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2.1 Definición de ecuación diferencial de orden 𝒏Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que tiene la forma:𝑎 0 (𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛+𝑎 1 (𝑥)𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1+𝑎 2 (𝑥)𝑑𝑛−2𝑦𝑑𝑥𝑛−2+ ⋯+𝑎𝑛−1(𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥+𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) ⋯(𝒊)y que se caracteriza por las siguientes propiedades:a) La variable dependiente y junto con...

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Tema 2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

2.1 Teoría preliminar

2.1.1 Definición de ecuación diferencial de orden 𝒏 Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que tiene la forma:

𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑 𝑛−2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑛𝑦 + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) 𝑎0 (𝑥) 𝑛 + 𝑎1 (𝑥) 𝑛−1 + 𝑎2 (𝑥) 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

⋯ (𝒊)

y que se caracteriza por las siguientes propiedades:

a) La variable dependiente y junto con todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. b) Los coeficientes de y y de sus derivadas dependen sólo de x.

Si n = 1, la ecuación 𝒊 se convierte en una ecuación diferencial lineal de primer orden (estas ecuaciones ya se revisaron en el tema 1): 𝑎0 (𝑥)

𝑑𝑦 + 𝑎1 (𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥

Si n = 2, la ecuación 𝒊 se convierte en una ecuación diferencial lineal de segundo orden: 𝑎0 (𝑥)

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎1 (𝑥) + 𝑎2 (𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Si n = 3, la ecuación 𝒊 se convierte en una ecuación diferencial lineal de tercer orden: 𝑎0 (𝑥)

𝑑3𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 + + 𝑎2 (𝑥) + 𝑎3 (𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) 𝑎 (𝑥) 1 3 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Si todos los coeficientes 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥), 𝑎2 (𝑥), ⋯ , 𝑎 𝑛 (𝑥) son constantes, la ecuación se llama ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Sin embargo, si no todos los coeficientes son constantes se llama ecuación diferencial lineal con coeficientes variables.

Ejemplos:

𝑦 ″ + 3𝑦 ′ − 4𝑦 = 10𝑒 𝑥 Es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes (1 − 𝑥 2 )𝑦 ″ − 2𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 Es una ecuación diferencial lineal con coeficientes variables

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2.1 Teoría preliminar

2.1.2 Problemas de valor inicial

En muchos casos prácticos se requiere encontrar una solución particular y (x ) de una ecuación diferencial lineal de segundo orden 𝑎0 (𝑥)𝑑𝑥 2 + 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎2 (𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) ……………………………..(I) 𝑑𝑦

𝑑2𝑦

que tenga un valor dado 𝐾 en un punto x = x 0 y cuya derivada tenga un valor dado 𝐿 en x = x 0 ; es decir,

o más brevemente,

𝑦=𝐾

𝑦(𝑥0 ) = 𝐾 ,

y

𝑦′ = 𝐿

𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝐿,

cuando 𝑥 = 𝑥0 ,

…………………………….. .(II)

La ecuación diferencial lineal (I) junto con las dos condiciones (II), constituye lo que se llama un problema con valor inicial. Para resolver un problema tal, debe hallarse una solución particular de (I) que satisfaga (II). Tal problema tiene una solución única; hablando prácticamente, esto significa que mediante las condiciones (II) pueden asignarse valores definidos a las constantes arbitrarias en una solución general de ( I), siendo el resultado una solución particular única que satisface (I) y (II). Por ejemplo: Encontrar la solución particular del problema con valor inicial 𝒚″ − 𝟐𝒚′ + 𝟏𝟎𝒚 = 𝟎, 𝑦(0) = 4, 𝑦 ′ (0) = 1, si la solución general correspondiente es 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐴 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑥). Aplicando en la solución general la condición inicial y (0) = 4 , es decir, y = 4 cuando x = 0:

4 = e 0 [ A cos 3(0) + B sen 3(0)] se obtiene A = 4 .  y = e x (4 cos 3 x + B sen 3 x) …………………………………..(III) Para aplicar la condición y (0) = 1 , es necesario derivar primero la ecuación (III): 𝑦 ′ = −12𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 4𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠  3𝑥 + 3𝐵𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠  3𝑥 + 𝐵𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 Después procedemos a aplicar la condición mencionada:

1 = −12𝑒 0 𝑠𝑒𝑛 3(0) + 4𝑒 0 𝑐𝑜𝑠  3(0) + 3𝐵𝑒 0 𝑐𝑜𝑠  3(0) + 𝐵𝑒 0 𝑠𝑒𝑛 3(0) De aquí se obtiene que B = −1 .

La solución particular de la ecuación diferencial y  − 2 y  + 10 y = 0, para las condiciones dadas y(0) = 4 y y (0) = 1 es:

 y = e x (4 cos 3 x − sen 3 x)

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2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de soluciones Si h(x), f(x), g(x) y r(x) son funciones continuas en un intervalo abierto I, siendo h( x )  0 y si xo está en I, entonces el problema con valor inicial 𝒉(𝒙)𝒚″ + 𝒇(𝒙)𝒚′ + 𝒈(𝒙)𝒚 = 𝒓(𝒙),

tiene una solución única y(x) en I.

𝒚(𝒙𝟎 ) = 𝑲𝟏 ,

𝒚′ (𝒙𝟎 ) = 𝑲𝟐

2.1.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Si 𝐹(𝑥) ≡ 𝟎 en la ecuación 𝑎0 (𝑥)

𝑑𝑛𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑 𝑛−2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) + 𝑎 (𝑥) + 𝑎 (𝑥) + ⋯ + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 1 2 𝑛−1 𝑛−2 𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

se dice que la ecuación diferencial lineal es homogénea. Si 𝐹(𝑥) no es idénticamente cero, se dice que la ecuación diferencial lineal es no homogénea. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas: 𝑦 ″ + 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 0

𝑦 ‴ + 𝑦 ″ − 4𝑦 ′ − 4𝑦 = 0 𝑥 2 𝑦 ″ + 3𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 0

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales no homogéneas: 4𝑦 ″ + 𝑦 = 6 𝑠𝑒𝑛 2𝑥

𝑥 2 𝑦 ″ + 2𝑥𝑦 ′ − 12𝑦 = 𝑥 2

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Principio de superposición Sean 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, entonces la combinación lineal 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ 𝑐𝑛 𝑦𝑛 donde 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 son constantes arbitrarias, también es una solución de la ecuación. Por ejemplo: La ecuación de segundo orden 𝒚″ − 𝟗𝒚 = 𝟎 tiene dos soluciones: 𝑦1 = 𝑒 3𝑥 y 𝑦2 = 𝑒 −3𝑥 . Puesto que

W =

y1 y1

y2 e 3x = y 2 3e 3 x

e −3 x

− 3e −3 x

= −3 − 3 = −6

(W  0)

y 1 y y 2 forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación y la solución general de la ecuación diferencial es:

𝑦 = 𝑐1 𝑒 3𝑥 + 𝑐2 𝑒 −3𝑥

2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano

Se dice que n funciones y1 ( x), , y n ( x) son linealmente dependientes en un intervalo I si existen constantes 𝑐1 ,  𝑐2 ,  … ,  𝑐𝑛 , no todas nulas, tales que para todo x en el intervalo.

𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) = 0

Se dice que un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si no es linealmente dependiente. En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las cuales son 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = ⋯ = 𝑐𝑛 = 0.

𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) = 0

Es fácil entender estas definiciones en el caso de dos funciones 𝑦1 (𝑥) y 𝑦2 (𝑥). Si las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, entonces existen dos constantes c1 y c2 , no siendo ambas nulas, tales que para todo 𝑥 del intervalo 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) = 0 Por lo tanto, si suponemos que 𝑐1 ≠ 0, se infiere que

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𝑦1 (𝑥) = −

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𝑐2

𝑦 (𝑥). 𝑐1 2

Esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es simplemente un múltiplo constante de la otra y, por lo tanto, se puede concluir que dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es un múltiplo constante de la otra en un intervalo. El intervalo en el cual las funciones están definidas es importante en las consideraciones sobre dependencia e independencia lineal.

Se dice que un conjunto de n funciones 𝒚𝟏 (𝒙), 𝒚𝟐 (𝒙), … , 𝒚𝒏 (𝒙) es linealmente dependiente en un intervalo si al menos una función puede expresarse como una combinación lineal de las restantes 𝑛 − 1 funciones, es decir, como una suma de esas funciones, cada una multiplicada por una constante (cero o no). Si ninguna de las funciones puede representarse de esa forma, se dice que son linealmente independientes. Una condición suficiente para que n funciones 𝒚𝟏 (𝒙), 𝒚𝟐 (𝒙), … , 𝒚𝒏 (𝒙) sean linealmente independientes en un intervalo es que el determinante: 𝑦1 (𝑥) 𝑦1 ′(𝑥) | ⋮ 𝑦1 𝑛−1 (𝑥)

𝑦2 (𝑥) ⋯ 𝑦𝑛 (𝑥) 𝑦2 ′(𝑥) ⋯ 𝑦𝑛 ′(𝑥) |≠𝟎 ⋮ ⋮⋮⋮ ⋮ 𝑛−1 (𝑥) ⋯ 𝑦 𝑛−1 (𝑥) 𝑦2 𝑛

suponiendo que 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥) tienen al menos 𝑛 − 1 derivadas.

El determinante mencionado se designa por 𝑊[𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥)] y se llama wronskiano de las n funciones involucradas.

Ejemplos:

1. Las funciones 𝑦1 = 𝑒 𝑥 y 𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑥 son linealmente independientes en cualquier intervalo del eje x puesto que: 𝑒𝑥 𝑊=| 𝑥 𝑒

𝑥𝑒 𝑥 | = 𝑥𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 2𝑥 = 𝑒 2𝑥 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥

Esto es, 𝑾 ≠ 0 para cualquier valor real de 𝑥. 2. Las funciones 𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 y −   x   puesto que: 2 𝑊 = | 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑦2 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 son linealmente dependientes en el intervalo

1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥| = 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 Aplicando la identidad 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥:

𝑊 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ⋅ 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 TecNM/Instituto Tecnológico de Minatitlán

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𝑊 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)

Aplicando la identidad 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥: 𝑾≡𝟎

3. Las funciones 𝑦1 = 𝑒 −𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 𝑥 , 𝑦3 = 𝑒 2𝑥 son linealmente independientes puesto que: 𝑒 −𝑥 𝑊 = |−𝑒 −𝑥 𝑒 −𝑥

𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑒 2𝑥 2𝑒 2𝑥 | = 𝑒 −𝑥 (4𝑒 3𝑥 − 2𝑒 3𝑥 ) − 𝑒 𝑥 (−4𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 ) + 𝑒 2𝑥 (−1 − 1) 4𝑒 2𝑥 𝑊 = 6𝑒 2𝑥

Esto es, W ≠ 0 para cualquier valor real de 𝑥.

2.1.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Al resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n nos interesa determinar las n soluciones linealmente independientes de la ecuación. Se llama conjunto fundamental de soluciones a cualquier conjunto 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, y se define como solución general de la ecuación a 𝒚 = 𝒄𝟏 𝒚𝟏 + 𝒄𝟐 𝒚𝟐 + ⋯ 𝒄𝒏 𝒚𝒏 .

Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una de primer orden

A. Reducción de orden por cambio de variable.

Dada la ecuación diferencial lineal de segundo orden 𝑦 ″ + 𝑓(𝑥)𝑦 ′ + 𝑔(𝑥)𝑦 = 0 es natural suponer que una forma de resolverla es integrar dos veces la ecuación. De hecho así se hace al efectuar el siguiente cambio: 𝒛 = 𝒚′

→

𝒛′ = 𝒚″

El cambio reduce la ecuación de segundo orden a una de primer orden. Por ejemplo:

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1. Encontrar la solución de la ecuación 𝒙𝒚″ = 𝒚′, reduciéndola a una ecuación de primer orden. Sea 𝑧 = 𝑦 ′

→

𝑧 ′ = 𝑦 ″, la ecuación se convierte en: 𝑥𝑧 ′ = 𝑧 𝑧′ 1 = 𝑧 𝑥

Integrando se obtiene:

Como 𝑧 = 𝑦 ′ :

𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑧 𝑙𝑛 𝑧 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑐 𝑙𝑛 𝑧 = 𝑙𝑛 𝑐 𝑥 𝑧 = 𝑐𝑥 𝑦 ′ = 𝑐𝑥 𝑑𝑦 = 𝑐𝑥𝑑𝑥

Integrando nuevamente se obtiene la solución general de la ecuación: 𝒚=

𝒄𝟏 𝟐 𝒙 + 𝒄𝟐 𝟐

2. Encontrar la solución de la ecuación 𝒙𝟐 𝒚″ + 𝒙 = 𝟏. Sea 𝑧 = 𝑦 ′

→

𝑧 ′ = 𝑦 ″, la ecuación se convierte en: 𝑥2𝑧 ′ + 𝑥 = 1 𝑧′ =

𝑑𝑧 = Integrando se obtiene: 𝑧=−

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1− 𝑥 𝑥2

1−𝑥 𝑑𝑥 𝑥2

1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐1 𝑥

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Como 𝑧 = 𝑦 ′ ,

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1 𝑑𝑦 = (− − 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐1 ) 𝑑𝑥 𝑥

Integrando nuevamente se obtiene la solución general de la ecuación: 𝒚 = − 𝒍𝒏 𝒙 − 𝒙 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙 + 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒄𝟐

B. Reducción de orden usando factores del operador diferencial. Supóngase que D denota la primera derivada con respecto a x, D2 la segunda derivada respecto de x, y así sucesivamente, esto es, para el entero n,

La expresión

𝑫𝒏 𝒚 =

𝒅𝒏 𝒚 𝒅𝒙𝒏

𝐴 = 𝑎0 𝐷𝑛 + 𝑎1 𝐷𝑛−1 + 𝑎 2 𝐷𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝐷 + 𝑎𝑛

se llama un operador diferencial de orden n. Puede definirse como el operador que, cuando es aplicado a cualquier función y, produce el resultado 𝐴𝑦 = 𝑎0

𝑑𝑛𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑 𝑛−2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎𝑛 𝑦 + 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 1 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛−2

Los operadores diferenciales con coeficientes constantes satisfacen todas las leyes del álgebra ordinaria con respecto a la adición y la multiplicación.

Considérese la ecuación (𝐷 − 𝑎)(𝐷 − 𝑏)𝑦 = 𝑅(𝑥). El cambio de variable dependiente: (𝐷 − 𝑏)𝑦 = 𝑤 conduce a la ecuación (𝐷 − 𝑎)𝑤 = 𝑅(𝑥) que es lineal de primer orden. Por ejemplo: Resolver la ecuación 𝑦 ″ − 𝑦 = 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2

Utilizando un operador diferencial la ecuación se puede escribir de la siguiente manera: (𝐷2 − 1)𝑦 = Factorizando el operador, se obtiene:

𝑒𝑥

(D + 1)(D − 1) y = TecNM/Instituto Tecnológico de Minatitlán

2 + 𝑒 −𝑥

2 e + e −x x

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Haciendo el cambio de variable (𝐷 − 1)𝑦 = 𝑧, se obtiene la ecuación lineal de primer orden: (𝐷 + 1)𝑧 = 𝑧′ + 𝑧 =

𝑒𝑥

2 + 𝑒 −𝑥

2 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥

Resolviendo esta ecuación diferencial lineal de primer orden como se vió en el tema 1, obtenemos el factor integrante: 𝑒 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥

Multiplicando por el factor integrante:

𝑒𝑥 𝑧′ + 𝑒 𝑥𝑧 =

∫ 𝑑(𝑒 𝑥 𝑧) = ∫

2𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥

2𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 (𝑒 𝑧) = 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 + 𝑒 −𝑥

2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ −𝑥 2𝑥 = ∫ 2𝑥 𝑥 −𝑥 𝑒 +1 𝑒 +𝑒 𝑒 (𝑒 + 1) 𝑒 𝑥 𝑧 = 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) + 𝑐1

La solución de la ecuación lineal de primer orden es:

𝑧 = 𝑒 −𝑥 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) + 𝑐1 𝑒 −𝑥

Sustituyendo el valor de 𝑧 = (𝐷 − 1)𝑦 se obtiene otra ecuación lineal de primer orden:

(D − 1)y = e − x ln(e 2x + 1) + c1 e − x y − y = e − x ln( e 2 x + 1) + c1 e − x

− dx Cuyo factor integrante es: e  = e − x Multiplicamos la ecuación por el factor:

e − x y  − e − x y = e −2 x ln(e 2 x + 1) + c1 e −2 x

(

)

d −x e y = e − 2 x ln( e 2 x + 1) + c1e − 2 x dx

 d (e

−x

y ) =  e −2x ln(e 2x + 1)dx + c1  e −2 x dx

Integrando por partes:

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u = ln(e 2 x + 1) du =

2e 2 x dx e2x +1

dv = e −2 xdx v=−

e −2 x 2

1 𝑒 −2𝑥 2𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 1 −2𝑥 + 𝑐 𝑒 −𝑥 𝑦 = − 𝑒 −2𝑥 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) + ∫ − 𝑐1 𝑒 2 2 2 𝑒 2𝑥 + 1 2 𝑑𝑥 1 1 − 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 𝑦 = − 𝑒 −2𝑥 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) + ∫ 2𝑥 2 𝑒 +1 2

1 𝑒 2𝑥 1 𝑒 −𝑥 𝑦 = − 𝑒 −2𝑥 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) + ∫ (1 − 2𝑥 ) 𝑑𝑥 − 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 2 𝑒 +1 2 1 1 1 𝑒 −𝑥 𝑦 = − 𝑒 −2𝑥 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) + 𝑥 − 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) − 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 2 2 2

1 1 1 𝑦 = − 𝑒 −𝑥 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) + 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑙𝑛( 𝑒 2𝑥 + 1) − 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 2 2 2 Por lo tanto la solución es: 𝒚 = 𝒄𝟐 𝒆𝒙 + 𝒄𝟑 𝒆−𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 −

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𝟏 𝒙 (𝒆 + 𝒆−𝒙) 𝒍𝒏( 𝒆𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟐

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