Sumas DE Riemann- Izquierda- Derecha- Centro- Exacta PDF

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CLASE 2. SUMAS DE RIEMANN 1.

Gráfica y aproxima el área bajo la curva de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 en el intervalo [1,3] con las siguientes características: a) El área exacta utilizando geometría (utiliza el software para ilustrar el área exacta) b) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la izquierda. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos) c) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la derecha. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos) d) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann con punto medio. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos). Solución al inciso a) 𝐴=

𝐴=

(𝐵+𝑏)ℎ

2 (11+5)2 2

𝐴 = 16 𝑢2 Solución al inciso b)

𝑏−𝑎 3−1 2 1 , ∆𝑥 = = = 𝑛 6 6 3 Para construir los intervalos comenzamos con el primer valor del intervalo para este caso 1 y después le vamos sumando ∆𝑥 que es el paso hasta llegar al segundo valor del intervalo dado como se muestra a continuación. [1, 3] 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 = 1 , 𝑏 = 3, 𝑛 = 6

𝑎 = 1,

1+

1 4 4 1 5 = , + = , 3 3 3 3 3

5 1 6 + = = 2, 3 3 3

∆𝑥 =

6 1 7 + = , 3 3 3

7 1 8 + = , 3 3 3

8 1 9 + = =3=𝑏 3 3 3

Tomamos el extremos izquierdo de cada intervalo y lo evaluamos en la función para obtener la altura. 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 4 [1, ] 3

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 𝑓(1) = 3 (1) + 2 = 5 4

4

[3 , 3]

4 5

𝑓 (3) = 3 ( ) + 2 = 6 3

5 [ , 2] 3

5 5 𝑓( ) = 3( ) + 2 = 7 3 3

7 [2, ] 3

6 6 𝑓( ) = 3( ) + 2 = 8 3 3

7 8 [ , ] 3 3

7 7 𝑓 ( ) = 3( ) + 2 = 9 3 3

8 [ , 3] 3

8 8 𝑓 ( ) = 3 ( ) + 2 = 10 3 3

6

𝐴 = ∑ ∆𝑥𝑓(𝑥) 𝑖=1

𝐴≈

1 1 1 1 1 1 (5) + (6) + (7) + (8) + (9) + (10) 3 3 3 3 3 3 𝐴≈

1 (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) 3 𝐴≈

Solución al inciso c) 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 4 [1, ] 3 4 5

1 (45) ≈ 15𝑢 2 3

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟐 4 4 𝑓( ) = 3 ( )+ 2 = 6 3 3 5

5

[ , ] 3 3

𝑓 (3) = 3 (3) + 2 = 7

5 [ , 2] 3

𝑓(2) = 3(2) + 2 = 8

7 [2, ] 3

7 7 𝑓( ) = 3( )+ 2 = 9 3 3

7 8 [ , ] 3 3

8 8 𝑓 ( ) = 3 ( ) + 2 = 10 3 3

8 [ , 3] 3

𝑓(3) = 3(3) + 2 = 11 6

𝐴 = ∑ ∆𝑥𝑓(𝑥) 𝑖=1

1 1 1 1 1 1 𝐴 ≈ (6) + (7) + (8) + (9) + (10) + (11) 3 3 3 3 3 3 𝐴≈

1 (6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) 3 𝐴≈

1 (51) ≈ 17𝑢 2 3

Solución del inciso d) 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 4 [1, ] 3

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

4 1+3 2

7 3 7 = = , 2 6

4 5 [ , ] 3 3

4 5 9 3+3= 3 9 = , 2 2 6

5 [ , 2] 3

5 11 3 + 2 = 3 = 11 , 2 6 2

7 [2, ] 3

7 2+3 2

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟐 7 7 11 𝑓( )= 3 ( )+2 = 6 6 2 9 9 13 𝑓( ) = 3( )+ 2 = 2 6 6

13 13 , = 3 = 2 6

𝑓( 𝑓(

11 11 15 ) = 3( )+ 2 = 6 6 2

13 13 17 ) = 3( )+ 2 = 6 6 2

7 8 [ , ] 3 3

7 8 15 3 + 3 = 3 = 15 , 2 2 6

7 15 19 𝑓( ) = 3( )+ 2 = 2 3 6

8 [ , 3] 3

17 8 3 + 3 = 3 = 17 , 2 2 6

𝑓(

17 17 21 ) = 3( )+ 2 = 6 6 2 𝑛

𝐴 = ∑ ∆𝑥𝑓(𝑥) 𝑖=1

𝐴≈

1 11 1 13 1 15 1 17 1 19 1 21 ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 𝐴≈

1 11 13 15 17 19 21 ( + + + + + ) 2 3 2 2 2 2 2 1 96 96 𝐴 ≈ ( ) ≈ 𝑢 2 = 16𝑢 2 3 2 6

2. Gráfica y aproxima el área bajo la curva de 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4 en el intervalo [−2,1] con las siguientes características: a) El área exacta utilizando geometría (utiliza el software para ilustrar el área exacta) b) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la izquierda. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos) c) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la derecha. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos) d) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann con punto medio. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos). Solución para el inciso a) 𝐴=

(𝐵 + 𝑏 )ℎ 2

𝐴=

(8 + 2)(3) 2

𝐴 = 15 𝑢2

Solución al inciso b) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜

𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4

3 [−2, − ] 2

𝑓(−2) = −2 (−2) + 4 = 8

3

2

3

3

[− , − ] 2 2

𝑓 (− 2) = −2 (− 2) + 4 = 7

2 1 [− , − ] 2 2

2 2 𝑓 (− ) = −2 (− ) + 4 = 6 2 2

1 [− , 0] 2

1 1 𝑓 (− ) = −2 (− ) + 4 = 5 2 2

1 [0, ] 2

𝑓( 0 ) = −2(0) + 4 = 4

1 [ , 1] 2

1 1 𝑓 ( ) = −2 ( ) + 4 = 3 2 2

𝑛

𝐴 = ∑ ∆𝑥𝑓(𝑥) 𝑖=1

𝐴≈

1 1 1 1 1 1 (8) + (7) + (6) + (5) + (4) + (3) 2 3 3 3 3 3

1 𝐴 ≈ 2 (8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3) 𝐴≈

1 (33) ≈ 16.5𝑢 2 2

Solución para el inciso c) [−2, 1] 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 = −2 , 𝑏 = 1, 𝑛 = 6 𝑎 = −2,

−2+

1 3 =− , 2 2

3 1 2 − + =− , 2 2 2

∆𝑥 =

−

2 1 1 + =− , 2 2 2

𝑏−𝑎 , 𝑛

∆𝑥 =

1 1 − + = 0, 2 2

1 − (−2) 3 1 = = 6 6 2 0+

1 1 = , 2 2

1 1 + =1=𝑏 2 2

Tomamos el extremos derecho de cada intervalo y lo evaluamos en la función para obtener la altura. 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜

𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4

3 [−2, − ] 2

3 3 𝑓 (− ) = −2 (− ) + 4 = 7 2 2

3

2

2

2

[− , − ] 2 2

𝑓 (− 2) = −2 (− ) + 4 = 6 2

2 1 [− , − ] 2 2

1 1 𝑓 (− ) = −2 (− ) + 4 = 5 2 2

1 [− , 0] 2

𝑓( 0 ) = −2(0) + 4 = 4

1 [0, ] 2

1 1 𝑓 ( ) = −2 ( ) + 4 = 3 2 2

1 [ , 1] 2

𝑓(1) = −2(1) + 4 = 2

𝑛

𝐴 = ∑ ∆𝑥𝑓(𝑥) 𝑖=1

𝐴≈

1 1 1 1 1 1 (7) + (6) + (5) + (4) + (3) + (2) 2 2 2 2 2 2 1 𝐴 ≈ (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2) 2 𝐴≈

1 (27) ≈ 13.5𝑢 2 2

Solución al inciso d) 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 3 [−2, − ] 2 3 2 [− , − ] 2 2 2 1 [− , − ] 2 2 1 [− , 0] 2 1 [0, ] 2 1 [ , 1] 2

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟒

3 7 −2 − 2 − 2 7 7 7 15 = 2 = − 4 , 𝑓 (− 4) = −2 (− 4) + 4 = 2 2 3 2 −2 − 2 2

2 1 −2 − 2 2

1 −2 + 0 2

1 0+ 2 2

=

=

5 −2

=

3 −2

5 5 5 13 = − , 𝑓 (− ) = −2 (− ) + 4 = 2 4 4 4 2 2

1 −2 2

3 3 3 11 = − , 𝑓 (− ) = −2 (− ) + 4 = 2 4 4 4

1 1 1 9 = − , 𝑓 (− ) = −2 (− ) + 4 = 2 4 4 4

1 1 =2= , 2 4

1 3 2 + 1 = 2 = 3, 2 4 2

7 1 7 𝑓 ( ) = −2 ( ) + 4 = 2 3 4 𝑓(

17 3 5 ) = −2 ( ) + 4 = 6 4 2 𝑛

𝐴 = ∑ ∆𝑥𝑓(𝑥) 𝑖=1

𝐴≈

1 15 1 13 1 11 1 7 1 9 1 5 ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 15 13 11 9 7 5 𝐴≈ ( + + + + + ) 2 2 2 2 2 2 2 1 60 60 𝐴 ≈ ( ) ≈ 𝑢 2 = 15𝑢 2 2 2 4

Ejemplo 3. Gráfica y aproxima el área bajo la curva de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 en el intervalo [0,4] con las siguientes características: a) b) c) d)

El área exacta utilizando geometría Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la izquierda Utiliza n=8 rectángulos y la suma de Riemann por la derecha Utiliza n=10 rectángulos y la suma de Riemann con punto medio.

Solución al inciso a) a) El área exacta utilizando geometría La figura que se forma es un trapecio rectángulo La fórmula es 𝐴 = 𝐴=

(𝐵+𝑏)ℎ 2

(13 + 1)(4) (14)(4) 56 = 28𝑢2 = = 2 2 2

Solución al inciso b).Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la izquierda

Solución:

La gráfica de 𝑓 aparece en la figura. Como la longitud de [0,4] es de 4, la longitud de cada subintervalo es: 4−0 4 2 = = 6 6 3 Por tanto, los seis subintervalos son 2 2 4 4 8 8 10 10 [0, ] , [ , ] , [ , 2] , [2, ] , [ , ] , [ , 4] 3 3 3 3 3 3 3 3

2 [0, 3] , 2 [ , 4] , 3 3 4 [ , 2] , 3 8 [2, ] , 3 8 10 [ , ], 3 3 10 [ , 4] , 3

𝑓(0) = 3(0) + 1 = 0 + 1 = 1

2 2 𝑓 ( ) = 3 ( 3) + 1 = 2 + 1 = 3 3 4 4 𝑓( ) = 3( ) +1 = 4 +1 = 5 3 3

𝑓(2) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7

8 8 𝑓( ) = 3( ) +1 = 8 + 1 = 9 3 3 10 10 𝑓 ( ) = 3 ( ) + 1 = 10 + 1 = 11 3 3

𝐴≈

2 (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11) 3

𝐴≈

2 72 (36) ≈ ≈ 24𝑢 2 3 3

Solución al inciso c). Utiliza n=8 rectángulos y la suma de Riemann por la derecha

La gráfica de 𝑓 aparece en la figura. Como la longitud de [0,4] es de 4, la longitud de cada subintervalo es: 4−0 4 1 = = 8 8 2 Por tanto, los ocho subintervalos son 1 1 3 3 5 5 7 7 [0, ] , [ , 1] , [1, ] , [ , 2] , [2, ] , [ , 3] , [3, ] , [ , 4] 2 2 2 2 2 2 2 2

1 [0, ], 12 [ , 1] , 2 3 [1, ] , 2 3 [ , 2] , 2 5 [2, ] , 2 5 [ , 3] , 2 7 [3, ] , 2 7 [ , 4] , 2

1 1 3 2 5 𝑓( ) = 3( ) +1 = + = 2 2 2 2 2 𝑓(1) = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4

3 3 9 2 11 𝑓( ) = 3( ) +1 = + = 2 2 2 2 2 𝑓(2) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7

5 5 15 2 17 + = 𝑓( ) = 3( ) +1 = 2 2 2 2 2 𝑓(3) = 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10

7 7 21 2 23 + = 𝑓( ) = 3( ) +1 = 2 2 2 2 2

𝑓(4) = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13

1 5 11 17 23 𝐴 ≈ ( +4+ + 10 + + 13) +7+ 2 2 2 2 2 𝐴≈

1 62 (62) ≈ = 31 2 2

Solución al inciso d) Utiliza n=10 rectángulos y la suma de Riemann con punto medio.

La gráfica de 𝑓 aparece en la figura. Como la longitud de [0,4] es de 4, la longitud de cada subintervalo es:

Por tanto, los ocho subintervalos son

2 4 4−0 = = 10 5 10

[0,

2 2 4 4 6 6 8 8 12 12 14 14 16 16 18 18 , 4] ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , 2] , [2, ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 [0,

2

5

2 6 2 2 2 16 8 0 +5 ,𝑓( ) = 3( )+ 1 = = = +1= 10 5 2 10 10 10 10

]

2 4 6 + 5 5 = 5 = 6 , 𝑓 ( 6 ) = 3 ( 6 ) + 1 = 18 + 1 = 28 = 14 5 10 10 10 10 2 10 2

2 4 [ , ], 5 5

4 6 10 + 5 5 = 5 = 10 = 1, 𝑓(1) = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4 2 2 10

46 [, ] 5 5

6 8 14 + 14 14 14 52 26 42 5 5= 5 = +1 = = ,𝑓( ) = 3( )+ 1 = 2 5 10 2 10 10 10 10

6 8 [ , ] 5 5

18 8 +2 8 18 18 18 64 32 54 = 5 = ,𝑓( ) = 3( )+ 1 = [ , 2] 5 = +1 = 5 2 5 10 10 10 10 2 10 12 22 12 2 + 5 66 22 22 22 76 38 = 5 = [2, ] ,𝑓 ( ) = 3( ) + 1 = +1 = = 5 2 5 10 2 10 10 10 10 12 14 [ , ] 5 5

12 14 26 + 78 26 26 26 88 44 5 5 = 5 = ,𝑓( ) = 3( )+ 1 = +1 = = 2 5 2 10 10 10 10 10

14 16 30 14 16 5 + 5 30 30 30 90 = 5 = [ , ] , 𝑓 ( ) = 3 ( ) + 1 = + 1 = 10 10 2 10 10 10 2 5 5 16 18 [ , ] 5 5 18 [ , 4] 5 𝐴≈

16 18 34 + 34 34 34 102 112 56 5 5 = 5 = +1 = ,𝑓( ) = 3( )+ 1 = = 2 5 10 10 10 10 10 2 38 18 +4 124 62 38 38 38 115 5 = 5 = +1 = = ,𝑓( ) = 3( )+ 1 = 2 5 2 10 10 10 10 10

2 16 28 52 64 76 88 112 124 ) + + 10 + + + +4+ ( + + 10 10 10 10 10 5 10 10 10 𝐴≈

2 140 (70) ≈ ≈ 28 5 5

EJERCICIOS 1.

Gráfica y aproxima el área bajo la curva de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 [0,3] con las siguientes características:

a)

El área exacta utilizando geometría (utiliza el software para ilustrar el área exacta)

b) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la izquierda. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos). c)

Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la derecha. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos)

d) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann con punto medio. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos). 2.

Gráfica y aproxima el área bajo la curva de 𝑓(𝑥) = -3𝑥 + 6 [0,2] con las siguientes características:

a)

El área exacta utilizando geometría (utiliza el software para ilustrar el área exacta)

b) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la izquierda. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos). c)

Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann por la derecha. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos)

d) Utiliza n=6 rectángulos y la suma de Riemann con punto medio. (utiliza el software para elaborar la gráfica con los rectángulos)....