan memotivasi para mahasiswa untuk menulis dan belajar, serta bisa digunakan untuk menunjang pembelajaran Kalkulus II di kampus STMIK Atma Luhur. Memang masih banyak kekurangan dalam penyusunan materi seperti format naskah, ataupun kebiasan copas (copi-paste) sehingga hasilnya kurang maksimal. Wassalam

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2

NOTASI SIGMA

Written by: 1. Agus Setiawan

- 1311500020

2.Vinsensius Julio

- 1311500001

3.Naufal Mustafa

- 1311500022

4.Romanza

- 1311500094

5.Wawan Suhendra - 1311500039 6.Edo Setiawan

- 1311500038

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2

NOTASI SIGMA LESSON Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan "

x" b

ia

i

dimana I sebagai

indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan xi adalah rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil.

x b

ia

1

dibaca “sigma dari xi untuk harga i dari a sampai b”.

Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik.

x  x k c

k

n 0

n

n c

nc

Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut: Contoh 1 2 =?

Penyelesaian: 2 = 2.1 + 2.2 + 2.3 = 2 + 4 6 = 12

Contoh 2 ∑

6−2 =?

Penyelesaian:

6 − 2 = 6 − (2.1) + 6 − (2.2) + 6 − (2.3) = (6 − 2) + (6 − 4) + (6 − 6) = 5

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2

QUESTION Soal 1 (3 + 1) =?

Penyelesaian:

∑

(3 + 1)

= (3.1)+1 + (3.2)+1 + (3.3)+1+ (3.4)+1 = 4

+ 7 + 10 + 13

= 34

Soal 2 (2 + ) =?

Penyelesaian: ∑

2 +i

= (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 4) + (2 + 5) = 3 + 6 + 11 + 20 + 37 = 77

Soal 3

Nyatakan 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 dalam bentuk notasi sigma! Penyelesaian:

Dengan demikian

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2

Soal 4 Buatlah notasi Sigmanya ! 1 1 1 1 1 + + + + =? 2 4 8 16 32 Penyelesaian:

1 1 1 1 1 + + + + = 2 4 8 16 32

Soal 5

Ubahlah

1 2

 (4k  3) menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 ! 5

k 0

Penyelesaian:

 (4k  3)   4(k  7)  3   (4k  25) 5

57

12

k 0

k 7

k 7

Soal 6 Ubahlah

 (3k  2) menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 6 ! 2

k 1

Penyelesaian:

 (3k  2)   3(k  6)  2   (3k  16) 2

2 6

8

k 0

k 6

k 6

Soal 7 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 1 dari notasi sigma berikut

 (k  1) = ? 5

k 3

Penyelesaian:

 (k  1) =  (k  2)  1   (k  3) 5

5 2

3

k 3

k  3 2

k 1

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2

Soal 8 Hitunglah nilai dari

 (k 4

k 1

2

 4k )

Penyelesaian: Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Cara 1:

 (k 4

k 1

2

 4k ) = (1 2 – 4(1)) + (2 2 – 4(2)) + (3 2 – 4(3)) + (4 2 – 4(4))

= (1 – 4) + (4 – 8) + (9 – 12) + (16 – 16) =–3–4–3+0 = –10 Cara 2:

 (k 2  4k ) = 4

k 1

=

 k 2   4k 4

4

k 1

k 1

 k 2  4 k 4

4

k 1

k 1

= (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ) – 4( 1 + 2+ 3 + 4) = (1 + 4 + 9 + 16) – 4(10) = 30 – 40 = –10 Soal 9 Double Sigma 2 +3 =?

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2

Penyelesaian: 2 + 3 = (2.1 + 3.3) + (2.2 + 3.4 + (2.3 + 3.5) + (2.4 + 3.6) = (2 + 9) + (4 + 12) + (6 + 15) + (8 + 18)

= 74 Soal 10 2 −3 =?

Penyelesaian:

2 + 3 = (2. (−2) − 3.1) + (2. (−1) − 3.2 + (2.0 − 3.3) + (2.1 − 3.4) + (2.2 − 3.5) = (−4 − 3) + (−2 − 6) + (0 − 9) + (2 − 12) + (4 − 15)

= -45

TUGAS KELOMPOK KALKULUS 2

DAFTAR PUSTAKA https://istanamengajar.wordpress.com/2014/01/25/soal-dan-pembahasan-notasi-sigma-1-5/ http://www.slideshare.net/Siti_Aisyah/notasi-jumlah-dan-sigma https://triwahyuningsih.files.wordpress.com/.../contoh-notasi-sigma2.Doc http://rumus-matematika.com/notasi-sigma/ http://rumusdasarmatematika.blogspot.com/2014/11/materi-notasi-sigma-contoh-soal-dan.html www.matematikatips.tk/2014/05/notasi-sigma.html

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

BILANGAN DAN NOTASI SIGMA

Written by: 1.

ABU SYAWAL BANIDAL 1311500 2. 3.

AWALUDIN 1311500044 DINA AGUSTIN 1311500111

4.

FILIA WULANDARI 1311500058

5.

JOSAN ARIANSYAH 1311500103 6.

RIKI ANGGA SAPUTRA 1311500120

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

2015 BILANGAN DAN NOTASI SIGMA BARIS BILANGAN 1. KONTEK BARISAN ARITMATIKA DAN GEOMETRI Barisan aritmetika dan geometri, Bagi Anda yang pernah naik taksi yang menggunakan argometer, pernahkah Anda memperhatikan perubahan bilangan yang tercantum pada argometer? Apakah bilangan-bilangan itu berganti secara periodic dan apakah pergantiannya menuruti aturan tertentu? Jika Anda memperhatikan mulai dari awal bilangan yang tercantum pada argometer dan setiap perubahan yang terjadi, apa yang dapat Anda simpulkan dari barisan bilangan-bilangan tersebut? Perhatikan bahwa perubahan bilangan-bilangan pada argometer taksi menuruti aturan tertentu. Setiap dua bilangan yang berurutan mempunyai selisih yang tetap. Barisan bilangan yang seperti itu disebut barisan aritmetika. Iwan mencari rumah temannya di Jalan Gambir no.55. Setelah sampai di Jalan Gambir ia memperhatikan bahwa rumah-rumah yang terletak di sebelah kanan jalan adalah rumah-rumah dengan nomor urut genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Dengan memperhatikan keadaan itu, kearah manakah Iwan mencari rumah temannya? Barisan nomor-nomor rumah di atas baik di sebelah kiri maupun kanan merupakan barisan bilangan aritmetika. Diasumsikan bahwa harga tanah mengikuti pola selalu bertambah n% dari tahun sebelumnya. Misalkan untuk mempermudah perhitungan n bernilai 5% dan harga tanah di suatu desa sekarang Rp 200.000,- per meter persegi. Ini berarti setahun lagi harga tanah menjadi Rp 210.000,- per meter persegi. Tahun-tahun berikutnya berturut-turut harga tanah per meter persegi dalam rupiah menjadi 220.500, 231.525, dan seterusnya. Ternyata ini juga adalah contoh barisan geometri. Sekedar mengingatkan Anda, berikut ini adalah rumus-rumus yang dipakai dalam barisan aritmetika dan geometri. Pada barisan aritmetika: b = un – un-1 un = a + (n−1)b

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

dengan un = suku ke-n, a = suku pertama dan b = beda Sifat yang berlaku, 2

=

=

+

, atau , t > p,t dan p untuk bilangan asli.

Contoh penerapan sifat itu adalah pada barisan geometri:

,

=

=

r= =

Dengan

= suku ke-n, a = suku pertama dan r = rasio

Sikap yang berlaku: =

×

, t > p, t dan p dan bilangan asli

Tetapi tidak berarti selalu

=

Contoh penerapan sikap itu adalah Contoh 1

×

=

×

.

Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan barisan aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah. Berapa banyak permen yang diterima oleh anak terkecil? Penyelesaian: Misal permen yang diterima 5 anak tersebut mulai dari anak tertua adalah a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b a + b = 11 ....1) a + 3b = 19 ....2) Persamaan 2) dikurangkan dengan 1) diperoleh b = 4, selanjutnya a = 7. a + 4b = 7 + 4(4) = 23 Jadi, banyak permen yang diterima anak terkecil adalah 23 buah.

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

Contoh 2 Tentukan 8 suku pertama dari suatu barisan aritmetika yang suku ke-2 adalah 42 dan suku ke-6 adalah 72.

Penyelesaian:

Salah satu alternatif penyelesaian adalah menggunakan sifat barisan aritmetika: u =

u + u u + u u + u ;u = ;u = 2 2 2

Dari informasi yang ada, suku ke-4 barisan ini diperoleh lebih dulu, Yaitu

=

= 57

Kemudian diperoleh

=

dan suku pertama a = 34,5.

= 49,5 dan

=

= 64,5 dari sini diperoleh beda b = 75

Jadi 8 suku pertama barisan itu adalah 34,5; 42; 49,5; 57; 64,5; 72; 79,5; 87. 2. Barisan Selain Barisan Aritmetika dan Geometri Ada banyak barisan bilangan yang dapat dipelajari, Jika dibutuhkan materi pengayaan tentang barisan bilangan selain barisan aritmetika dan geometri, maka materi berikut ini dapat menjadi alternatif tambahan. Untuk menentukan suku-suku suatu barisan kita melihat keteraturan pola dari suku-suku sebelumnya. Barisan seperti 2, 4, 7, 11, ... memiliki keteraturan karena beda suku ke-2 dengan pertama adalah 2, beda dari suku ke-3 dengan ke-2 adalah 3, beda suku ke-4 dengan ke-3 adalah 4. Perhatikan juga barisan 1, 2, 5, 12, 27, 58, ... Beda suku ke-2 dengan pertama 1, beda suku ke-3 dengan ke-2 adalah 3, beda suku ke-4 dan ke-3 adalah 7, beda suku ke-5 dan ke-4 adalah 15. Jika masing-masing beda ini dibuat menjadi barisan baru dan dicari lagi selisih masingmasing suku, maka akan terlihat keteraturan barisan ini. Bagaimana menentukan rumus suku ke-n barisan-barisan seperti ini? Salah satu cara untuk menentukan rumus umum suku ke-n barisan adalah menggunakan konsep fungsi. a. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Aritmetika Untuk menentukan rumus umum suku ke-n barisan seperti ini caranya adalah dengan memperhatikan selisih antara dua suku yang berurutan. Bila pada satu tingkat pengurangan

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

belum diperoleh selisih tetap, maka pengurangan dilakukan pada tingkat berikutnya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisan disebut berderajat satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat pengurangan, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat pengurangan dan seterusnya. Bentuk umum dari barisan-barisan itu merupakan fungsi dalam n sebagai berikut: Selisih tetap 1 tingkat

( )=

Selisih tetap 2 tingkat

( )=

atau Selisih tetap 3 tingkat

( )=

atau

+ = =

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

Perlu diperhatikan bahwa a dan b pada fungsi ini tidak sama dengan a = suku pertama dan b = beda pada suku-suku barisan aritmetika yang dibicarakan sebelumnya. Untuk memahami pengertian barisan berderajat satu, berderajat dua, dan seterusnya perhatikan contoh berikut: • Barisan 2, 5, 8, 11, … disebut barisan berderajat satu karena selisih tetap diperoleh pada satu tingkat pengurangan. 2

3

5

3

8

11, …

3

selisih tetap = 3

Barisan 5, 8, 13, 20, 29, … disebut barisan berderajat dua karena selisih tetap diperoleh pada dua tingkat pengurangan. 5

3

8

5

2

13 2

7

20 2

9

29

selisih tetap = 2

• Barisan 2, 5, 18, 45, 90, … disebut barisan berderajat tiga karena selisih tetap diperoleh pada tiga tingkat pengurangan. 2

5 3

18 13

10

45 27

14 4

90 45

18 4

selisih tetap = 4

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

Untuk menentukan rumus suku ke-n masing-masing barisan itu dilakukan dengan cara sebagai berikut: 1. Barisan Linear ( Berderajat Satu) Bentuk umum (i)

= 3 +

,

+

(ii)

=

+ ,

= 4 +

2 +

=

+

, dan seterusnya.

,

3 +

= 2 +

,

4 + ,…

Rumus umum suku ke-n barisan 2, 5, 8, 11, … dapat ditentukan dengan cara : (i)

2

5

(ii)

8

3

3

11, … 3

( ) =3 → () + 3+

= −1, sehingga diperoleh

=2 →

2. Barisan bederajat dua Bentuk umum

=

adalah sebagai berikut: (i)

+

(ii)

+

(iii)

+ . dengan demikian

+

= 9 +3 + ,

=2

= 3 − 1 =

+

+ ,

=4 +2 +

= 16 + 4 + , dan seterusnya. Indentifikasi selisih tetapnya

, 4 + 2 + , 9 + 3 + , 16 + 4 + ,… 5 +

3 +

7 +

2

2

Rumus umum suku ke-n barisan 5, 8, 13, 20, 29, … dapat ditentukan dengan cara: (i)

5

8

(ii)

3

(iii)

13 5

2

( )2 = 2

= 1 → ( )3 +

= 4,

ℎ

20 7

2 =3 =

29 9

2

+4

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

3. Barisan berderajat tiga Bentuk umum barisan berderajat tiga +

+ + ,

=8 +4 +2 + ,

=

+

+, dengan demikian

+

= 27 + 9 + 3 + ,

= 64 + 16 +

4 + , dan seterusnya. Indetifikasi selisih tetapnya adalah:

(i)

+

+ +

(ii)

,8 + 4 + 2 + , 27 + 9 + 3 + , 64 + 16 + 4 +

7 +3 +

(iii)

=

12 + 2

(iv)

19 + 5 +

6

37 + 7 +

18 + 2

Rumus umum suku ke-n barisan 2, 5, 18, 45, 90, … dapat ditentukan dengan cara: (i)

2

5

(ii)

18

3

13

45

(iii)

27

10

(iv)

14 4

90 45

18 4

Dengan menyelesaikan persamaan (iv), (iii), (ii), dan (i) diperoleh =

5=

,

(2

= 1, = − +3

dan d = 5 sehingga rumus suku ke-n

− 14 + 15)

=

+

=

+

b. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Geometri Ada barisan yang setelah dicari beda antara dua suku berurutan tidak juga diperoleh selisih yang tetap sampai beberapa kali tingkat pengurangan, tetapi beda pada tingkat tertentu itu membentuk suatu barisan geometri. Contoh 1: 1

4 1

5 3

2

12 7

4 2

27 15

8 4

58 31

16 8

63 32

16

121,…

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

2

4

8

Barisan di atas dapat dilihat keteraturannya setelah terjadi pengurangan pada tingkat dua. Tampak bahwa pada barisan itu terdapat unsur 2 ditambah bilangan tertentu. Barisan

seperti itu dirumuskan sebagai

=2 +

Jadi, rumus suku ke-n barisan itu adalah Contoh 2 5,

10, 5

17, 7

2

28, 11

4 2

47, 19

8 4

82, 35

16 8

149, ...

. Untuk n = 1→1 = 2 + k ⇔ k = −1

=2 − .

67 ... 32

16

Seperti pada contoh 1 di atas, barisan seperti ini dirumuskan sebagai Untuk n = 1→ 5 = 2 + k ⇔k = 3. Jadi, rumus suku ke-n barisan itu adalah

= 2 +

.

=2 +3 .

Alternatif Penyelesaian Soal-soal yang Berhubungan dengan Konsep Deret Aritmetika dan Deret Geometri

Untuk mengingatkan Anda, berikut ini adalah rumus-rumus yang dipakai dalam deret aritmetika dan deret geometri. Beberapa soal yang dibahas berikut, bila diberikan kepada siswa, lebih tepat sebagai soal-soal pengayaan. Dalam deret aritmetika berlaku: ( +

=

=

−

dengan

)=

[(2 + ( − 1) ], dan

= jumlah n suku pertama,

= suku ke-n, b = beda

Dalam deret geometri berlaku: 2 =

=

(1 − ) (1 − ) −

=

dengan r ≠ 1; r adalah rasio, contoh 1

= jumlah n-1 suku pertama, a = suku pertama,

( − 1) , ( − 1)

= jumlah n suku pertama, a = suku pertama

Deret 1 + 3 + 5 + 2 + 4 + 6 + 3 + 5 + 7 + 4 + 6 + 8 + .... Tentukan jumlah 100 suku pertama!

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

Penyelesaian: Untuk 100 suku pertama deret dapat dikelompokkan menjadi 3, yaitu: 1+3+5 2+4+6 3+5+7 4+6+8 : 33 + 35 + 37 34 atau dapat ditulis sebagain 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ 34 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...+ 35 + 5 + 6 + 7 + 8 + ...+ 37. Jumlahnya adalah =

1 1 1 (34)(1 + 34) + (33)(3 + 35) + (33)(5 + 37) = 595 + 1320 = 1915 2 2 2

Contoh 2

Tentukan n jika Penyelesaian:

⋯

= 36

Deret di atas dapat dinyatakan sebagai 1 (1 + ) = 108 2

⇔

⇔

+

= 216n

− 215n = 0

⇔ n (n − 215) = 0 n = 0 atau n = 215

Soal-soal yang Berhubungan dengan Deret Geometri Tak Hingga Pembahasan deret geometri tak hingga di kelas disarankan untuk dimulai dengan peragaan benda nyata. Salah satu alternatifnya seperti contoh berikut ini. Sebagai pembuka guru bertanya berapakah jumlah deret

+ + + + ⋯, Tentu

siswa belum dapat menjawab pertanyaan ini. Selanjutnya guru menginformasikan langkahlangkah kegiatan yang akan mengarahkan para siswa untuk dapat menjawab pertanyaan tadi.

TUGAS KELOMPOK 1 KALKULUS II

Alat yang digunakan adalah kertas yang berbentuk persegi atau bisa juga persegi panjang yang kemudian dibagi menjadi dua bagian. Selanjutnya bagian terke...