Sumas y restas con llevadas PDF

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aprender a sumar con llevadas...

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Sumas y restas con llevadas Los términos de la suma son: sumandos y suma o resultado

Al realizar una suma comenzamos sumando las unidades. Si al sumarlas el resultado fuera de una sola cifra (es decir, de 0 a 9) escribimos el resultado y pasamos a sumar las decenas. Pero ¿y si al sumar las unidades el resultado fuera de dos cifras (es decir, 10 o superior)? Entonces escribimos en el resultado sólo la cifra de la derecha y la de la izquierda la añadimos a la columna de las decenas.

Como la suma de las unidades es igual a 13 (tiene dos cifras), coloco la cifra de la derecha (3) en el resultado y la de la izquierda (1) la sumo a la columna de las decenas. Y seguimos sumando:

Esto que hemos visto (suma con llevadas) también puede ocurrir en la columna de las decenas (o de las centenas, o de las unidades de millar...). Siempre operamos de la misma manera:

Como la suma de las decenas es igual a 15 (tiene dos cifras), coloco la cifra de la derecha (5) en el resultado y la de la izquierda (1) la sumo a la columna de las centenas. Y seguimos sumando:

Resta con llevadas Los términos de la resta son: minuendo, sustraendo y diferencia (o resultado).

Al efectuar una resta comenzamos por las unidades. Puede ocurrir que las unidades del sustraendo sean mayores que las del minuendo.

Las unidades del sustraendo (7) son mayores que la del minuendo (4). A 4 no le puedo quitar 7 (que es mayor). ¿Qué podemos hacer? Solución: A las unidades del minuendo le ponemos un 1 delante con lo que se transforma en 14. Ahora a 14 sí le podemos restar 7.

El 1 que le hemos puesto delante al 4 se lo restamos a la siguiente cifra del minuendo.

Y seguimos restando:

..........

La resta con llevadas también puede ocurrir cuando restamos las decenas (cuando las decenas del sustraendo son superiores a las decenas del minuendo) y actuaremos de la misma manera: Veamos un ejemplo:

Las decenas del sutraendo (5) son mayores que las del minuendo (2), A 2 no le podemos quitar 5. Para poder hacerlo le vamos a poner al 2 un 1 delante. A 12 si le podemos quitar 5:

El 1 que le hemos puesto delante al 2 se lo vamos a restar a la siguiente cifra del minuendo.

Y seguimos restando:

La resta con llevadas puede ocurrir igualmente cuando restamos las centenas o las unidades de millar. Siempre actuaremos de la misma manera.

1.- La prueba de la resta Para comprobar si el resultado de una resta es correcto:

Aplicamos la prueba de la resta, que dice: sustraendo + diferencia = minuendo

Vamos un comprobarlo:

Vemos que se cumple, por lo que la resta está bien resuelta. Vamos a poner ahora un ejemplo de una resta mal resuelta y comprobaremos como no se cumple la prueba de la resta. 1)

2)

3)

477

453 + 644 + 241= Aplicamos la prueba de la resta y vemos que no se cumple: 418 + 115 + 258=

379 + 346 + 444= -

325

= 997

-

558

36) = 287

-

21

-

98

37) = 120 38) =

Ejercicios 1. Resuelve las siguientes sumas y restas: Multiplicar por tres cifras Vamos a hacer una multiplicación: 637 x 284.

Para ello tenemos que realizar 4 pasos: 1er paso:

2do paso:

3er paso:

4º paso:

El resultado es:

1.- Propiedad Conmutativa Cuando vamos a multiplicar dos números da igual el orden que utilicemos: 2 x 3 es igual que 3 x 2 A esta propiedad se le llama propiedad conmutativa. Veamos otro ejemplo: 4 x 6 = 24 6 x 4 = 24

2.- Propiedad asociativa Si tenemos que multiplicar 3 o más números: 4x5x7 Da igual que empecemos: a) Multiplicando el 1º por el 2º, y su resultado lo multipliquemos por el 3º. 4 x 5 = 20 (multiplicamos el primero por el segundo) 20 x 7 = 140 (multiplicamos el resultado anterior por el tercero)

b) Multiplicando el 2º por el 3º, y su resultado lo multipliquemos por el 1º. 5 x 7 = 35 (multiplicamos el segundo por el tercero) 35 x 4 = 140 (multiplicamos el resultado anterior por el primero) Vemos que el resultado es el mismo.

3.- Propiedad distributiva Para multiplicar una suma por un número: (4 + 3) x 8 Podemos hacerlo de dos maneras: a) Primero resolvemos la suma y su resultado lo multiplicamos por el número. 4 + 3 = 7 (resolvemos la suma) 7 x 8 = 56 (el resultado de la suma lo multiplicamos por el número)

b) Aplicando la propiedad distributiva que consiste en multiplicar el número por cada elemento de la suma y a continuación sumar los resultados. (4 + 3) x 8 = (4 x 8) + (3 x 8) 4 x 8 = 32 (multiplicamos el 8 por el primer miembro de la suma) 3 x 8 = 24 (multiplicamos el 8 por el segundo miembro de la suma) 32 + 24 = 56 (sumamos los resultados de las dos multiplicaciones anteriores) Vemos que el resultado es el mismo.

Ejercicio 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones: 1)

2)

3)

453 x 644 =

418 x 115 =

379 x 346 =

División Dividir es repartir un número en grupos iguales (del tamaño que indique el divisor).

Por ejemplo: 45 : 5 es repartir 45 en grupos de 5. Los términos de la división son: • • • •

Dividendo: es el número que vamos a dividir Divisor: es el número por el que vamos a dividir Cociente: es el resultado Resto: la parte que no se ha podido distribuir

Veamos una división:

Tomamos las dos primeras cifra de la izquierda del dividendo (57).

Importante: las dos cifras tomadas (57) tienen que ser igual o mayor que el divisor (36). Si fueran menor tomaríamos tres cifras (578), si dividieramos por 3 cifras tomaríamos las 3 primeras cifras del dividendo, siempre y cuando fueran igual o mayor que el divisor. Por ejemplo: 34.679 : 256 tomaríamos 346 Si las tres primeras cifras fueran menor que el divisor habría que tomar 4 cifras. Por ejemplo: 14.679 : 256 tomaríamos 1467 Seguimos: buscamos el número que multiplicado por 36 se aproxime más a 57 sin pasarse. Ese número es 1, porque 1 x 36 = 36 (es el que más se aproxima a 57 sin pasarse). El 2 no nos valdría porque 2 x 36 = 72 (se pasa)

¿Cómo encuentro ese número?

Nos centramos en 57 y 36, y en concreto en sus dos primeras cifras 5 y 3, busco el número de la tabla del 3 que más se aproxime a 5 y ese número es 1. Pero ATENCIÓN: imagina que estamos dividiendo 67.842 entre 36. Tomamos sus dos primeras cifras 67 y 36, y en concreto nos centramos en el 6 y en el 3. ¿Qué numero de la tabla del 3 se aproxima más a 6 sin pasarse? el 2. ¿Tomaríamos el 2? NO, porque 36 x 2 = 72, mayor que 67, por lo que no nos vale, tendríamos que coger un número menor (el 1).

Sigamos: multiplicamos 1 x 36 y se lo restamos a 57.

Bajamos la siguiente cifra (8).

Volvemos a realizar el mismo proceso. Buscamos el número que multiplicado por 36 más se aproxime a 218 sin pasarse. Ese número es 6, porque 6 x 36 = 216 (es el que más se aproxima a 218 sin pasarse).

Multiplicamos 6 x 36 y se lo restamos a 218.

Bajamos la siguiente cifra (4).

Tenemos ahora un problema: 24 es menor que 36 luego no lo puedo dividir. ¿Qué hacemos? Ponemos un 0 en el cociente.

Y bajamos la cifra siguiente (2):

Seguimos dividiendo: buscamos el número que multiplicado por 36 más se aproxime a 242 sin pasarse. Ese número es 6, porque 6 x 36 = 216 (es el que más se aproxima a 242 sin pasarse).

Multiplicamos 6 x 36 y se lo restamos a 242.

Como ya no hay más cifras del dividendo que bajar la división ha finalizado. El cociente es 1606 y el resto es 26.

ATENCIÓN: El resto puede ser: a) Cero, es decir todo el dividendo queda distribuido perfectamente entre el divisor y no sobra nada. Se dice que la división es exacta. b) Número distinto de cero, pero siempre menor que el divisor. Es la parte del dividendo que no se ha podido distribuir. Se dice que la división es entera.

1.- Prueba de la división: Para comprobar que una división está bien resuelta aplicamos la siguiente regla: (divisor x cociente) + resto = dividendo Vamos a ver si en la división que acabamos de realizar se cumple:

( 3 x 1.559 ) + 0 = 4.677 Vemos por tanto que la prueba de la división se cumple, luego la división está bien hecha.

2.- La propiedad fundamental de la división Si el dividendo y el divisor se multiplican por el mismo número el cociente no varía.

a) Si el resto de la división inicial fuera cero (división exacta) seguirá siendo cero.

Multiplicamos el dividendo y el divisor por 3:

Vemos que el cociente no varía y que el resto sigue siendo cero.

b) Si el resto de la división inicial fuera distinto de cero (división entera) quedará multiplicado por el mismo número por el que hemos multiplicado dividendo y divisor.

Multiplicamos el dividendo y el divisor por 4:

Vemos que el cociente no varía y que el resto también ha quedado multiplicado por 4.

Ejercicio 1. Resuelve las siguientes divisiones. Donde aparece "C" coloca el cociente y donde aparece "R" el resto. Antes de resolver el ejercicio clicando el botón "Corregir" comprueba si lo has hecho bien mediante la prueba de la división: 1)

2)

3)

525 : 5 = C

R

478 : 2 = C

R

998 : 5 = C

R

Cálculo con varias operaciones En algunos cálculos figuran varias operaciones: 4 + 3 x 2 -7 Para resolver estas operaciones hay que seguir un orden. Para ello vamos a distinguir entre: Operaciones sin paréntesis: 4 - 2 x 3 + 2 Operaciones con paréntesis: ( 4 - 2 ) x 3 + 2

1.- Operaciones sin paréntesis En las operaciones sin paréntesis el orden para su resolución es:  

Primero resolvemos las multiplicaciones / divisiones (da igual hacer primero la multiplicación y luego la división, o viceversa) Luego resolvemos las sumas / restas (da igual hacer primero la suma y luego la resta, o viceversa)

Veamos algunos ejemplos: a) 4 - 3 x 5 -1 Primero resolvemos la multiplicación: 3 x 5 = 15 Luego resolvemos las sumas / restas: 4 - 15 -1 = -12 El resultado: 4 - 3 x 5 -1 = -12

b) 6 x 4 - 8 / 2 Primero resolvemos las multiplicaciones /divisiones: 6 x 4 = 24 8/2=4 Luego resolvemos las sumas / restas: 24 - 4 = 20 El resultado: 6 x 4 - 8 / 2 = 20

c) 3 + 12 / 4 - 3 x 2 Primero resolvemos las multiplicaciones /divisiones: 12 / 4 = 3 3x2=6 Luego resolvemos las sumas / restas: 3 + 3 -6 = 0

2.- Operaciones con paréntesis En las operaciones con paréntesis el orden para su resolución es:  

Primero resolvemos los paréntesis Luego resolvemos el resto Veamos algunos ejemplos: a) (3 -1) x 2 Primero resolvemos el paréntesis: (3-1) = 2 Luego el resto: 2 x 2 = 4 El resultado: (3 -1) x 2 = 4

b) (12 - 4) / 2 Primero resolvemos el paréntesis: (12 - 4) = 8 Luego el resto: 8 / 2 = 4 El resultado: (12 - 4) / 2 = 4

Dentro del paréntesis puede haber sumas / restas y multiplicaciones / divisiones, en su caso aplicaremos el mismo orden que vimos anteriormente: 

Primero: las multiplicaciones / divisiones



Luego: las sumas / restas Veamos algunos ejemplos: 1.- (8 - 3 x 2) - 1 Primero resolvemos el paréntesis: (8 - 3 x 2). Pero dentro del paréntesis aplicamos el orden señalado: Primero la multiplicación: 3 x 2 = 6 Luego la resta: 8 - 6 = 2 Ya hemos resuelto el paréntesis: (8 - 3 x 2) = 2 Luego seguimos con el resto: 2 - 1 = 1 El resultado: (8 - 3 x 2) - 1 = 1

2.- (14 - 8 / 2) x 3 - 5 Primero resolvemos el paréntesis: (14 - 8 / 2). Pero dentro del paréntesis aplicamos el orden señalado: Primero la división: 8 / 2 = 4 Luego la resta: 14 - 4 = 10 Ya hemos resuelto el paréntesis: (14 - 8 / 2) = 10 Luego seguimos con el resto: 10 x 3 - 5 Volvemos a aplicar el mismo orden: Primero las multiplicaciones: 10 x 3 = 30 Luego la resta: 30 - 5 = 25 Luego el resultado: (14 - 8 / 2) x 3- 5 = 25 Ejercicio 1. Resuelve las siguientes operaciones: 1)

2)

3)

4)

10 )

3x5-2x3=

6/2+4=

(4 x 3) + (8 x 4) =

(3 + 8 / 4) + (12 / 3) =

(27 / 9) - (12 / 3 - 3) =

11 )

2x4-3x2=

12 )

10 / 5 + 6 =

Números Decimales Hasta ahora hemos trabajado con números enteros, cuya cifra más pequeña es la unidad:

Pero también hay números que tienen una parte inferior a la unidad, estos se llaman números decimales:

La parte entera va a la izquierda de la coma y la parte decimal a la derecha. Vamos a ver cada una de estas cifras decimales. a) La décima La décima es un valor más pequeño que la unidad 1 unidad = 10 décimas. Es decir, si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada una de ellas es una décima. Las décimas van a la derecha de la coma.

b) La centésima Es un valor más pequeño que la unidad y también que la décima. 1 unidad = 100 centésimas 1 décima = 10 centésimas. Es decir, si dividimos una unidad en 100 partes iguales, cada una de ellas es una centésima.

Y si dividimos una décima en 10 partes iguales, cada una de ellas es una centésima. c) La milésima Es un valor más pequeño que la unidad, que la décima y también que la centésima: 1 unidad = 1.000 milésimas 1 décima = 100 milésimas 1 centésima = 10 milésimas Es decir, si dividimos una unidad en 1.000 partes iguales, cada una de ellas es una centésima.

1.- ¿Cómo se lee un número decimal? Por ejemplo: 53,41 se puede leer de varias maneras: "cincuenta y tres coma cuarenta y uno" "cincuenta y tres con cuarenta y uno" "cincuenta y tres unidades y cuarenta y una centésimas"

2.- Comparación de números decimales Para comparar números decimales comenzamos comparando la parte entera: aquél que tenga la parte entera más alta, es el mayor. 234,65 es mayor que 136,76 Si ambos tienen igual parte entera habría que comparar la parte decimal, comenzando por las décimas, luego las centésimas y por último las milésimas. Veamos algunos ejemplos: 146,89 es mayor que 146,78 (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 8 décimas mientras que el segundo tiene 7). 357,56 es mayor que 357,53 (ambos tienen igual parte entera y también las mismas décimas, pero el primero tiene 6 centésimas y el segundo tan sólo 3) 634,128 es mayor que 634,125 (ambos tienen igual parte entera y también las mismas décimas y centésimas, pero el primero tiene 8 milésimas y el segundo tan sólo 5) Veamos otros ejemplos: Vamos a comparar un número con parte decimal y otro sin parte decimal: 207,12 es mayor que 207 (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 décima mientras que el segundo no tiene ninguna). Vamos a comparar un número con décimas y centésimas y otro sólo con décimas: 43,28 es mayor que 43,2 (ambos tienen igual parte entera y las mismas décimas, pero el primero tiene 8 centésimas mientras que el segundo no tiene ninguna). Vamos a comparar un número con décimas y otro sólo con centésimas:

72,1 es mayor que 72,09 (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 décima y el segundo ninguna). 3.- Redondear números decimales Los números decimales los podemos redondear a la unidad, a la décima o a la centésima. a) Redondear a la unidad Redondear a la unidad implica sustituirlo por el número que más se le aproxime sin decimales. Si la parte decimal es igual o inferior a 0,500 se redondea a la unidad inferior; si es mayor que 0,500 se redondea a la unidad superior. Veamos algunos ejemplos: 43,5 Este número se sitúa entre 43 y 44. Hay que ver a cual de ellos se redondea. La parte decimal es 0,5 (como no tiene centésimas ni milésimas equivale a 0,500). Al ser esta parte decimal igual o inferior a 0,500 redondeamos a la unidad inferior. Por lo tanto 43,5 lo redondeamos a 43. 27,31 Este número se sitúa entre 27 y 28. La parte decimal es 0,31 (como no tiene milésimas equivale a 0,310). Al ser esta parte decimal inferior a 0,500 redondeamos a la unidad inferior. Por lo tanto 27,31 lo redondeamos a 27. 58,721 Este número se sitúa entre 58 y 59. La parte decimal es 0,721. Al ser esta parte decimal superior a 0,500 redondeamos a la unidad superior. Por lo tanto 58,721 lo redondeamos a 59.

b) Redondear a la décima Redondear un número a la décima implica sustituirlo por el número que más se le aproxime y que en la parte decimal tan sólo tenga décimas. Si la parte centesimal es igual o inferior a 0,050 se redondea a la décima inferior; si es mayor que 0,050 se redondea a la décima superior. Veamos algunos ejemplos: 22,53 Este número se sitúa entre 22,5 y 22,6. La parte centesimal es 0,03 (como no tiene milésimas equivale a 0,030). Al ser esta parte centesimal inferior a 0,050 redondeamos a la décima inferior. Por lo tanto 22,53 lo redondeamos a 22,5. 62,27 Este número se sitúa entre 62,2 y 62,3.

La parte centesimal es 0,07 (como no tiene milésimas equivale a 0,070). Al ser esta parte centesimal superior a 0,050 redondeamos a la décima superior. Por lo tanto 62,27 lo redondeamos a 62,3. 84,662 Este número se sitúa entre 84,6 y 84,7. La parte centesimal es 0,062. Al ser esta parte centesimal superior a 0,050 redondeamos a la décima superior. Por lo tanto 84,662 lo redondeamos a 84,7.

c) Redondear a la centésima Redondear un número a la centésima implica sustituirlo por el número que más se le aproxime y que en la parte decimal tenga hasta centésimas. Si la parte milesimal es igual o inferior a 0,005 se redondea a la centésima inferior; si es mayor que 0,005 se redondea a la centésima superior. Veamos algunos ejemplos: 17,124 Este número se sitúa entre 17,12 y 17,13. La parte milesimal es 0,004. Al ser esta parte milesimal inferior a 0,005 redondeamos a la centésima inferior. Por lo tanto 17,124 lo redondeamos a 17,12. 26,33 Este número se sitúa entre 26,33 y 26,34. La parte milesimal es 0,000. Al ser esta parte milesimal inferior a 0,005 redondeamos a la centésima inferior. Por lo tanto 26,33 lo redondeamos a 26,33. 77,258 Este número se sitúa entre 77,25 y 77,26. La parte milesimal es 0,008. Al ser esta parte milesimal superior a 0,005 redondeamos a la centésima superior. Por lo tanto 77,258 lo redondeamos a 77,26.

Sumas, restas y multiplicaciones con decimales La suma y resta con números decimales es exactamente igual que con números enteros. Lo único que hay que vigilar es que cada tipo de cifra vaya en su columna: Las centenas en la columna de centenas, las decenas en la de decenas, las unidades en la de unidades, las décimas en la de décimas, las centésimas en la de centésimas... Vamos a ver un ejemplo: 234,43 + 56,7 + 23,145

Podemos ver que todas las cifras van en su columna correspondiente. También las comas van todas en la misma columna. Un fallo que se suele cometer al operar con números decimales es alinear todos los números a la derecha:

Esta suma está mal escrita, ya que el 3 de la primera fila (centésima) lo estamos sumando con el 7 de la segunda fila (décima) y con el 5 de la tercera fila (milésima). La operatoria, como hemos comentado, es exactamente igual que con números enteros:

.......

........

Puede ocurrir, como en el ejemplo, que en la suma o en la resta haya algún número que no lleve todas las cifras decimales (por ejemplo, el tercer número del ejemplo no lleva centésimas), en este caso operamos como si en su lugar hubiera un 0. La resta, al igual que la suma, funciona exactamente igual que con números enteros.

Como hemos indicado anteriormente, si algún número no lleva todas su cifras decimales (en este ejemplo, el primer número 157,83 no lleva milésimas) se opera como si en su lugar hubiera un 0. Multiplicaciones con decimales En una multiplicación puede haber decimales en cualquiera de los ...