T.1 - Combinatoria - UNED - Matemáticas Especiales PDF

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Combinatoria Variaciones y combinaciones Las variaciones y las combinaciones son distintas maneras de agrupar objetos. Si una persona saca dos bolas, de una en una, de una mesa de billar americano con tres bolas, hay seis posibles variaciones. En este caso el orden es importante, y es diferente elegir una bola azul y después una roja que una roja y luego una azul. Sin embargo, en las combinaciones el orden no importa y es la misma combinación sacar una bola roja y después una azul que al contrario. Por tanto, sólo hay tres posibles combinaciones. Combinatoria, rama de las matemáticas que estudia las posibles agrupaciones de objetos tomados de un conjunto dado; es de gran importancia en otras ramas de las matemáticas. Por ejemplo, se utiliza para el desarrollo del binomio de Newton; en la teoría de la probabilidad y en estadística (para calcular el número de casos posibles de un sistema). También tiene importantes aplicaciones en el diseño y funcionamiento de ordenadores o computadoras, así como en las ciencias físicas y sociales. VARIACIONES Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto. Por ejemplo, si se toma una baraja con cuarenta cartas, cada una de las distintas formas en que se pueden repartir 4 cartas es una variación de las 40 cartas tomadas de cuatro en cuatro. El número de variaciones de n elementos tomados de k en k se denota Vn,k, cuyo valor viene dado por la fórmula general donde n! —leído 'n factorial'— representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por definición. PERMUTACIONES Las permutaciones son las distintas formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto. Si se toma una baraja que sólo tenga una sota (S), un caballo (C), un rey (R) y un as (A), cada una de las formas en que estas cartas se pueden repartir es una permutación. En este ejemplo hay 24 posibilidades: SCRA SCAR SRAC SRCA SACR SARC CSRA CSAR CRAS CRSA CASR CARS RCSA RCAS RSAC RSCA RACS RASC ACRS ACSR ARSC ARCS ASCR ASRC. El número de posibles permutaciones se puede calcular observando lo que ocurre al repartir las cartas: la primera carta repartida puede ser una de las 4 posibles cartas, la segunda es una de las tres restantes, la tercera es una de las dos posibles y finalmente sólo queda una cuarta carta. Esto da un número total de permutaciones igual a 4 × 3 × 2 × 1 = 24, que se puede escribir como 4!. En general, hay n! permutaciones en las que colocar n elementos en orden. El número de permutaciones de n elementos se denota Pn. Las permutaciones son un caso particular de las variaciones Pn = Vn,n = n! cuando el número de elementos del conjunto de objetos es igual al de cada uno de los conjuntos ordenados. COMBINACIONES Las combinaciones son agrupaciones de objetos en las que no importa su orden. Siguiendo con el ejemplo del reparto de cartas, normalmente no importa el orden en que se reciben éstas. El número de posibles combinaciones de la mano recibida por un jugador es igual al número de variaciones en que las cartas se podían haber repartido, dividido por el número de posibles formas de ordenar la mano. Por ejemplo, hay V40,4 formas de repartir 4 cartas de una baraja de 40, y hay P4 de ordenar dichas cartas. Por tanto, hay V40,4/P4 posibles combinaciones. En general, el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k se escribe Cn,k, y su valor está dado por la siguiente fórmula:

Variaciones sin repetición. Se diferencian dos variaciones, bien en algún elemento o, caso de tener los mismos, en el orden. No pueden existir elementos repetidos. Página 1 TEMA I - COMBINATORIA

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Vm,n = V7,3 = 7 · 6 · 5 = 210; V6,4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360 Variaciones con repetición. Si se admite que todo elemento se puede repetir resultan las VR que también difieren unas de otras, bien en algún elemento, bien en el orden. VRm,n = mn; VR5,3 = 53 = 125 ; VR3,5 = 35 = 243 Permutaciones sin repetición. Si se forman las Vn,n resultan unas agrupaciones de n elementos que diferirán unas de otras solo en la ordenación, puesto que en cada agrupación entran todos los n elementos. Pn = Vn,n ; P6 = 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720; P5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 Permutaciones con repetición. Son permutaciones con repetición limitada, esto es, que cada elemento se repite un número prefijado de veces. a ,b , c …

PRn

=

n! donde a + b + c … = n a!·b!·c! …

{a, b, c}, teniendo en cuenta que a se repite 3 veces, b dos veces y c no se repite. a+b+c=3+2+1=6=n a ,b , c …

PRn

=

4 · 5· 6 6! = =10 3 ! · 2 !· 1 ! 12

Combinaciones sin repetición. Se denominan combinaciones n-arias de m elementos a las distintas agrupaciones de n elementos, elegidos entre los m, diferenciándose una combinación de otra, al menos en un elemento.

Cm ,n =

V m, n m! = Pn n ! ( m−n ) !

=

(mn)

Combinaciones con repetición. Al igual que las VR, lo son de repetición ilimitada.

CR7,3=C( 7 +3−1) ,3=C 9,3 =

V 9,3 9 · 8 ·7 =84 = P3 3· 2 ·1

Binomio de Newton.

() ()

()

( )

()

n n−1 n−2 2 n−1 ( x+ y ) = n x n + n x y + n x y + …+ n x y + n y n 0 1 2 n−1 n

()

()

()

()

()

5 ( x+ y ) =x 5+ 5 x 4 y + 5 x 3 y 2+ 5 x 2 y 3+ 5 x y 4 + 5 y 5=¿ 1 2 3 4 5

x 5+

5! 5! 5! 5! 5! x4 y + x 3 y 2+ x2 y3 + x y4 + y 5 =¿ 1 ! ( 5−1 ) ! 2! (5−2 ) ! 3 ! ( 5−3 )! 4 ! (5−4 ) ! 5 ! ( 5−5 ) ! 5

4

3

2

2

3

4

x +5 x y +10 x y +10 x y +5 x y + y

5

Triángulo de Pascal o de Tartaglia Triángulo de Pascal, también conocido como triángulo de Tartaglia, distribución de números obtenida al expandir potencias sucesivas de ( x + y) —esto es ( x + y)1, (x + y)2...—, que proporciona los coeficientes correspondientes de estos desarrollos (ver figura adjunta). Página 2 TEMA I - COMBINATORIA

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Al tener un número infinito de filas y sólo dos lados, no es realmente un triángulo. Las filas se numeran n = 1, 2..., de arriba abajo; los números de la fila n son los coeficientes de los términos en el desarrollo de (x + y)n. Estos coeficientes se denominan coeficientes binómicos,

(leído “ n sobre k”). Por n! (factorial de n) se entiende el producto n × (n - 1) × (n - 2) ×... × 2 × 1 para n ≥ 1. Por ejemplo, el coeficiente de x2y2 en el desarrollo de (x + y)4 es

La expresión (À) también proporciona el número de combinaciones diferentes de k objetos tomados de un conjunto de n objetos, por lo que también se denomina número combinatorio. Cada número del triángulo de Pascal (aparte de los unos de los lados) es la suma de las dos entradas situadas encima; esto permite construir filas adicionales del triángulo. El triángulo de Pascal presenta muchas otras relaciones numéricas interesantes. Una de ellas es que la suma de todos los números de la fila n es 2n. Por ejemplo, la suma de los números de la fila 4 es 24 = 16. Además, si sustituimos los términos pares e impares del triángulo de Pascal por ceros y unos respectivamente, obtenemos la siguiente figura que se reproduce indefinidamente:

Las siguientes ocho filas están formadas por dos copias adyacentes de ese triángulo, con un triángulo de ceros invertido entre los dos, y así sucesivamente. Calculo del número combinatorio:

()

8 = 8 ! = 8· 7 · 6 = 336 =56 3! 3· 2 ·1 5 (8−5 ) !

Página 3 TEMA I - COMBINATORIA

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Potencias de un polinomio El problema de obtener la potencia de un polinomio lo resuelve la fórmula de Leibnitz:

(a+b +c +…+h ) m=∑

m! · aα ·b β · c γ · … · hλ α ! β !γ! …λ!

Siendo α + β+ γ + …+ λ=m . Para su aplicación, se empieza por descomponer m en tantos sumandos como tiene la base. Sea calcular: (x2 + 3x + 5)4 Se empieza por descomponer el exponente 4, en tantos sumandos como tiene la base, en este caso. 4+0+0 3+1+0 2+2+0 2+1+1 El coeficiente de cada término es:

4! =1 4 ! · 0 !· 0 ! 4! =4 3 ! · 1! · 0 ! 4! =6 2 ! · 2!· 0 ! 4! =12 2 ! · 1! · 1!

Para la descomposición de 4 + 0 + 0: Para la descomposición de 3 + 1 + 0: Para la descomposición de 2 + 2 + 0: Para la descomposición de 2 + 1 + 1: El desarrollo será:

(x 2+3 x +5 ) =1· [ ( x 2) + ( 3 x )4 + 54 ]+¿ 4

+4 ·[ ( x2 ) · 3 x +( x 2 ) ·5+( 3 x )3 · x 2+ ( 3 x )3 ·5+5 3 · x2 +53 · 3 x ] +¿ 3

3

2 2 2 2 2 2 +6 ·[ ( x ) · (3 x ) +( x ) ·5 +(3 x ) · 5 ] +¿ 2

2

+12· [( x 2 ) ·3 x· 5+ (3 x ) · x ·5+5 · x ·3 x ] 2

2

2

2

2

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Ejercicios Combinatoria 1.Cuántos números distintos de 3 cifras diferentes se pueden formar con los guarismos 1, 3, 5, 7 y 9. 2.Cuántos números distintos de 4 cifras diferentes se pueden formar con los guarismos 0, 2, 4, 5, 6 y 8. 3.Obtener cuantos números de 4 cifras diferentes o no se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5. 4.Cuántas palabras de 6 letras distintas se pueden escribir con 12 consonantes diferentes y las 5 vocales, de forma que las consonantes ocupen los lugares primero, tercero y quinto y las vocales los lugares pares. 5.De cuántas formas se pueden alinear 8 personas. 6.Cuántos números distintos de 8 cifras se pueden escribir con 2 cifras tres, 3 cifras cuatro y 3 cifras cinco. 7.Alrededor de una mesa circular se sientan 6 personas. De cuántas formas distintas lo pueden hacer. 8.Cuántos productos diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 de forma que en cada producto entren 3 factores. 9.De una baraja de 40 cartas nos reparten 4 cartas. Cuántos juegos distintos podemos tener. 10.En cuántos puntos se cortan 7 rectas tales que no hay 2 que sean paralelas y que tampoco hay más de 2 concurrentes en el mismo punto. 11.Desarrollar mediante el binomio de Newton

( ) x−

1 x

4

12.Obtener el término en x16 en el desarrollo de (x2 + xy)10.

13.Desarrollar (a + b + c)3.

Página 5 TEMA I - COMBINATORIA

.

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Ejercicios Combinatoria (14) V7,3 =

V6,4 =

V8,2 =

VR5,3 =

VR3,5 =

VR3,4 =

P6 =

P5 =

PR

3,2,1 6

P2 = 2,2 4

=¿

3,3,2

PR =¿

Formar C {a b c d e}

PR10 =¿ Formar CR {a b c}

Hallar el termino cuarto en el desarrollo de (4x2 – 5xy)7 Calcular el polinomio (x2 + 3x + 2)3 Calcular los binomios (x + y)5 (x + y)2 Calcular el coeficiente del término x3y6 obtenido en el desarrollo de (x + y)9 Calcular (2x – 3y)4 =

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Ejercicios Combinatoria 15.a) Cuántas palabras de 6 letras distintas pueden formarse con los elementos A = {a, b, c, d, e, f, g, i, l, m}. b) Cuántas de esas palabras contienen la letra b. 16.Se forman con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 7 números con cinco de ellas no repetidas. a) Cuántos números se pueden formar. b) Cuántos de ellos son múltiplos de 4 y cuántos son múltiplos de 2. 17.Sea A = {a, b, c}. Las palabras de dos letras que se pueden formar, tomando dos letras iguales o distintas del conjunto A son: 18.En el juego de las quinielas, ¿Cuál es el número mínimo de columnas que han de rellenarse para acertar con seguridad los catorce signos? 19. En el subconjunto A del alfabeto formado por las letras {a, b, c, d} Cuántas palabras distintas de diez letras pueden formarse. 20.De cuantas maneras se pueden distribuir siete personas en una fila de siete sillas. 21.Cuántas permutaciones del conjunto de las letras a, b, c, d, e, satisfacen la condición que se indica en cada caso: a) La letra b está en segunda posición. b) La letra a está en primera posición y la d en la cuarta. c) La letra a está en primera posición o la d en la cuarta. 22.Sea el conjunto S = {1, 2, 3, 4}. Vamos a escribir todas las combinaciones de orden tres de los elementos de S, y para cada combinación todas las permutaciones de orden tres. 23.Determínese el número de manos de póker distintas (cinco cartas) que pueden formarse con una baraja de 52 naipes. Cuántas manos contienen exactamente tres ases. 24.En un muestreo realizado por cierto partido político, antes de unas elecciones, 25 personas responden de la siguiente manera: 12 responden sí, 8 responden no y 5 están indecisos. De cuántas formas se puede obtener este resultado. 25.Consideremos una caja que contiene siete bolas: tres rojas, dos azules y dos blancas. Se selecciona de forma aleatoria un subconjunto de tres bolas. Cuántos de tales subconjuntos contienen al menos dos bolas rojas.

Ejercicios Combinatoria Página 7 TEMA I - COMBINATORIA

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26.Una señal consiste en 10 banderas colgadas de una cinta vertical de las que cinco son verdes, tres blancas y dos negras, siendo indistinguibles las banderas del mismo color. Cuántas señales diferentes se pueden hacer. 27.Si una partida de bridge es una partición ordenada de 52 cartas en cuatro grupos de 13 cartas cada uno. De cuántas formas distintas pueden estar colocadas las cartas al iniciarse una partida de bridge. 28.Determinar el número de combinaciones con repetición de orden 3 del conjunto A = {1, 2, 3,4}. 29.Cuántos números enteros comprendidos entre 1000 y 9999 satisfacen que la suma de sus dígitos es exactamente 9. 30.La transición electrónica de información está usualmente codifica en cadenas de “ceros” y “unos”. Cada dígito de la cadena se llama bit. Se llama peso de la cadena al número de “unos” de la misma. Las interferencias y los problemas físicos de la red de transmisión producen errores en los mensajes. La detección y corrección de estos errores es una parte importante de la teoría de codificación. Como ejemplo consideremos un código cuyas palabras son cadenas de 16 bits y cuyo peso es divisible por 4. Cuántas palabras distintas puede haber. 31.Dado el conjunto de números {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: a) Cuántos números de cuatro cifras distintas que no contengan al cero se pueden escribir. b) Cuántos números de cinco cifras hay. c) Cuántos números de ocho cifras son divisibles por cinco. d) Cuántos números de seis cifras distintas hay entre 650000 y 660000 32.Tres matrimonios van juntos al cine y los sitúan en una determinada fila de butacas (todos juntos) y al salir del cine deciden ir a cenar y les colocan en una mesa para seis que es redonda. Se pide determinar: a) De cuántas formas distintas se han podido sentar en el cine. b) De cuántas formar distintas se han podido sentar en la cena. c) De cuántas formas distintas se pueden sentar en el cine de manera que las mujeres estén juntas. d) De cuántas formas distintas se pueden sentar en la cena de manera que no haya dos personas del mismo sexo juntas. 33.En una escapada del Tour hay tres corredores del equipo A, dos del B, uno del C, uno del D y dos del E: a) De cuántas formas distintas pueden llegar estos corredores a la meta. b) De cuántas formas distintas pueden clasificarse los equipos de esta escapada. c) De cuántas formas distintas pueden clasificarse los equipos de forma que no gane el equipo con más componentes. 34.Desarrollar las siguientes potencias usando el Teorema del Binomio: a) (2x + 3)5 b) (x – 2y)6

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35.En una carrera de maratón intervienen 4 españoles, 4 italianos, 4 alemanes, 4 ingleses y 4 franceses. Supuesto que terminan la carrera todos los corredores, se pide determinar: a) Cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera b) Cuántos pódiums distintos pueden darse en los cuales no hay españoles c) Cuántas clasificaciones distintas pueden darse de forma que tres de los componentes españoles se clasifiquen juntos d) Cuántas clasificaciones distintas pueden darse de forma que el segundo y tercero tengan la misma nacionalidad y el cuarto y el quinto tengan otra misma nacionalidad. 36.Cuatro profesores deciden hacer un libro con treinta capítulos y se decide que un determinado profesor escriba nueve capítulos, otro ocho, otro siete y el último seis. Los profesores eligen los capítulos del libro que desean escribir. a) De cuántas formas distintas puede elegir capítulos el primer autor b) De cuántas formas distintas, atendiendo al número de capítulos, pueden ser entregados los siete primeros capítulos escritos al editor c) De cuántas formas distintas pueden elegir capítulos los dos primeros autores d) De cuantas formas distintas pueden elegir capítulos los cuatro autores. 37.Sobre un papel cuadriculado se dibuja un rectángulo de 4 por 6 cuadritos (alto por ancho). Siguiendo las líneas de los cuadritos se dibuja un camino que une dos vértices opuestos. Cuántos caminos distintos se pueden dibujar de forma que cada vez que se dibuja un trazo se esté más cerca de la meta. 38.El trabajo de un operario consiste en la fabricación de cinco tipos distintos de piezas y su tarea consiste en fabricar tres piezas de cualquier tipo al día. a) Cuántas fabricaciones distintas puede producir en un día b) Cuántas fabricaciones distintas puede producir en dos días de forma que se produzca una única pieza de un cierto tipo 39.Determinar a) El décimo término del desarrollo de (3x2 + 7y)20 b) El séptimo término del desarrollo (3x + 1/x2)9 40.Determinar el término del binomio (x3 – 1/x)6 que contiene la expresión x2 41.Desarrollar la siguiente expresión (trinomio) (x + y + z) 4

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Solución a Ejercicios Combinatoria 1.- Observamos que los números pedidos son ordenaciones de una parte del conjunto {1, 3, 5, 7, 9}, luego son variaciones de cinco elementos, tomados 3 a 3, ya que los números son de tres cifras. V5,3 = 5 · 4 · 3 = 60 números distintos 2.- Razonando como en el problema anterior, se obtendría: V6,4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360 Pero no todos estos números son validos, ya que existen, entre ellos, números como el 0246, que no es de cuatro cifras, sino de tres. Por tanto, deberemos descontar dichos números, esto es, tenemos que ver cuantos empiezan por cero. Los números que empiezan por cero se pueden obtener anteponiendo un cero a los números de tres cifras distintas que se pueden formar con los guarismos 2, 4, 5, 6, 8, es decir; V5,3 = 5 · 4 · 3 = 60 En definitiva, el número buscado los obtenemos como diferencia del total de números hallados; V6,4 – V5,3 = 360 – 60 = 300 3.- Como las cifras pueden ser diferentes o no se tratan de variaciones con repetición. VR5,4 = 54 = 625 4.- Las consonantes se podrán elegir de V12,3 formas distintas y las vocales de V 5,3. Ambas cosas se pueden lograr de V12,3 · V5,3 formas distintas, o sea: V12,3 V5,3 = 12 · 11 · 10 · 5 · 4 · 3 = 1320 · 60 = 79200 palabras 5.- Las distintas formar de alinear 8 personas son precisamente las distintas ordenaciones de los elementos del conjunto, o sea: P8 = 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320

6.- Son las permutaciones con repetición de ocho elementos, repitiéndose el primero dos veces, tres veces el segundo y también tres veces el tercero: 2,3,3

P8 =

1 · 2· 3 · 4 · 5· 6 · 7 · 8 8! = =560 números diferentes 2 ! 3 ! 3! 1 · 2· 1 · 2 ·3 · 1· 2 ·3

7.- Una vez sentadas las seis personas en una determinada posición, si trasladamos a cada una al asiento de su derecha, resulta una posición idéntica a la anterior, por tanto, sentamos a una persona en un asiento cualquiera; las otras cinco podrán ocupar P5 P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 posiciones distint...