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TRABAJO PRÁCTICO N°15 ELEMENTOS DE MAQUINAS

Universidad Nacional de Lomas de Zamora

Facultad de Ingeniería

ALUMNO: TEMA: Verificación de engranajes cilíndricos por resistencia y por desgaste.

1° CUATRIMESTE 2018

HOJA: 1 de 10

Ejemplo de verificación de un par de engranajes cilíndricos de dentado recto. Un Piñón recto de 17 dientes con un ángulo de presión de 20° gira a 1800 rpm. Transmite 4HP a una corona de 52 dientes. El paso diametral es de 10 dientes/pulg., el ancho de la cara es 1,5 pulg. (38,10 mm). Están construidos en calidad N°6, según la norma. Los engranajes están montados entre cojinetes y a poca distancia de ellos. El piñón es de acero grado 1 y los dientes tienen una dureza superficial de 240 Brinnel y núcleo endurecido completamente. La corona es de acero también endurecida por completo, material grado 1, con dureza de 200 Brinnel en la superficie de los dientes y en el núcleo. La relación de Poisson es de 0,30, y el módulo de Young 30(106)psi. La carga es uniforme debida a sí misma y al motor. Suponga una vida del piñón de 108mciclos y una confiabilidad de 0,90. El perfil de los dientes esta sin corona. Se trata de una unidad reductora comercial.

Criterio de resistencia o falla por fatiga a la flexión

σ =W t K 0 K v K s

1 KH KB b . mt Y J 2

σ =es la tension por flexion generada por W t (N /mm = MPa ) W t =es la carga tangencial que actua sobre el diente ( N ) K 0=Factor de sobre carga K v =Factor dinamico K s =Factor de tamaño b=ancho util del diente , o del elemento masangosto (mm ) m t=modulo tranversal ( mm ) K H =Factor de distribucion de la carga . K B =Factor de espesor del aro. Y J =Factor geometrico de resistencia a la flexion que incluye el factor de cocentracion de tensiones en el radio de acuerdo del pie del diente. 

Wt

Calculo de la carga tangencial Wt actuante.

Dp N =716,2 n 2 }} = {17} over {10} =1,7pul=43,18m P¿ z Dp= ¿ Por lo tanto:

W t =716,2 

4 2 =73,72 Kg =737 N 1800 0,4318

Determinación del factor dinámico El factor dinámico se obtiene de la siguiente ecuación:

K v=

(

A + √ 200V A

)

B

Siendo: V A B

= = =

Velocidad Tangencial. 50+56(1-B) 0,25 (12-Qv)2/3

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ALUMNO: TEMA: Verificación de engranajes cilíndricos por resistencia y por desgaste.

V =ω

1° CUATRIMESTE 2018

HOJA: 2 de 10

D 1 Dp =2 πn p =4,06 m/ s 2 60 2

B = 0,825 A=59,80 Por lo tanto:

K v =1,379 2

[ A +( Q v −3 ) ] =19,72 m/ s V max = 200 



K s =1,192.

Determinación del factor de sobrecarga K0 Se obtiene del la siguiente tabla:

K0 = 1 Determinación del factor de tamaño Ks. Se puede obtener con la siguiente expresión:

( ) b√Y P b P Y

0,0535

= ancho del diente: 1,5 pulg. = paso diametral: 10 dientes/pulg. = factor de Lewis YP= 0,303 para z = 17 dientes YR= 0,412 para z = 52 dientes

K s =1,043 para el piñon K s =1,052 para larueda 

Determinación del factor de distribución de la carga KH

K H =1+Cmc ( C pf . C pm + C ma . C e)

o o o

Cmc =Factor de correccionde carga . C pf =Factor de proporcion del diente . Cmc =Factor modificador de la proporcion del diente . C ma =Factor de alineacion del acoplamiento. C e=Factor de correccionde la alineacion del montaje .



Cmc =1

o o

b Cuando 25 < b ≤ 432 mm −0,0375 + 0,000492 b => 10 d C pf =0,0694 Siendo b=38,1 mm y d=DP=43,18mm => 

C pf =



C pc =1

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

Cmc =1



Cma =A +B .b+C . b2

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HOJA: 3 de 10

b: ancho del diente : 38,10 mm Siendo A,B y C constantes empíricas cuyos valores están en la tabla siguiente:

A = 0,127,

B = 0,62(10-3),

C = -1,69(10-7)

C ma =0,15 



C e=1

K H =1,2194

Determinación del factor de espesor de aro o llanta exterior KB El valor del coeficiente se puede sacar gráficamente o mediante alguna expresión matemática.

En el proyecto en curso no se ha especificado el tipo constructivo de las ruedas dentadas, pero dado las pequeñas dimensiones se supone que se realizaran en cuerpos macizos, por lo que resulta: tR>>ht => mB ≥ 1,2 Por lo tanto evaluando el grafico nos indica que el factor por rigidez es de 1

KB= 1 

Determinación del factor geométrico de resistencia a la flexión Y J Se puede calcular con la fórmula:

Y Y j= K f . mN O bien sacar de un gráfico dependiendo el número de la cantidad de dientes del piñón y la rueda:

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Para z = 17 dientes Para z = 52 dientes

Y j =0,29 Y j =¿ 0,395

Resumen de los datos obtenidos para el cálculo de la tensión por flexión Componente de la ecuación Wt Kv K0 Ks b mt KH KB YJ

Denominación

Valor

Carga tangencial (N) Factor dinámico Factor de sobre carga Factor de tamaño Piñón Rueda Ancho útil del diente(mm) Modulo transversal (mm) Factor de distribución de la carga Factor de espesor del aro Factor geométrico de Piñón resistencia a la flexión Rueda

737 1,379 1 1,043 1,052 38,10 ≈2,5 1,2194 1 0,29 0,395

Reemplazando:

1 N 1,2194 . 1 =46,79 → Piñon 38,1 . 2,5 0,29 mm 2 1 N 1,2194 . 1 σ =737 .1 . 1,379. 1,052 =34,65 → Rueda 38,1 . 2,5 0,395 mm2 σ =737 .1 . 1,379. 1,043

Determinación del grado de seguridad en fatiga por flexión

( )[

σ perm .=

St YN . SF Y θ. Y Z

]

HOJA: 4 de 10

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σ perm . = St SF = YN = Yθ = YZ = 

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=

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HOJA: 5 de 10

Valor máximo de tensión admitida.

tensión permisible a fatiga por flexión para el material considerado (N/mm2). factor de seguridad. factor modificativo para considerar los ciclos reales de aplicación de la tensión. factor para considerar el efecto de la temperatura. factor para considerar el grado de confiabilidad requerido.

Determinación de la tensión permisible St a flexión. Se obtiene de gráficos que responden a distintos tratamientos térmicos o bien de tablas.

Para el caso que se está resolviendo se sabe que el piñón es de acero grado 1, con dureza superficial de 240 HBN y núcleo endurecido totalmente; la rueda de acero de grado 1, también endurecida completamente y dureza superficial de 200 HBN. St = 216,22 (MPa) St = 194,90 (MPa) 

para el piñón. para la rueda.

Determinación del factor por cantidad de ciclos de aplicación de la carga YN.

La determinación de este factor se realiza por medio de las expresiones algebraicas insertadas en el grafico siguiente:

Conociendo la vida útil del piñón de 108 ciclos se observa que existen dos posibilidades para calcular el coeficiente:

Y N =1,3558. N −0,0178

o

Y N =1,6831. N −0,0323

Para estar del lado de la mayor confiabilidad, se puede optar por utilizar la segunda expresión que dará valores más bajos: −0,0323 Para el piñón =0,861 Y N =1,6831. (108 )

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HOJA: 6 de 10

La rueda habrá sido sometida a menor cantidad de ciclos, tanto como la proporción i=82/17.

Y N =1,6831.

Para la rueda 

(

8

10 Z 2/ Z 1

−0,0323

)

=0,893

Determinación del factor de temperatura Y Para temperatura del aceite o del propio engranaje de hasta 120 °, se utiliza Y = 1.



Determinación del factor de seguridad YZ Para el caso que se está analizando, por datos de diseño se aconseja la utilización de una confiabilidad

de 0,90. Para los valores intermedios u otros no disponibles en la tabla, el factor YZ se puede obtener mediante la expresión: YZ = 0,658-0,0759 . ln(1-R) siendo 0,5 < R < 0,99 YZ = 0,658-0,0759 . ln(1-0,90) = 0,8327 Resumen de los datos obtenidos para el cálculo del grado de seguridad en fatiga por flexión Componente de la ecuación

Denominación Tensión permisible Piñón (MPa) Rueda Piñón Factor de ciclos de aplicación de la Rueda carga Factor de temperatura Factor de confiabilidad

St YN Y YZ

Valor 216,22 194,90 0,861 0,893 1 0,8327

( )[ ] )[ ] )[ ]

SF =

St

.

YN Yθ.YZ

σ perm 216,22 0,861 . SF = =4,67 → Piñon 47,79 1 .0,8327 194,90 0,893 SF = =6,04 → Rueda . 34,65 1 .0,832

( (

Según el criterio de resistencia a la fatiga por flexión, el conjunto está trabajando con seguridad.

Criterio de durabilidad o falla por fatiga superficial.

√

σ c =Z E W t K 0 K v K s Donde:

ZE Wt K0

= coeficiente elástico

(√ N /mm2 )

= carga tangencial actuante. = factor de sobrecarga

K H ZR d . b ZI

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Kv Ks KH ZR d b

ZI

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HOJA: 7 de 10

= factor dinámico. = factor de tamaño. = factor de distribución de carga. = factor de condición superficial. = diámetro primitivo del piñon (mm) = ancho útil del diente (mm) = factor geométrico de resistencia al desgaste superficial.

Algunos de los factores ya sin conocidos de cálculos anteriores, se determinara a continuación aquellos desconocidos. 

Determinación del coeficiente elástico ZE

Z E=

√ [(

1 2 1

) ( )]

1−v 1−v22 π. + E1 E2

Donde v1 y v2 coeficiente de Poisson del material del engranaje 1 y del 2 respectivamente E1 y E2 módulo de elasticidad longitudinal del material del engrane 1 y del 2 respectivamente Para el caso que se está analizando: v1 = v2 = 0,3 E1 = E2 =2,05.105 N/mm2 Reemplazando:

Z E=189,35 √ N /mm2 También es posible obtenerlo a partir de datos indicados por tablas

√

Se adopta Z E=191 N /mm2 

para el diseño

Determinación del factor de condición superficial ZR

Si se entiende que las condiciones superficiales no tienen un efecto perjudicial, puede tomarse ZR=1, de lo contrario debería ser mayor. 

ZR=1 Determinación del factor geométrico de resistencia al desgaste ZJ.

Puede determinarse aplicando la siguiente expresión que es solo para dentados externos ya sea recto o helicoidal.

Z I= Donde:

cos ∅t . sin ∅t m G m G +1 2 . mN

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HOJA: 8 de 10

∅t es el ángulo de presión transversal (en helicoides) (o circunferencial en rectos). m G es la inversa de la relación de transmisión, es decir m G=1/i con

i=ω 2 /ω1

mN

relación de repartición de la carga. Para engranajes rectos = 1. Para engranajes

helicoidales esta dada la ecuación Donde:

pN

m N = p N /0,95. Z = paso de base normal = t . cos α n angulo de presión normal (mm) = segmento de engrane (mm)

Z

con t paso normal y

Reemplazando se obtiene:

Z I=

cos 20 ° .sin 20 ° z 2/ z 1 2. 1 z2 +1 z1

( )

Z I =0,1211 Resumen de los valores obtenidos y ya conocidos para calcular por criterio de durabilidad

N /mm2 √¿ ¿

ZE

191

Wt K0 Kv Ks

737 (N)

KH ZR d b

ZI

1 1,379 1,043 para el piñón 1,052 para la ruleta 1,2194 1 43,18 (mm) 38,1 (mm) 0,1211

Reemplazando:

√

σ c =Z E W t K 0 K v K s

√

K H ZR d . b ZI

1 1,2194 . 43,18 mm .38,1mm 0,1211 2 2 σ c =191 √ N /mm . √ 6,4879 N /mm

σ c =191 √ N /mm2 737 N . 1. 1,379 .1,043.

σ c =486,50 N /mm

2

Para el piñón

Haciendo lo mismo para la rueda queda:

σ c =488,60 N /mm

2

Determinación del grado de seguridad en fatiga superficial.

αn

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σ c . perm. =

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HOJA: 9 de 10

Sc ZN . ZW SH Y θ . Y Z

σ c . perm. = tensión admitida a desgaste superficial, es decir la tensión que no puede ser superada (N/mm2). S c = tensión permisible a fatiga superficial para el material considerado (N/mm2). S H = factor de seguridad. ZN = factor de vida por ciclos de aplicación de la tensión. ZW = factor de la relación de durezas en resistencia al desgaste. Y θ = factor de temperatura. Y Z = factor de confiabilidad. Algunos de los factores intervinientes ya han sido determinados anteriormente, por lo que a continuación se obtendrán solo los que son desconocidos. 

Determinación de la tensión superficial permisible SC. Para el material adoptado la máxima tensión permisible que puede ser aplicada a su superficie puede ser obtenida de tablas específicas o de gráficos.

Para acero de grado 1,

S c =2,22. HB+200 MPa S c =2,22.240+200=732,28 MPa → piñon S c =2,22.200+200 =644 MPa → rueda

 Determinación del factor de vida de ciclos de aplicación de la tensión Para determinar su valor se utilizan las expresiones algebraicas insertas en gráficos como el presentado:

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HOJA: 10 de 10

Si se remite a la expresión se deduce que es conveniente determinar el valor menor, de modo de obtener un SH más seguro. ZN = 2,466. N -0,056 = 2,466. (108) -0,056 = 0,7726 → Piñon Como el engrane mayor gira más lento, cuando el menor llegue a los 108 ciclos previstos, la rueda habrá sido sometida a una cantidad de ciclos menor, dados por la relación z2/z1 por lo que es posible aplicarle una tensión superior, la que queda afectada por:

( )

8 −0,056

10 Z N=2,466 . z2 z1 

=0,822 → rueda

Determinación del factor de la relación de durezas en resistencia al desgaste ZW Se obtiene a partir de expresiones algebraicas o mediante gráficos, para este caso se utiliza el siguiente gráfico:

Para ello hace falta obtener el resultado de la relación:

HBN ( piñon) 240 =1,2 = HBN (rueda) 200 Y de

m G=3,06

Para estos valores del grafico se obtiene:

Z W =1,005

Resumen de los valores obtenidos y ya conocidos para calcular el grado de seguridad en fatiga superficial.

σ c . perm. Sc ZN ZW Yθ YZ

= 486,50 N/mm2 para el piñón. 488,60 N/mm2 para la rueda. = 732,28 MPa para el piñón. = 644 MPa para la rueda. = 0,7726 para el piñón. = 0,822 para la rueda. = 1,005 para la rueda. =1 =0,8327

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HOJA: 11 de 10

Reemplazando:

SH =

Sc

ZN . ZW

σ c . perm . Y θ . Y Z 732,28 0,7726 .1 SH = =1,3965 → piñon 486,50 1. 0,8327 644 0,822 . 1,005 SH = =1,3076 → rueda 488,60 1. 0,8327 Se observa que también, desde el criterio de durabilidad o desgaste superficial, los materiales están trabajando con margen positivo de seguridad. Se concluye que ambos engranajes tienen el menos coeficiente de seguridad a la falla por desgaste superficial, y que la situación más débil se la encuentra en la rueda. La experiencia indica que si fallan, lo deben hacer por fatiga superficial. También se acostumbra a aceptar que SF /SH = 2. No debe perder de vista que todos los factores y coeficientes tienen un sustento económico por que el proyecto debe balancear costo con utilidad....