T1 Leyes de Khircchoff y circuitos de párametros concentrados PDF

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Apuntes de Leyes de Kirchhoff complementado con parámetros concentrados...

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TEMA 1 Sistemas eléctricos Clase 1 Objetivo Enseñar al alumno los modelos matemáticos de los elementos básicos de dos terminales en el dominio del tiempo t, y en el dominio de la variable compleja s. Introducción Un elemento de parámetros concentrados tiene dimensiones físicas mucho muy pequeñas en comparación con la longitud de onda con la que es excitado, de tal manera que se puede afirmar que su parámetro como resistencia, capacitancia o inductancia se encuentra concentrado en un punto dentro del cuerpo del elemento.

Tomado de Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0

Para entender lo anterior se realiza sobre una onda electromagnética (REM) está onda Puede ser representada por una señal sinusoidal caracterizada por su longitud de onda 𝝀 que es la distancia periódica con la que se propaga por un medio en un ciclo, el inverso de la longitud de onda es la frecuencia. La magnitud de la onda de onda puede determinarse entre dos máximos, entre dos mínimos o entre la distancia en la que la señal se repite de la misma forma, a esto se le llaman periodo figura (a), la figura (b) representa a la misma forma de la señal sinusoidal pero caracterizada por su periodo, pero distinta forma de analizar su velocidad de propagación.

𝑣=

𝑑

𝑡

𝑚

[𝑠𝑒𝑔]

Figura a

𝑐=

𝜆

𝑇

= 𝜆𝑓

figura b

𝑚

Donde c es la velocidad de la luz con valor constante 3x10 8 [𝑠𝑒𝑔], 𝜆 es la longuitud de onda en

[m] y T el periodo [seg].

Si se aplica el análisis de una señal electromagnética a un sistema, por ejemplo, la radio comercial, se le pide al alumno que menciones una estación de radio en FM, si elige por ejemplo una estación que transmita a una frecuencia de 1 [Mhz], la longitud de onda es: 𝑐

𝜆=𝑓=

3𝑥108

1𝑥106

[

𝑚

]

𝑠𝑒𝑔 1 [ 𝑠𝑒𝑔]

= 3𝑥102 = 300 [𝑚] por lo que si se piensa que la longitud de onda es de

300 m entonces se tendría el tamaño de los elementos de 300 m en el dispositivo de audio lo que no es posible sobre todo para la tecnología actual, entonces esos elementos que son muy pequeños en comparación de la longitud de onda tienen sus parámetros como resistencia, inductancia o capacitancia concentrada en un punto dentro del cuerpo del elemento, además la señal eléctrica que se aplica al circuito debe propagarse simultáneamente a todos los elementos del circuito. 𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 eléctricos ELEMENTO Resistor

PARAMETRO Resistencia (R)

UNIDAD Ohm [Ω]

Capacitor Inductor

Capacitancia ( C ) Inductancia (L)

Farad [F] Henry [H]

Pasivos: son los que consumen energía y la almacenan como el capacitor y el Inductor, o la disipan como el resistor Elementos Activos: Suministran energía al circuito como las fuentes de voltaje y de corriente Definición de circuito eléctrico Es un conjunto de elementos eléctricos conectados formando trayectorias cerradas por donde pueda circular una corriente eléctrica, corriente eléctrica pasan de un punto que tiene mayor potencial eléctrico a otro que tiene un potencial inferior. De la materia de Electricidad y Magnetismo Su modelo matemático está dado por ecuaciones

algebraicas y por ecuaciones diferenciales ordinarias. A manera de ejemplo, el siguiente circuito muestra los elementos básicos y las fuentes de alimentación con su correspondiente nomenclatura.

Comentado [R1]:

corriente Rama. Cualquier elemento de dos terminales o varios elementos conectados que puedas ser equivalentes formando un solo elemento de dos terminales. Nodo. Es la conexión entre dos ramas. Mallas. Trayectoria cerrada que se caracteriza por iniciar y regresar a un mismo nodo.

1.1 Leyes de Kirchhoff y circuitos de parámetros concentrado Estas leyes rigen a los circuitos eléctricos, se derivan de las Leyes de Maxwell cuyas cuatro ecuaciones describen por completo los fenómenos electromagnéticos (Ley de Gauss para el campo eléctrico, Ley de Gauss para el campo magnético, Ley de Faraday-Lenz y Ley de Ampere generalizada). El objetivo de las Leyes de Kirchhoff es obtener los voltajes y corrientes en cualquier nodo de un circuito eléctrico. 1.1.1 Ley de corrientes de Kirchhoff, LCK Esta les está basada en la conservación de la carga eléctrica, La LCK establece que: “Para un circuito de parámetros concentrados, para cualquier nodo y para cualquier tiempo, la suma algebraica de las corrientes que concurren en un nodo es cero” Se puede usar la siguiente convención; la suma de todas las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo

Su expresión matemática es: ∑ 𝑛 𝑖𝑛 = 0 1.1.2

Ley de voltajes de Kirchhoff, LVK

Esta ley está basada en la conservación del campo potencial de energía y establece que “Para un circuito de parámetros concentrados, para cualquiera de sus mallas y para cualquier tiempo, la suma algebraica de los voltajes alrededor de una malla es cero” Su expresión matemática es: ∑𝑛 𝑣𝑛 = 0

También se puede utilizar la convención: alrededor de una malla, la suma de subidas de voltaje es igual a la suma de bajadas de voltaje.

1.2 Elementos eléctricos Los elementos eléctricos básicos se clasifican como: Pasivos: son los que consumen energía y la almacenan como el capacitor y el Inductor, o la disipan como el resistor Elementos Activos: Suministran energía al circuito como las fuentes de voltaje y de corriente 1.2.1 Resistor eléctrico Es un dispositivo de dos terminales formado por un material conductor que consume energía y la disipa en forma de calor, tiene la propiedad de oponerse al paso de la corriente eléctrica Su símbolo es:

i +

R

v

-

Voltaje [V], Resistencia [𝜴], corriente [A]

Si se conecta una fuente de voltaje con la polaridad indicada, se tendrá una diferencia de potencial siendo el potencial más alto con signo positivo (+) y el potencial más bajo con signo negativo (-), la dirección de la corriente va del potencial más alto al más bajo, dando lo que se llama direcciones de referencia. El resistor se comporta de acuerdo con la Ley de Ohm con unidad de Ohm v = Ri donde R es la resistencia y es el parámetro del resistor [𝜴]. Se le denomina resistencia eléctrica a la oposición al flujo de corriente eléctrica a través de un conductor

Un resistor es lineal si su plano de modelado el parámetro resistencia se comporta como una línea recta que pasa por el origen y con cualquier pendiente, excepto pendiente cero y pendiente infinito

Resistor lineal R=cte. lo que hace que sea invariante en el tiempo La curva característica es una línea recta con cualquier pendiente que pasa por el origen.

v R i

0

v R i

0

Resistor no lineal R=cte. lo que hace que sea invariante en el tiempo La curva característica es una línea recta con cualquier pendiente, pero no pasa por el origen Diodo, es un elemento no lineal, su característica no es una recta aunque pase por el origen.

Circuito abierto. Resistencia infinita: R=∞ La corriente a través de las terminales del resistor es idénticamente cero para cualquier voltaje en él. 𝐼=0 𝑣≠0 Corregir el cero por infinito

v R=0 0

i

Corto circuito. Resistencia R=0. El voltaje en las terminales del resistor es idénticamente igual a cero para cualquier corriente a través él. 𝑣=0 𝑖≠0

Un resistor variante con el tiempo, es aquel que su resistencia varia con el tiempo Potencia disipada en el resistor 𝑃 = 𝑣𝑖 [𝑣𝐴 = 𝑊]

𝑃 = 𝑅𝐼 2 𝑃= Energía en un resistor

[

𝑉 2 𝐴 = 𝑊] 𝐴

𝑉2 𝑉2 𝐴 = 𝑊] [ 𝑅 𝑉

𝑑𝐸

El voltaje se define como 𝑉 = 𝑑𝑞 y la corriente 𝑖 = La potencia es 𝑃 = 𝑣𝑖 =

𝑑𝑒 𝑑𝑞

𝑑𝑞 𝑑𝑡

=

Despejando se tiene: 𝑑𝐸 = 𝑝𝑑𝑡

𝑑𝐸 𝑑𝑡

𝑑𝑞

𝑑𝑡

𝑡

Integrando 𝐸 = ∫0 𝑝𝑑𝑡 [𝑊𝑆𝑒𝑔 = 𝐽]

Aplicaciones del resistor • Divide un voltaje cuando se conectan en serie • Reduce una corriente cuando se conectan en paralelo Conductancia Es la facilidad que ofrece un conductor al paso de la corriente eléctrica, tiene la propiedad inversa de la resistencia. 𝐺=

Conexión en serie

1

𝐼

[𝑆𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛] tal que se puede escribir como 𝐺 = 𝑅

𝑉

I

R1

R2

+ V1-

+ V -

+ V2-

+ Vn -

+ V3 -

R3

. . . Rn

Por la propiedad del circuito 𝐼 = 𝐼𝑅1 = 𝐼𝑅2 = 𝐼𝑅3 = ⋯ = 𝐼𝑅𝑛 𝑉 = 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑅2 + 𝑉𝑅3 + ⋯ + 𝑉𝑅𝑛 = 𝑅1𝐼 + 𝑅2 𝐼 + 𝑅3𝐼 + ⋯ + 𝑅𝑛 𝐼 = 𝐼 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + ⋯ + 𝑅𝑛 ) = 𝐼𝑅𝑒𝑞 𝑉

Despejando la corriente 𝐼 = 𝑅

𝑒𝑞

Calculando el voltaje del resistor 𝑉𝑅1 = 𝑅1𝐼 =

C

𝑉𝑅𝑛 = 𝑅𝑛 𝐼 =

𝑅𝑛 𝑅𝑒𝑞

𝑉

Divisor de voltaje

𝑅1

𝑅𝑒𝑞

𝑉;

𝑉𝑅2 = 𝑅2 𝐼 =

I2 R2

+ V3 -

𝑅2

𝑅𝑒𝑞

𝑉; 𝑉𝑅3 = 𝑅3𝐼 =

I

+ V -

Por las propiedades del circuito

I1 + V1 -

R1

+ V2 -

I3 R3

𝑉 = 𝑉𝑅1 = 𝑉𝑅2 = 𝑉𝑅3 = ⋯ = 𝑉𝑅𝑛

𝐼 = 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 + 𝐼𝑅3 + ⋯ + 𝐼𝑅𝑛 y 𝐼 =

𝑉

𝑅

In + Vn -

Rn

𝑅3 𝑅𝑒𝑞

𝑉

Despejando 𝐼 =

𝑉

𝑅1

+

𝑉

𝑅2

𝑉

3

Despejando al voltaje 𝑉 = Por lo que 𝐼𝑅1 =

𝐼𝑅𝑛 =

1

𝑉

𝑛

𝐼

1 1 1 1 + + +⋯+ 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑛

𝐼

𝑅1 1 1 1 1 + + +⋯+ 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑛

1

𝐼

1

1

+𝑅 +⋯+ 𝑅 = 𝑉(𝑅 +𝑅 +

𝑅𝑛 1 1 1 1 + + +⋯+ 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑛

=

𝐼𝑅2 =

;

1

2

1

𝑅3

1

+ ⋯+ 𝑅 ) 𝑛

= 𝐼𝑅𝑒𝑞 como 𝐼 = 1

𝐼

𝑅2 1 1 1 1 + + +⋯+ 𝑅 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑛

𝐺𝑛 𝐼 𝐺1 +𝐺2 +𝐺3 +⋯+𝐺𝑛

𝑉

𝑅

; 𝐼𝑅3 =

1

𝐼

𝑅3 1 1 1 1 + + +⋯+ 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑛

Divisor de corriente en términos de la

resistencia y en términos de la conductancia.

1.2.2 Capacitor eléctrico lineal e invariante con el tiempo En un elemento pasivo de dos terminales conectado cada una a una placa conductora separadas por un material dieléctrico, en cada placa almacena carga eléctrica q cuando está sometido a una diferencia de potencial 𝒗, la variación de la carga con respecto al tiempo produce a su vez una corriente eléctrica a través del capacitor. Se define como un capacitor ideal si no tiene resistencia interna por lo que no hay perdidas de energía al acumular la carga eléctrica entre sus placas, para un capacitor real es el que si tiene resistencia interna 𝒓𝒄 por lo que hay perdida de energía a través de esta resistencia. Su diagrama eléctrico es: i(t) +

C

q

v(t)

-

i(t) +

rc

C v

-

Capacitor ideal Capacitor real El capacitor es un elemento que almacena energía en un campo eléctrico. En situaciones prácticas, comúnmente se toma su resistencia interna igual a cero. la capacidad eléctrica, es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga eléctrica. La capacidad es también una medida de la cantidad de energía eléctrica almacenada para una diferencia de potencial eléctrico dada. La carga almacenada está dado por 𝑞 = 𝑐𝑣 su unidad es el 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 = [𝐹𝑉] = [

𝐴𝑠𝑒𝑔 𝑉

𝑉] =

[𝐴𝑠𝑒𝑔], la carga en las placas del capacitor es proporcional al voltaje entre sus terminales y la

capacitancia

𝑐=

𝑞

𝑣

y su unidad es el Farad

[𝐹] = [

𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑉

]

q

Su plano de modelado es:

c v

0

Su característica es una línea recta que pasa por el origen con una pendiente C, donde 𝑐 ≠ 0 y 𝑐 ≠ ∞. La variación de la carga con respecto al tiempo es la corriente eléctrica 𝑖=

𝑑𝑞 𝑑𝑡

[A] y si la capacitancia es constante, sustituyendo 𝑑𝑣

𝑖 = 𝑐 𝑑𝑡 para un capacitor invariante en el tiempo,

La unidad de la capacitancia es el farad [𝐹] = [

El voltaje en el capacitor es 𝑣 =

𝑡 𝑖𝑑𝑡 𝑐 ∫𝑜

1

𝐴𝑠𝑒𝑔 𝑉

]

+ 𝑣0 [V], donde 𝑣0 es el voltaje inicial y equivale a la

condición inicial para el voltaje. El valor del voltaje en un tiempo 𝑡, depende del valor inicial 𝑣0 y de todos los valores entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 𝑡0 por lo que se dice que tiene memoria, esto es, almacena energía. Energía en el capacitor: Del concepto de potencia 𝑝 = 𝑣𝑖 =

Despejando 𝑑𝐸 = 𝑣𝑖𝑑𝑡 donde

𝑑𝐸 𝑑𝑡

𝑖=

𝑑𝑞

sustituyendo 𝑑 𝑑𝑞 = 𝑣 𝑐𝑣𝑑𝑡 𝑑𝐸 = 𝑣𝑖𝑑𝑡 = 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Si la capacitancia es constante (invariante en el tiempo) se tiene lo siguiente: 𝑡

𝑑𝑡

1

Integrando 𝐸 = 𝑐 ∫𝑡 0 𝑣𝑑𝑣 = 𝑐𝑣 2 su análisis de unidades [ 2 en función del voltaje 1

𝑞2

O bien, 𝐸 = 2 𝑐 𝑐 2 =

1 𝑞2 2 𝑐

su análisis de unidades [

𝐴2 𝑠𝑒𝑔2𝑉 𝐴𝑠𝑒𝑔

𝐴𝑠𝑒𝑔 𝑉

𝑉 2 ] = [𝑊𝑉] = [𝐽]

energía

] = [𝑊𝑠𝑒𝑔] = [𝐽]

1.2.3 Inductor lineal e invariante en el tiempo. En un elemento pasivo de dos terminales que consiste de una bobina de n espiras de material conductor almacena energía eléctrica, cuando está sometido a una diferencia de potencial 𝑣(𝑡) proporciona un flujo magnético 𝜙 que cuando este varia con respecto al tiempo se produce a su vez un voltaje en el inductor. la inductancia L, es la medida de la oposición a un cambio de corriente de un inductor que almacena energía en presencia de un campo magnético B. Se define como un inductor ideal si no tiene resistencia interna por lo que no hay perdidas de energía, para un inductor real es el que si tiene resistencia interna 𝑟𝐿 por lo que hay perdida de energía a través de esta resistencia. Su diagrama eléctrico es: 𝜙

i(t)

L

+

v(t)

i(t) -

L

+

rL

v

-

Inductor ideal inductor real Comúnmente, en situaciones prácticas, al analizar un circuito se toma en cuenta el valor de la resistencia interna, para tener un resultado más aproximado a valor real. El flujo producido por el inductor es 𝜙 = 𝐿𝑖 [𝑊𝑏] es proporcional a la corriente su plano de modelado es: 𝜙

L i

0

La característica del inductor en una línea recta que pasa por el origen con una pendiente L, donde L≠ 0 y ≠ ∞ La variación del flujo con respecto al tiempo el voltaje en el inductor 𝑑∅

donde ∅ = 𝐿𝑖, que indica que el flujo magnético es proporcional a la corriente que

𝑣 = 𝑑𝑡

circula por el inductor. La unidad del flujo es el Weber [Wb]=[HA] ∅

La inductancia es 𝐿 = 𝑖 , su unidad es el Henry [𝐻] = [ Si la inductancia L es constante 𝑑𝑖

𝑣 = 𝐿 𝑑𝑡

𝑉𝑠𝑒𝑔 𝐴

]

es un inductor invariante en el tiempo

Energía en un el inductor 𝑝 = 𝑣𝑖 =

𝑑𝐸 𝑑𝑡

despejando

𝑑𝐸 = 𝑣𝑖𝑑𝑡 sustituyendo el voltaje del capacitor 𝑑𝑖

dE= 𝐿 𝑑𝑡 𝑖 𝑑𝑡 = 𝐿𝑖𝑑𝑖 Integrando 𝑡

1

𝐸 = 𝐿 ∫0 0 𝑖 𝑑𝑖 = 2 𝐿𝑖 2

su análisis de unidades es: [

términos de la inductancia y la corriente Sustituyendo a la corriente en el inductor 1

𝐸= 𝐿 2

∅2 𝐿2

=

1 ∅2 2 𝐿

su análisis de unidades [𝑉 2 𝑠𝑒𝑔 2

𝑉𝑠𝑒𝑔𝐴2 𝐴

] = [𝑊𝑠𝑒𝑔] = [𝐽] potencia en

𝐴 ]=[𝑊𝑠𝑒𝑔] 𝑉𝑠𝑒𝑔

Clase 2 Fuentes independientes 1.2.4 Fuente independiente de voltaje (fuente real)

= [𝐽]

En un elemento de dos terminales que conectado a un circuito arbitrario mantiene un voltaje prescrito V para cualquier corriente 𝐼 fluyendo a través de sus terminales, con entrada por la terminal positiva que hace que se eleve el potencial eléctrico que es suministrado al circuito. V

I V

Circuito arbitrario

+ _

I

0

fuente real de voltaje conectado a un circuito

Plano de modelado

Diferentes representaciones de fuentes independientes de voltaje +

+

rf

+ +

rf

I

I

+ V _

V

Vf

_

_

Ideal de cd

Real de cd

V

I

+ _

V

I

Vf

V

+ _

f V

V _

_

Ideal de cd

I

rf

I

Real de cd

ideal de c.a.

Real de ca

1.2.5 Fuente independiente de corriente (fuente real) Es un elemento de dos terminales que conectado a un circuito arbitrario mantiene una corriente presctita I para cualquier voltaje V entre sus termiales, esta corriente esta determinado por el consumo en el circuito.

V

I I

+ V _

Circ uito arbitrario

I

0

Fuente real de corriente conectado a un circuito

Plano de modelado

Diferentes representaciones de fuentes independientes de corriente

I=0 + If _

I=0 +

I

f

f

rf

V _

+ I f _

+

If

f

rf

V _

Ideal de cd.

Real de cd.

Ideal de ca.

Real de ca

1.2.6 Transformación de fuentes independientes La transformación de fuentes es utilizada para simplificar un circuito, esta transformación garantiza que los circuitos transformados sean equvalentes en sus caracteristicas elécricas. Una fuente de voltaje en serie con una resistencia puede ser transformada por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia y viceversa, la resistencia en serie es la misma que la resistencia en paralelo.

Circuito equivalente de thevenin

Circuito equivalente Norton

Para demostrar lo anterior se probarán los valores de una resistencia externa R conectada en las terminales ab.

rs I

+ -

Vf

a

a +

+

V

R

rp V

If

_

R

_ b

b

Se tienen los dos casos 1. Si 𝑅 = 0 ⟹ 𝑉 = 0 se tiene la condición de corto circuito cc.

rs

Vf

a

a

Icc

+

+

+ -

V=0

_

_

𝐼𝑐𝑐 =

𝑉𝑓

b

𝑅𝑠

2. Si 𝑅 = ∞

⟹

Icc

V=0

If

b

𝐼𝑓 = 𝐼𝑐𝑐

por lo que

𝐼 = 0 se tiene la condición de circuito abierto ca.

𝐼𝑓 =

𝑉𝑓

𝑅𝑠

I=0

Vf

I=0

a +

+ -

V ca

a +

rp

If

V ca -_

_ b
...