subiecte examen analiza matematica 2020 anul 1 csie PDF

Preview

Summary

Download subiecte examen analiza matematica 2020 anul 1 csie PDF

Description

VARIANTA A

∞

1. [0,5p] S se studieze convergena seriei numerice

n

( −1)

+ ( −2 )

n

2 + 3n

n =1

.

n⋅x 2. [0,5p] Se consider irul de funcii ( f n )n ≥ , unde f n : [0,1] → R , f n ( x ) = . 2 1 3n⋅ x

Determinai funcia limit a irului i studiai dac irul este uniform convergent pe[0, 1] . ∞

3. [0,5p] Determinai intervalul de convergen al seriei de puteri n =1 ∞

4. [0,5p] Cu ajutorul seriilor de puteri gsii suma seriei  ( − 1) n =1

n

2n

(3x − 1)

2n + 3

.

1 . n2 n

5. [1p] S  se stabileasc dac  funcia f : R 2 → R , f ( x, y ) = 2 x2 + 3 y2 este diferen iabil în punctul P ( 0, 0 ) . 6. [2p] Folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange s se determine punctele de extrem local condi  ionat ale funciei f : R2 → R definit prin

f (x, y) = −2x + 3 y cu leg tura

− x 2 + 3y 2 + 9 = 0 . 7. [1,5p] S se afle solu ia general a ecua iei difereniale y′ −

xy x = , x > 1, y > 0 . 2 2 ( x − 1) y

5

1

 1 8. [1p] Utilizând integralele euleriene, calcula i   ln  dx . x 0 9. [1,5p] Reprezenta i grafic domeniul D =

{( x , y ) ∈R 1

2

 x dx dy . D

[1p] OFICIU

( x − 3) 2 ≤ y ≤ − x + 5}i calculai

VARIANTA B

n n

∞

1. [0,5p] S se studieze convergen a seriei numerice 

(1 + ( −1) )

2. [0,5p] Se consider  irul de func ii

(f )

n n 1 ≥

.

n

n =1

, unde f n : [0,1] → R , f n ( x ) =

n2 ⋅ x +1 . 2n⋅ x

Determina i funcia limit a irului i studiai dac irul este uniform convergent pe [0, 1] . ∞

3. [0,5p] Determinai intervalul de convergen al seriei de puteri

 n =1

1 n2

 2 1 +   n

( e ⋅ x )n .

n −1

2 1  4. [0,5p] Cu ajutorul seriilor de puteri g si i suma seriei  n   . 3 3  n =1 ∞

2

y 5. [1p] S se stabileasc dac funcia f : R 2 → R , f ( x , y ) = ( x − 1) e − este difereniabil în

punctul P (1, 0 ) . 6. [2p] Folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange s se determine punctele de extrem local condi ionat ale funciei

f :R 2 → R definit prin

f ( x , y) = − x + 3 y cu leg tura

− x 2 + 3 y 2 −8 = 0 . 7. [1,5p] S se afle solu ia general a ecua iei difereniale y′ −

2 xy = x y , x ∈ R , y > 0. x 2 +1

∞

8. [1p] Utilizând integralele euleriene, calcula i 9. [1,5p] Reprezenta i grafic domeniul D = calcula i

 D

[1p] OFICIU

1 + x 2 + y 2 dx dy .

x5 0 1+ x 8 d x .

{( x , y ) ∈R

2

}

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 8, 3 3 x ≤ 3y ≤ 3 x i

VARIANTA C

n

( −1) + 2 n . n n n =1 3 − ( − 2) ∞

1. [0,5p] S se studieze convergen  a seriei numerice 

2. [0,5p] Se consider  irul de func ii

(f )

n n 1 ≥

, unde f n : R → R , f n ( x ) =

sin ( n ⋅ x) . n2 + x2

Determina i func ia limit a irului i studiai dac irul este uniform convergent pe R. ∞

3. [0,5p] Determina i intervalul de convergen  al seriei de puteri

3 n =1

∞

4. [0,5p] Cu ajutorul seriilor de puteri g si i suma seriei

n 2 xn. +1

2n

1

 ( −1) ( n + 1) 3 n+1

n

.

n= 0

5. [1p] S  se stabileasc  dac funcia

f :R 2 → R ,

f (x , y ) =

2

2

(x − 1) + ( y − 2 )

este

diferen  iabil în punctul P (1, 2) . 6. [2p] Folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange s se determine punctele de extrem local condi ionat ale funciei

f :R 2 → R definit prin

f ( x , y) = 3x − 2 y cu leg  tura

3 x2 − y2 + 9 = 0 . 7. [1,5p] S se afle solu  ia general a ecua iei diferen iale y ′ −

2y = y 2, x > 1 . x 2 −1

∞

8. [1p] Utilizând integralele euleriene, calcula i  e − x + x+1 dx . 2

1 2

9. [1,5p] Reprezenta i grafic domeniul D = calcula i

 D

[1p] OFICIU

1 dx dy . x

{( x , y ) ∈R

2

}

− x − 2 ≤ y ≤ −x 2 + 3x − 2 i

VARIANTA D

(2

n

∞

1. [0,5p] S se studieze convergen a seriei numerice 

)

−1

n

n3 ⋅n −1

n =2

. n

2. [0,5p] Se consider  irul de funcii

(f ) n

 n ⋅ x + 3⋅ x  , unde f n : [0,1] → R , f n ( x ) =   . n ≥1  n+ 1 

Determina i funcia limit a irului i studiai dac irul este uniform convergent pe [0, 1] . ∞

(

3. [0,5p] Determinai intervalul de convergen al seriei de puteri  4n − n

) ( x − 2)

n −1

.

n =1 n

3 1  ( n + 1)   .  4 4  n= 0 ∞

4. [0,5p] Cu ajutorul seriilor de puteri g si i suma seriei

4

5. [1p] S  se stabileasc dac  func ia f : R 2 → R , f ( x , y ) = e x ( y + 3) este difereniabil în punctul P ( 0, − 3) . 6. [2p] Folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange s se determine punctele de extrem local condi ionat ale funciei

f : R2 → R

definit prin

f ( x, y) = 3x − y cu leg tura

3x 2 − y 2 − 8 = 0 . 7. [1,5p] S se afle solu ia general a ecua iei diferen iale y′ − 1 8

8. [1p] Utilizând integralele euleriene, calcula i

 0

9. [1,5p] Reprezentai grafic domeniul D = calculai

 D

[1p] OFICIU

4 − x 2 − y 2 dx dy .

1 3

x2 (1 −8 x)

{( x , y ) ∈R

2

6 xy = x ⋅ 3 y2 , x ∈ R . 2 x +1 dx .

}

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2, − 3 x ≤ 3y ≤ − 3 3 x i...