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FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS MATEMÁTICA IV M.Sc. Miriam María Estrada Huancas

08/2020

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA EXACTA DIFERENCIAL TOTAL La diferencial total de la función 𝑧=𝑓(𝑥, 𝑦) se expresa como: 𝑑𝑧= Donde

𝜕𝑓

𝜕𝑥

y

𝜕𝑓 𝜕𝑦

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝜕𝑦 𝜕𝑥

son las derivadas parciales de 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a las dos variables

independientes, además estas derivadas parciales son funciones continuas en una región del plano XY. Ejemplo 1: La diferencial total de 𝑓(𝑥, 𝑦) =4𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 3 + 3𝑥 es 𝑑𝑧 =(8𝑥𝑦 − 2𝑦 3 + 3)𝑑𝑥+ (4𝑥 2 − 6𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦

ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA La E.D.O 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥+𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦=0 es exacta, si y sólo si es la diferencial total de alguna

función 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑐. Esto significa que:

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥+ 𝑑𝑦=0= 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥+𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 De donde:

𝜕𝑓 = 𝜕𝑥

𝑀,

𝜕𝑓

=𝑁

𝜕𝑦

𝜕 2𝑓 𝜕𝑀 = 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦

,

𝜕𝑁 𝜕 2 𝑓 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦

Pero las derivadas parciales de f son continuas entonces:

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𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Criterio para ecuaciones diferenciales exactas: Si 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) son contínuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región del plano XY, entonces la condición necesaria y suficiente para que la forma 𝜕𝑀 𝜕𝑁 diferencial: 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 sea una diferencial exacta es que = 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Ejemplo 2: (2𝑦 − 2𝑥𝑦 3 + 4𝑥+ 6)𝑑𝑥+ (2𝑥− 3𝑥 2 𝑦 2 − 1)𝑑𝑦=0 Solución: Es una EDO exacta, porque 𝜕𝑀 𝜕𝑁 =2 − 6𝑥𝑦 2 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Método de solución: 1. Dada la ecuación diferencial, verifique que sea exacta. 2. El trabajo consiste en hallar una función 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑐, tal que

𝜕𝑓

= 𝑀, 𝜕𝑥

𝜕𝑓

=𝑁

𝜕𝑦

3. Elija una de las igualdades del paso (2), luego integre con respecto a “x” o “y” según sea el caso, obteniendo: 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀 𝑑𝑥+𝑔(𝑦)

o

𝑓(𝑥, 𝑦) =∫ 𝑁 𝑑𝑦 + ℎ(𝑥)

4. Derive con respecto a la variable que no fue integrada. 5. Iguale a N o M según sea el caso. 6. Por último, integre para hallar g o h según sea el caso. La solución es 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑐.

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Ejemplo 3: Resolver (2𝑦 − 2𝑥𝑦 3 +4𝑥+ 6)𝑑𝑥+(2𝑥− 3𝑥 2 𝑦 2 − 1)𝑑𝑦=0 Solución: 1. Esta EDO es exacta como ya vimos anteriormente. 2.

𝜕𝑓

𝜕𝑓

= 2𝑦−2𝑥𝑦3 +4𝑥+6, 𝜕𝑥

= 2𝑥−3𝑥2 𝑦2 −1

𝜕𝑦

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) =∫ (2𝑦 − 2𝑥𝑦 3 +4𝑥+ 6) 𝑑𝑥+ 𝑔(𝑦),

Entonces: 𝑓 (𝑥, 𝑦) =2𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥+ 𝑔(𝑦) 4. Derivemos f con respecto a “y”: 𝜕𝑓 =2𝑥− 3𝑥 2 𝑦 2 + 𝑔′ (𝑦) 𝜕𝑦 5. Igualamos a N: 2𝑥− 3𝑥 2 𝑦 2 + 𝑔′ (𝑦) = 2𝑥− 3𝑥 2 𝑦 2 − 1 6. 𝑔(𝑦) =−𝑦 + 𝑘, por lo tanto:

→𝑔′ (𝑦) =−1

𝑓 (𝑥, 𝑦) =2𝑥𝑦− 𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥− 𝑦 =𝑐 , es la solución. Forma práctica: 1. Si ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 =∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 =𝐻(𝑥, 𝑦),

entonces la solución general es: 𝐻(𝑥, 𝑦) =𝑐

2. ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 =𝐻(𝑥, 𝑦) + 𝜑1 (𝑥, 𝑦) ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦=𝐻(𝑥, 𝑦) + 𝜑2 (𝑥, 𝑦)

entonces la solución general es: 𝐻(𝑥, 𝑦) + 𝜑1 (𝑥, 𝑦) + 𝜑2 (𝑥, 𝑦) =𝑐 Ejemplo 4: Resuelva la EDO (2𝑦 − 2𝑥𝑦 3 + 4𝑥+ 6)𝑑𝑥+ (2𝑥−3𝑥 2 𝑦 2 − 1)𝑑𝑦 =0

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Solución: ∫ (2𝑦 − 2𝑥𝑦 3 +4𝑥+ 6)𝑑𝑥 =𝟐𝒙𝒚 − 𝒙𝟐𝒚𝟑 + 2𝑥 2 + 6𝑥 ∫ (2𝑥− 3𝑥 2 𝑦 2 − 1)𝑑𝑦=𝟐𝒙𝒚 − 𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝑦 2𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑥 2 +6𝑥− 𝑦 =𝑐, es la solución.

FACTOR DE INTEGRACIÓN 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥+𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (∗), no es exacta, pero se puede transformar en exacta,

eligiendo una factor de integración 𝜇(𝑥, 𝑦) /

𝜇(𝑥, ⏟ 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥+ 𝜇(𝑥, ⏟ 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 =0 es exacta. ℵ(𝒙,𝒚)

𝓜(𝒙,𝒚)

Método de solución: Caso I: Calcular

𝟏 𝝏𝑴

( − 𝑵 𝝏𝒚

𝝏𝑵 ) 𝝏𝒙

𝟏

𝝏𝑴

𝝏𝑵

∫ 𝑵( 𝝏𝒚 − )𝒅𝒙 𝝏𝒙

, si solo depende de “x”, considere 𝝁(𝒙) =𝒆

luego , multiplicar a la EDO (*) por 𝜇(𝑥) obteniendo una nueva ecuación diferencial que si es exacta. 𝟏 𝝏𝑴

Caso II: Calcular: − ( − 𝑴 𝝏𝒚

𝝏𝑵

𝝏𝒙

−𝟏 𝝏𝑴

𝝏𝑵

∫ 𝑴 ( 𝝏𝒚 − )𝒅𝒚 𝝏𝒙

), si solo depende de “y”, considere 𝝁(𝒚) =𝒆

luego multiplica a la EDO (*) por 𝜇(𝑦) obteniendo una nueva ecuación diferencial que si es exacta. Caso III: 𝜇(𝑥, 𝑦) =𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 , al multiplicar a la EDO no exacta por este F.I se obtiene una que si es exacta; por lo tanto satisface la condición

𝜕𝑁 𝜕𝑀 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥

, la misma que le ayudará a calcular

los valores de m y n. Reemplace esos valores en la EDO ¡exacta!. Finalmente resuelva dicha ecuación.

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Caso IV: 𝜇 =𝜑(𝑧), 𝑧 = 𝜓(𝑥, 𝑦) Este factor de integración depende de x e y. Para hallar el factor de integración usar: 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝑑(𝑙𝑛𝜇) 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝑁 𝜕𝑥 − M 𝜕𝑦 No olvide que el propósito es hallar 𝜇. Ejemplo 5: Resolver 2𝑥𝑦 ln 𝑦 𝑑𝑥+ (𝑥 2 + 𝑦 2 ⋅ √𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦=0 Solución: Esta EDO no es exacta porque

𝜕𝑀

𝜕𝑁

≠ 𝜕𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑀 𝜕𝑁 =2𝑥 ln 𝑦+ 2𝑥− 2𝑥 = 2𝑥 ln 𝑦 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Note que:

1 𝜕𝑀

𝑁

𝜕𝑁 ) 𝜕𝑥

( − 𝜕𝑦

1

𝜕𝑀

no depende solo de “x”

Sin embargo: − 𝑀 ( 𝜕𝑦−

𝜕𝑁

𝜕𝑥

)= −

𝜇(𝑦) =𝑒

1

𝑦

, depende únicamente de "𝑦".

−1 𝜕𝑀 𝜕𝑁 1 ∫ 𝑀 ( 𝜕𝑦 − 𝜕𝑥 )𝑑𝑦 ∫ − 𝑦𝑑𝑦 = =𝑒

1 𝑦

Luego, multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante y obtenemos una ecuación exacta: 1

2𝑥 ln 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 2 ⋅ √𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 =0 (resolver)

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Ejemplo 6: (4𝑦 2 − 5𝑥𝑦) 𝑑𝑥+(6𝑥𝑦 − 5𝑥 2 ) 𝑑𝑦 =0 , no es exacta Solución: Multiplicar la ED por el factor de integración 𝜇(𝑥, 𝑦) =𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 (4𝑦 2 − 5𝑥𝑦) 𝑑𝑥+ 𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 (6𝑥𝑦 − 5𝑥 2 ) 𝑑𝑦 =0 (4𝑥 𝑚 𝑦 𝑛+2− 5𝑥 𝑚+1 𝑦 𝑛+1 ) 𝑑𝑥+ (6𝑥 𝑚+1𝑦 𝑛+1− 5𝑥 𝑚+2𝑦 𝑛 ) 𝑑𝑦=0…(*) Para que sea exacta se debe cumplir: 𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁

𝜕𝑥

Reemplazo: 4(𝑛 + 2)𝑥 𝑚 𝑦 𝑛+1− 5(𝑛 + 1)𝑥 𝑚+1 𝑦 𝑛 =6(𝑚 + 1)𝑥 𝑚 𝑦 𝑛+1− 5(𝑚 + 2)𝑥 𝑚+1𝑦 𝑛 se tiene que: 4(𝑛 + 2) =6(𝑚 + 1)

y

−5(𝑛 + 1) =−5(𝑚 + 2)

De donde m=3, n=4 Reemplazamos en la ED exacta: (4𝑥 3 𝑦 6 − 5𝑥 4 𝑦 5 ) 𝑑𝑥+ (6𝑥 4 𝑦 5 − 5𝑥 5 𝑦 4 ) 𝑑𝑦=0…(resolver) Ejemplo 7: Resolver la EDO, considerando un factor de integración que depende de x+y (𝑥 2 + 2𝑥𝑦− 𝑦 2 ) 𝑑𝑥+ (𝑦 2 + 2𝑥𝑦− 𝑥 2 ) 𝑑𝑦=0, 𝜇 =𝜑(𝑥+𝑦) Solución: Sea 𝑧 = 𝑥+𝑦

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Para hallar el FI: 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝑑(𝑙𝑛𝜇) 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝑁 𝜕𝑥 − M 𝜕𝑦 (𝑦 2

𝑑(𝑙𝑛𝜇) (2𝑥− 2𝑦) − (2𝑦− 2𝑥) = 2 2 2 + 2𝑥𝑦− 𝑥 ) − (𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 ) 𝑑𝑧

𝑑(𝑙𝑛𝜇) −2 𝑑(𝑙𝑛𝜇) 4𝑥− 4𝑦 = → = 2𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑑𝑧 𝑥+ 𝑦 𝑑𝑧 →

−2 𝑑(𝑙𝑛𝜇) = →𝜇 =(𝑥+𝑦)−2 𝑧 𝑑𝑧

Multiplicar el FI a la ED : (𝑥 2 + 2𝑥𝑦− 𝑦 2 ) 𝑑𝑥+(𝑦 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑦 =0 Y resolver la ED exacta obtenida.

EJERCICIOS: Resuelva las siguientes EDO 1. (𝑦𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 )𝑑𝑥 + (𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑦 )𝑑𝑦 =0 2. (2𝑥𝑒 𝑦 + 𝑦 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 𝑒 𝑦 + 2𝑦𝑒 𝑥 )𝑑𝑦 =0

3.

𝑑𝑦

= 𝑑𝑥

4. 𝑦𝑥

𝑥−𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦−1

𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑦

𝑑𝑥 + 𝑥 𝑦 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑦 = 0 𝑥

5. (1 + xy)dx + (𝑦 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑦 =0 6. y’ = −

2𝑦+𝑥𝑦 2 𝑥+𝑥2 𝑦

7. y(1 + 2𝑥𝑦+ 𝑦 2 ) 𝑑𝑥+𝑥(𝑦 2 − 1)𝑑𝑦=0

8. (𝑥 2 − 𝑦− 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑦= 0 9. dx + ( 𝑥𝑡𝑔𝑦 − 2𝑠𝑒𝑐𝑦)𝑑𝑦 =0

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𝑑𝑦

10. 𝑑𝑥=

𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦− 𝑠𝑒𝑛2 𝑦

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; y(0) = 𝜋 ⁄2

11. (𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑦)𝑑𝑦 + (𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦)𝑑𝑥 =0 12. (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥+2 ( 13. (

𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦

𝑥 2 𝑦2

− 2𝑒 −𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥+(

14. (𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦)𝑑𝑦 − (

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 𝑦

−

𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦

) 𝑑𝑦 =0

𝑐𝑜𝑠𝑦+2𝑒 −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦

− 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦) 𝑑𝑦=0

𝑦

15. 𝑑𝑦 + (𝑦 3 − 𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 =0 𝑥 2𝑥

𝑦

16. ( 𝑦 − 𝑥2 +𝑦2 ) 𝑑𝑥+(

) 𝑑𝑦 =0

𝑥 𝑥 2 +𝑦2

𝑥2

− 𝑦2 ) 𝑑𝑦 =0...