Tabela primitivas - professora Cláudia PDF

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professora Cláudia...

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Tabela de derivadas e primitivas e técnicas de derivação e primitivação Glossário função de primitiva de constante de integração logaritmo de base seno hiperbólico coseno hiperbólico

log sinh cosh

sin seno tan tangente cot cotangente csc cosecante arcsin arco cujo seno é argsinh argumento cujo seno hiperbólico é

Derivadas Versão simplificada

0, (

)

(log ) (

constante 1

ℝ

,

( ) )

Generalização (seja -1

( )

1

ℝ

,

(log )

)

( )

( ) (log ) , (sin ) cos (cos ) sin (tan )

0

1 cos 2

sec 2

(cot ) (sec ) (csc )

(arcsin )

( ) (log ) , (sin ) cos (cos ) sin (tan )

1 sin 2 sin sec tan cos 2 cos csc cot sin 2 1

(arctan )

csc 2

csc 2

sin2

(sec )

sec tan

(csc )

csc cot

(arctan )

1 2

cos 2

2

1

(arc sec )

1

(sinh ) cosh (cosh ) sinh

(sinh ) (cosh )

sin cos 2 cos sin2

2

1

2

(arc sec )

sec 2

(arcsin )

2

1 1 1

(cot )

0

2

1

cosh sinh

Técnicas de derivação (sejam e funções de ) Derivada da soma

(

Derivada do produto

)

(

Derivada do quociente

  

  

2

Derivada parcial

,

)

Derivada da função composta

( )

0

( )

( )

( , ,…) : considerar como uma constante tudo o que não seja e aplicar

as regras de derivação em ordem a N. Sousa, ESAC, 04-09-2008

usuais.

Primitivas Versão simplificada

∫ ∫ ∫

1

cos sin log cos log sin log sec

tan

log csc

cot

tan cot tan

sec

cot

csc

1

1

2

2

1 2

2

 arctan   arcsin  

1

∫

1

2

2

1 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

∫ arcsin ∫ arccos ∫ arctan ∫ sinh ∫ cosh

     

∫

∫

arccos arctan

cosh sinh

N. Sousa, ESAC, 04-09-2008

2

1 1 1 2

log(1

2 2

)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

,

log

log

sin

cos

cos

0

sin

tan

log cos

cot

log sin

sec

log sec

tan

csc

log csc

cot

sec2

tan

csc 2

cot

sec tan

sec

csc cot

csc 1

2

2

2

2

 arctan    arcsin  1

∫

1 log 2 arcsin

1 log

∫

  arc sec    

1

log

∫

0

log

2

∫

,

,

1

∫ ∫

1 log

2

1

∫

1

log

∫ log ∫ sin ∫ cos ∫ tan ∫ cot ∫ sec ∫ csc ∫ sec ∫ csc ∫ sec ∫ csc

∫

,

1

∫

∫

Generalização

1

2

2

2

2

     

  arc sec    

1 log 2

arcsin

arcsin

arccos

arccos

arctan

arctan

sinh

cosh

cosh

sinh

2

1 1 1 2

log(1

2 2

)

Técnicas de integração Integração por partes:

∫

Integração por substituição:

∫

( ) ( )

∫

Divisão de polinómios: Sejam ( ), ( ), ( Então

∫

( ) ( )

∫

∫

( )

()

()

,

()

grau e grau < grau . ), ( ) polinómios em , com grau ( ) ( ) . Para efectuar a divisão, utiliza-se o ‘algoritmo de ( )

∫

divisão longa’ (por vezes também chamado de Regra de Ruffini). Para informação sobre este algoritmo, consultar http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division (em inglês). Fracções racionais:

( ), ( ) polinómios em

Sejam

sem raízes comuns. Para reescrever a fracção

( ) ( )

como soma de fracções mais simples, faça-se: 1. Achar as raízes de e suas muliplicidades 2. Por cada raíz real , de multiplicidade , adicionar termos 3. Por cada raíz complexa 1

1 2

(

2

(

)2

⋯ (

)

, de multiplicidade , adicionar termos

2

)2

(

1

2

)

2

2

⋯

2

)2

(

2

4. Calcular os coeficientes , e igualando as expressões 2. + 3. à fracção original (método dos coeficientes indeterminados). Para mais informação, consultar http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction (em inglês). Algumas funções sem primitiva elementar:

cos

,

sin

2

,

,

1 , log

,

sin , log

1 , arcsin arcsin

Algumas fórmulas úteis Funções hiperbólicas

sinh

2

, cosh

2

,

tanh

sinh , coth cosh

Fórmulas trigonométricas

Fórmulas hiperbólicas

sin2 sin2 cos 2

cosh2 sinh2 cosh 2

cos2 1 2sin cos cos2 sin2 1 cos 2 sin2 2 1 cos 2 cos 2 2 cos sin

N. Sousa, ESAC, 04-09-2008

sinh 2 1 2 sinh cosh cosh2 sinh2 1 cosh 2 sinh2 2 1 cosh 2 cosh2 2 cosh sinh

cosh sinh...