Summary of formulas PDF

Preview

Summary

Download Summary of formulas PDF

Description

Styrkelære - Formelsamling 41501 Styrkelære 1

af

Simon Klint Bergh (s113393)

Danmarks Tekniske Universitet maj. 2012

1

Symbolbeskrivelser

(som brugt i Styrkelære: Statik og bjælketeori og i denne formelsamling) • I

Fladeinertimomentet

• E

Elasticitetsmodulet

• N

Normalkraft

• M

Moment

• MV

Vridningsmoment

• T

Tværkraft

• A

Tværsnitsarealet

• W

Bøjningsmodstanden (Modstandsmomentet)

• u

Udbøjning

• q

Fordelt last

• Q

Kraft i punkt

• P

Den aksiale kompressionskraft (buling afsnit 10)

• Pk

Kritisk værdi for den aksiale kompressionskraft.

• γ • GK • K • WV • γ • β, ξ, α

tværtøjningsvinkel Vridningsstivheden (afsnit 11.4) Vridningsstivhedens tværsnintsfaktor (afsnit 11.4) Vridnigsmodstanden (afsnit 11.4) Tværtøjning (vinkel) ved vridning Dimensionsfri parametre i elementartilfælde

• τ

Tøjning ell. tværspænding

• σ

Normalspænding

• ǫ

Tøjning - relativ forlængelse

• η

Længdem˚ al ved integration

• κ

Krumning af bjælkeaksen (= ρ1 )

• λ

Slankhedstallet ell. egenværdier ved beregning p˚ a søjler

• ν

Tværkontraksionstallet eller Poisson’s forhold

• ρ

Bjælkens krumningsradius (= κ1 ) 1

2

Statikkens hovedsætning

For konstruktioner og delkonstruktioner i hvile, gælder det, at den resulterende kraft/moment i et punkt er nul. R=0

3

Mo = 0

,

(2.1)

Fortegnskoncentioner

3.1

i planet

3.2

i rummet

4

Fordelt ydre belastning

5

Den numerisk maksimale spænding |σ|max =

|M| |M| · |y|max = W I

, f or N = 0

(5.2)

W er bøjningsmodstanden, eller modstandsmomentet. W =

6

I |y |max

Fladeinertimomenter

6.1

Rektangulært tværsnit

• A = bh 2

(5.3)

• I=

1 Ah2 12

• W = 16 Ah

6.2

Cirkulært tværsnit

(radius a) • A = πa2 • I = 41 Aa2 • W = 14 Aa

6.3

I-profil (tyndfliget)

• Giver sig selv! regn p˚ a det! :) Se side 33 i bogen.

6.4

T-profil

• Side 34

7

Den elastiske linjes ligning (s.35)

(udbøjning) •

For kendt M. •

M d2 u = dx2 EI 2 Randbetingelser. d2 dx2

  d2 u EI 2 = (EIu′′ )′′ = q = M ′′ dx

Den elastiske linjes ligning

4 Randbetingelser.

3

(7.4)

(7.5)

8

Superpositionsprincippet

Summation af løsninger (fundet fx. ved elementartilfælde), er tilladt. Se p˚ a krafterne alene hver for sig. Brug elementartilfælde (s. 116-117. se afsnit 12)

9

Kompositbjælker (s.59-)

En kompositbjælke har varierende elasticitetsmodul hen over tværsnittet (i (y,z)+planen). Her bruges H1 =

Z

H2 =

EdA , A

Z

−EydA ,

H3 =

A

Z

Ey2 dA

(9.6)

A

til at bestemme tyngdepunktsbeliggenhed (e), i forhold til indlagt koordinatsystem, og et gennemsnitselasticitetsmodul (H3∗). e=−

H2 H1

(9.7)

H3∗ findes som H1∗ = H1 ,

H2∗ = H2 + eH1 ,

H 3∗ = H3 − e2 H1

(9.8)

a Hvor H3∗ bruges som bøjningsstivheden af kompositbjælken (Svarende til EI). Alts˚ kan udbøjningen af kompositbjælken regnes ved Udbøjning: d2 dx2

  2 ∗d u H3 2 = (H3∗u′′)′′ = q dx 4

(9.9)

10

Søjler - Buling / Eulers søjletilfælde (s.64-)

P er her den aksiale kompressionskraft d2 dx2

  d2 u d2 u EI 2 = −P 2 dx dx

(10.10)

Pk er den kritiske værdi for P. Denne findes ved Eulers søjletilfælde:

11

Vridning (s. 79-)

Tværspændinger τ samt tværtøjninger γ bliver nu indført. I det lineært elastiske omr˚ ade er disse propertionale med tværmodulet G. τ = Gγ

(11.11)

hvor G=

E 2(1 + v)

(11.12)

hvor v er materialets kontraksionstal (v ≈ 0, 3 for st˚ al, kobber- og alluminiumslegeringer).

5

11.1

Tyndvægget cylindrisk rør aΘ = lγ τ=

MV 2πa2 t

(11.13) (11.14)

begge hvor a er rørvæggens tykkelse. τ = Gγ = Ga

θ l

MV θ = l 2Gπa3 t

(11.15) (11.16)

’ Figur 11.1: Tyndvægget cylindrisk rør

11.2 Massiv cirkulær cylindrisk stang τr er intensiteten af tværspændingerne vinkelret p˚ a radien. aΘ = lγr MV =

Z

(11.17)

a

τr 2πr 2 dr

(11.18)

0

θ τr = Gγr = G r l

(11.19)

θ a4 MV = G π l 2

(11.20)

τr =

11.3

2MV r πa4

(11.21) Figur 11.2: Massiv cirkulær cylindrisk stang

Tykvægget rør

a er yderradius og b er inderradius MV = G τr =

θπ 4 (a − b4 ) l2

2MV r π(a4 − b4 )

(11.22) (11.23) 6

11.4

Vridningsstivhed

Vridningsstivheden betegnes GK, hvor K er vridningsstivhedens tværsnintsfaktor. MV θ = l GK

(11.24)

|MV | WV

(11.25)

|τ |max =

hvor WV er vridningsmodstanden se tabel fra bogen for værdier.

7

12

Elementartilfælde

Figur 12.3: Fast indspændt i A

8

Figur 12.4: Simpelt understøttet i A

9...