1001 soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PDF

Preview

Summary

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ......................................................................... i DAFTAR ISI ....................................................................................... iii SOAL - SOAL ......................................................................................

Description

Accelerat ing t he world's research.

1001 soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Mikha Mk

Related papers soal & Pembahasan UT S Kalkulus I aiman faurq

Soal ut s kalkulus(pembelajaran) erzon zit ron Handout kalkulus Nova Saput ra

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

AFTAR ISI KATA PENGANTAR ......................................................................... i DAFTAR ISI ....................................................................................... iii SOAL - SOAL ....................................................................................... 2 UTS Genap 2009/2010 ................................................................................3 UTS Ganjil 2009/2010................................................................................4 UTS Genap 2008/2009 ................................................................................5 UTS Pendek 2008/2009 ................................................................................6 UTS 2007/2008 ............................................................................................8 UTS 2006/2007 ............................................................................................9 UTS 2005/2006 .......................................................................................... 10 UTS 2004/2005 .......................................................................................... 11 UTS 2003/2004 .......................................................................................... 12 UTS 2002/2003 .......................................................................................... 13 UTS 2001/2002 .......................................................................................... 14 UTS 2000/2001 .......................................................................................... 15 UTS 1999/2000 .......................................................................................... 17

PEMBAHASAN .................................................................................. 19 UTS Genap 2009/2010 .............................................................................. 20 UTS Ganjil 2009/2010.............................................................................. 24 UTS Genap 2008/2009 .............................................................................. 27 UTS Pendek 2008/2009 .............................................................................. 32 UTS 2007/2008 .......................................................................................... 39 UTS 2006/2007 .......................................................................................... 43 UTS 2005/2006 .......................................................................................... 49 UTS 2004/2005 .......................................................................................... 56 UTS 2003/2004 .......................................................................................... 60 UTS 2002/2003 .......................................................................................... 65 UTS 2001/2002 .......................................................................................... 69 UTS 2000/2001 .......................................................................................... 71 UTS 1999/2000 .......................................................................................... 76

iii

SOAL - SOAL

2

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a.

x−2 x2 ≤ 4 x +1

b. x − 5 x ≥ 2 2. Diketahui f (x ) = sin 2 x dan g ( x) = x − 2 a. Tentukan D f , R f , Dg , dan Rg b. Periksa apakah g

f dan f

c. Bila ya, tentukan Dg f dan D f

g terdefinisi ? g

a ,0 < x ≤ 1 3. Diketahui f ( x ) = x bx 2 − x, x > 1 Tentukan konstanta a dan b, agar f ( x ) terdiferensialkan di x = 1 . 4. Diketahui f (x ) = 5x 3 − 3x 5 a. b. c. d.

Tentukan selang kemonotonan Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya Gambarkan grafiknya

No Nilai Maks

1 10

2 7

3 8

4 10

Jumlah 35

3

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Close Book dan tanpa kalkulator UTS Ganjil 2009/2010 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x 2 − 1 < 3 2. Tentukan nilai a agar fungsi sin (ax ) ,x3 4. Diketahui f ( x) = 3− x qx 2 − 7 x + 1 x ≤ 3

tentukan konstanta p dan q supaya f(x) kontinu di x = 3 5. Diketahui kurva ( x − 3) 2 + y 2 = 2 a. Tentukan y’ b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis singgung tersebut tegak lurus pada garis y = x 6. f(x) adalah fungsi kontinu , dan f(0) = f(2) = 0. Jika grafik y = f ' (x ) seperti gambar di bawah ini

17

a. Tentukan selang kemonotonan f(x) b. Tentukan selang kecekungan f(x) c. Buat sketsa grafik f(x)

Selamat Bekerja Ebs-tza-jdn-mhd-rmi-wdt

18

PEMBAHASAN

19

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x−2 x2 a. ≤ 4 x +1 2 x x−2 − ≥0 x +1 4 4 x 2 − ( x + 1)( x − 2 ) ≥0 4( x + 1)

(

)

4x 2 − x 2 − x − 2 ≥0 4( x + 1) 3x 2 + x + 2 ≥0 4( x + 1)

Karena 3 x 2 + x + 2 definit positif, maka jelas bahwa pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika x + 1 > 0 yaitu x > −1 . Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah {x x > −1}. b. x − 5 x ≥ 2....(i ) Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk x − 5 , kita peroleh untuk x ≥ 5 pertaksamaan (i) secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut (x − 5)x ≥ 2

x 2 − 5x ≥ 2

(x − 52 )2 − (52 )2 ≥ 2 (x − 52 )2 ≥ 334 x − 52 ≥ 12 33

x − 52 ≥ 12 33 atau x − 52 ≤ − 12 33

20

x ≥ 52 + 12 33 ∪ x ≤ 52 − 12 33 yang memberikan penyelesaian

{(

}{

)

}

Hp1 = x x ≥ 52 + 12 33 ∪ x ≤ 52 − 12 33 ∩ x ≥ 5 = x x ≥ 52 + 12 33 . Sedangkan untuk x < 5, pertaksamaan (i) secara berturut turut menjadi − (x − 5)x ≥ 2

− x 2 + 5x ≥ 2 x 2 − 5 x ≤ −2

(x − 52 )2 − (52 )2 ≤ −2 (x − 52 )2 ≤ 174 x−

5 2

≤

1 2

17

− 12 17 ≤ x − 52 ≤ 12 17 5 2

− 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17 yang memberikan penyelesaian

{

}{

}

Hp2= x 52 − 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17 ∩ x < 5 = x 52 − 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17

Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (i) secara keseluruhan adalah

{(

Hp = Hp1 ∪ Hp2 = x

5 2

− 12 17 ≤ x ≤ 52 +

1 2

)

17 ∪ x ≥ 52 +

1 2

}

33 .

2. Diberikan f (x ) = sin 2 x dan g ( x) = x − 2 a. Menentukan D f , R f , Dg , dan Rg

D f = ℜ, R f = [−1,1], Dg = [2, ∞), dan Rg = [0, ∞) b. Memeriksa apakah g f dan f g terdefinisi Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah R f ∩ D g ≠ { } dan R g ∩ D f ≠ { }. Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh R f ∩ D g = { } yang menunjukkan bahwa g f tidak terdefinisi, sedangkan R g ∩ D f = [0, ∞) ≠ { } yang menandakan bahwa f

g terdefinisi.

21

c. Menetukan Dg Karena

g

f

f

dan D f

g

tidak terdefinisi, maka

Dg

f

tidak dapat

ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh

Df

g

} {

{

}

= x ∈ Dg g (x ) ∈ D f = x ∈[2, ∞) x − 2 ∈ R

= {x ≥ 2 x − 2 ≥ 0} = {x x ≥ 2} a ,0 < x ≤ 1 3. Diberikan f ( x ) = x bx 2 − x, x > 1 Syarat perlu agar f terdiferensialkan di x = 1 adalah f harus kontinu di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil lim f ( x ) = lim f (x ) = f (1) , yaitu a = b − 1 atau b = a + 1 (*) x →1−

x →1+

Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f terdiferensialkan di x = 1 dan dengan menggunakan (*), secara berturut turut kita peroleh f −' (1) = f +' (1) f (x ) − f (1) f (x ) − f (1) = lim lim− + − x x −1 1 x →1 x →1 a 2 −a bx − x − a x = lim lim− + x 1 x −1 − x →1 x →1 (a + 1)x 2 − x − a a (1 − x ) = lim lim x −1 x →1− x ( x − 1) x →1+ ((a + 1)x + a )(x − 1) a lim− − = lim+ x x →1 x −1 x →1 − a = lim ((a + 1)x + a ) x →1+

− a = 2a + 1 a = − 13

Dengan demikian b =

2 3

Jadi agar f terdiferensialkan di x = 1 maka haruslah a = − 13 dan b=

2 3

22

4. Diberikan f (x ) = 5x 3 − 3x 5 a. Menentukan selang kemonotonan f ' (x ) = 15x 2 − 15x 4 = 15x 2 (1 − x )(1 + x ) − − −− + + + + + +− − − − −1 0 1 - f monoton naik jika f ' (x ) > 0 yaitu pada selang (− 1,0 ) ∪ (0,1) - f monoton turun jika f ' (x ) < 0 yaitu pada (− ∞,−1) ∪ (1, ∞ ) b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok f " (x ) = 30x − 60x 3 = 30x 1 − 2 x 2 = 30x 1 − 2 x 1 + 2 x + + + + •− − − • + + +• − − − 1 0 − 12 2

(

(

)

)(

(

)∪ (0, ) f " (x ) < 0 yaitu pada (− ,0 ) ∪ ( ,0 )

- f cekung ke atas jika f " (x ) > 0 yaitu pada − ∞,− - f cekung ke bawah jika - karena

pada

)

pada

1 2

1 2

1 2

x=

1 2

,x=−

1 2

1 2

, dan x = 0

terjadi

( ), f (− ), dan f (0) masing ), (− ,− ), dan masing ada, maka ketiga titik ( , perubahan kecekungan serta f

1 2

1 2

1 2

7 4 2

1 2

7 4 2

(0,0) adalah titik belok. c. Menentukan nilai ekstrim dan jenisnya Titik (-1,-2) merupakan titik minimum lokal karena f ' (− 1) = 0 dan f " (− 1) > 0 , sedangkan titik (1,2) merupakan titik maksimum lokal karena f ' (1) = 0 dan f " (1) < 0

f ( x ) = 5 x 3 − 3x 5 d. Grafik ditunjukkan pada gambar di samping

23

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 UTS Ganjil 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

x 2 − 1 < 3.

Pertaksamaan tersebut setara dengan − 3 < x 2 − 1 < 3 . Kasus x 2 − 1 > −3 disederhanakan menjadi x 2 > −2 yang akan selalu terpenuhi untuk setiap x ∈ ℝ. Sedangkan kasus x 2 − 1 < 3 secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut x2 −1 < 3 x2 < 4 x 2}

b. 1 − 2 > 1 x

1 −2 x

2

> 12

1 −2 x

2

− 12 > 0

1 1 − 2 +1 > 0 − 2 −1 x x 1 1 −1 > 0 −3 x x (1 − 3x)(1 − x) >0 x2 ++++ +++-------- +++ • • 0• 1 / 3 1

{

}

Hp = x ( x < 0) ∪ (0 < x < 13 ) ∪ x > 1

39

2. Diketahui f ( x) = 2 + x 2 , g ( x) = 1 a. Menentukan , , , -

D f = R(ans)

- Untuk setiap x ∈ R berlaku x2 ≥ 0 2 + x2 ≥ 2 f ( x) ≥ 2 Sehingga R f = [2, ∞ )(ans) -

D g = R (ans )

-

R g = {1}( ans )

b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika terdefinisi. Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah R f ∩ D g ≠ { } . Dari hasil pada poin sebelumnya kita memiliki R f ∩ Dg = [2, ∞) ∩ R = [2, ∞ ) ≠ { } yang menunjukkan bahwa gof terdefinisi (ans). Selanjutnya gof ( x) = g ( f ( x)) = g (2 + x 2 ) = 1, (ans) c. Menentukan Dgof Menurut definisinya,

} {

{

D gof = x x ∈ D f , f ( x) ∈ D g = x x ∈ R , x 2 + 2 ∈ R

}

= {x x ∈ R, x ∈ R} = {x x ∈ R}(ans) 3. Memeriksa apakah f ( x) =

(x − 1)2 sin 1

1 ;x ≠1 x −1 ; x =1

kontinu di x = 1.

Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah lim f ( x) = f (1) . x →1

Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai x kecuali x =1 berlaku

40

1 ≤1 x −1

− 1 ≤ sin

− ( x − 1) ≤ ( x − 1) sin 2

2

1 2 ≤ (x − 1) x −1

− (x − 1)2 ≤ f ( x ) ≤ (x − 1)2

lim − ( x − 1) = 0 2

Selanjutnya

dan

x →1

lim ( x − 1) = 0 , sehingga 2

x →1

menurut teorema apit lim f ( x ) = 0 . Jadi karena lim f ( x ) = 0 ≠ f (1), x →1

x →1

maka f tidak kontinu di x = 1. x 2 − 6x + 9 x a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim (2 x − 6) x − ( x 2 − 6 x + 9) 2 x 2 − 6 x − x 2 + 6 x − 9) f ' ( x) = = x2 x2 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = = x2 x2

4. Diketahui f ( x ) =

++++ ----- ------ ++++

• -3

•

0

•

3

- f monoton naik jika f ' ( x ) > 0, yaitu pada selang (− ∞,−3) ∪ (3, ∞ ) - f monoton turun jika f ' ( x ) < 0, yaitu pada selang (− 3,0) ∪ (0,3) - Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -3(+ -) dan f(-3) ada , maka titik (-3,f(-3)) = (-3,-12) merupakan titik maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di x =3 (+ -), maka titik (3,f(3)) = (3,0) merupakan titik minimum lokal. b. Menentukan selang kecekungan 9 x2 − 9 f ' ( x) = =1− 2 2 x x f ' ' ( x) =

18 x3

41

- f cekung ke atas jika f " ( x ) > 0 , yaitu untuk x > 0 - f cekung ke bawah jika f " ( x ) < 0 , yaitu pada selang (− ∞,0 ) - f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b) f ( x) x 2 − 6x + 9 6 9 = lim = lim 1 − + 2 = 1 a = lim 2 x →∞ x → ∞ x → ∞ x x x x 2 x − 6x + 9 x2 − 6 x + 9 − x2 b = lim f ( x) − ax = lim − x = lim x→∞ x →∞ x →∞ x x − 6x + 9 9 = lim = lim − 6 + = −6 x x x →∞ x →∞ Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y = x – 6 - Asimtot tegak ( berbentuk x = c) x 2 − 6x + 9 Karena =∞, lim f ( x ) = lim x →0 x→0 x2 merupakan asimtot tegak dari f.

maka

x=0

d. Grafik f(x)

42

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 13 November 2006 UTS 2006/2007 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari : 1 −1 dan < 5 ……....(i) 2x −1 2x −1 pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi 1 + (2 x − 1) >0 2x −1 2x >0 2x − 1 +++++-----++++ 0

1/2

Hp1 = {x x < 0 ∪ x > 1 / 2} pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi 1 − 5(2 x − 1) 3 / 5}(ans) b.

adalah

4 ≥ x − 3 ……………………………………………………..(ii) x

x ;x≥0 Menurut definisinya x = −x ; x 0 , yaitu pada interval x < −2 dan 0 < x < 2

46

- f(x) cekung ke bawah jika f ' ' ( x) < 0 , yaitu pada interval − 2 < x < 0 dan x > 2 - Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = 0 dan f(0) ada, maka titik (0,f(0)) = (0,0) adalah titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b) f ( x) 2 2x a = lim = lim = lim =0 2 x →∞ x → ∞ x → ∞ x (4 − x 2 ) (4 − x ) x

b = lim f ( x) − ax = lim x →∞

x →∞

( x)

x2 2

2x 2

(4 − x )

= lim x →∞

=

x2 4

0 =0 −1

−1 x2 Dengan demikian f(x) memiliki asimtot datar yaitu berupa garis y = 0. - Asimtot tegak ( berbentuk x = c ) 2x 2x Karena lim = ∞, dan lim = ∞ maka f(x) memiliki 2 2 x→2 4 − x x→−2 4 − x dua asimtot tegak yaitu x = 2 dan x = -2 d. Grafik f(x)

Q (x,y)

R 44 O

grafik f ( x) =

2x 4 − x2

P P

Gambar 5

47

5. Perhatikan gambar 5 di atas ! a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah. Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan

x 2 + y 2 = 16 y = 16 − x 2 Sehingga luas persegi panjang = L(x) = 4× luas persegi panjang OPQR. L( x) = 4 × OP × PQ

= 4 x 16 − x 2

0≤ x≤4

b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum. Nilai maksimum L(x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi ketika L’(x) = 0 yakni 4 16 − x 2 + 4 x.

16 − x 2

2 16 − x 2

4x 2

4 16 − x 2 − 4

( −2 x )

16 − x 2 2

=0

=0

− 4x 2 = 0

64 − 4 x 2 = 4 x 2 8 x 2 = 64 x=± 8

Karena 0 ≤ x ≤ 4 maka x yang mememuhi adalah x = 8 . Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu x = 8 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 4 yang berasal dari ujung interval domain L(x). Untuk mengetahui dimana L(x) mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L(x) pada titik-titik kritis tersebut yaitu L( 8 ) = 32 , L(0) = 0 , L(4) = 0 . Karena L( 8 ) = 32 merupakan luas maksimum, maka ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum adalah 2.OP × 2.PQ = 2 8 × 2 8 = 4 2 × 4 2 (ans) .

48

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006 Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114) Senin 17 Oktober 2005 UTS 2005/2006 1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva x 2 − xy + y 2 = 16 .........(i ) dengan sumbu x. Titik potong kurva dengan sumbu x berada pada y = 0. Sehingga dari (i) diperoleh x 2 = 16 atau x = ±4 Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu (4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut. D x ( x 2 − xy + y 2 ) = D x (16)

2 x − ( y + xy') + 2 yy' = 0 2 x − y − xy'+2 yy' = 0 (2 x − y ) − ( x − 2 y ) y ' = 0 (2 x − y ) = ( x − 2 y ) y '

y' =

2x − y x − 2y

Di titik (4,0), y ' = 2 Di titik (-4,0), y ' = 2 Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah y − 0 = 2(x − 4 ) atau y = 2 x − 8 (ans ) , sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis singgungnya adalah y − 0 = 2(x − (− 4 )) atau y = 2 x + 8 (ans ). 2. Menentukan

himpunan

penyelesaian

pertaksamaan

2 x + 1 + x(x + 1) ≤ 4..............(iii ) Menurut definisinya x + 1, x ≥ −1 x +1 = − ( x + 1), x < −1

49

Sehingga - untuk x -1 (iii) menjadi 2( x + 1) + x( x + 1) ≤ 4 2x + 2 + x 2 + x ≤ 4 x 2 + 3x ≤ 2

(x + 32 )2 − ( 32 )2 ≤ 2 (x + 32 )2 ≤ 174 x + 32 ≤ 12 17 − 12 17 ≤ x + 32 ≤ 12 17 − 12 17 − 32 ≤ x ≤ 12 17 − 32 Hp1 = [−1, ∞) ∩[− 12 17 − 32 , 12 17 − 32 ] = [−1, 12 17 − 32 ] - sedangkan untuk x < -1 (iii) menjadi 2(− ( x + 1) ) + x(x + 1) ≤ 4 − 2x − 2 + x 2 + x ≤ 4 x2 − x − 6 ≤ 0 ( x − 3)( x + 2) ≤ 0 − 2 ≤ x ≤ 3 ( periksa !) Hp 2 = (−∞,−1] ∩ [−2,3] = [ −2,−1] Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp2 = − 1, 12 17 − 32 ∪ [− 2,−1] = − 2, 12 17 − 32 (ans)

[

]

3. a. Menentukan a agar lim

9 x 2 + ax + 4 + 3x =

x → −∞

2 lim 9x + ax+ 4 + 3x.

x→−∞

lim

x → −∞

[

]

1 3

9x2 + ax+ 4 − 3x 1 = 9x2 + ax+ 4 − 3x 3

9 x 2 + ax + 4 − 9 x 2 9 x 2 + ax + 4 − 3 x

=

1 3

50

lim

x → −∞

lim

ax + 4

=

9 x 2 + ax + 4 − 3 x 4 x a+ x

1 3

=

a 4 + 2 − 3x x x 4 x a+ 1 x = lim x → −∞ 3 a 4 x 9 + + 2 − 3x x x 4 x a+ 1 x = lim x → −∞ 3 a 4 − x 9 + + 2 − 3x x x 4 a+ 1 x = lim x →−∞ 3 a 4 − 9+ + 2 −3 x x 1 a = − 9 −3 3 a 1 = −6 3 a = −2(ans) x → −∞

x2 9 +

1 3

b. Menentukan nilai a dan b jika lim

a + cos(bx)

x2 lim a + cos(bx) harusl...