Tablas def1 - Tabla de primitivas PDF

Preview

Summary

Tabla de primitivas...

Description

TABLA DE PRIMITIVAS Integrales inmediatas

Integrales de funciones compuestas

Funciones potenciales

R

xn dx =

xn+1 +C n+1

R

n 6= −1

u′ un dx =

un+1 + C, n+1

n 6= −1

Funciones exponenciales

R R

ex dx = ex + C,

ax dx =

R

ax +C ln a

R

u′ eu dx = eu + C

u′ au dx =

au +C ln a

Funciones logar´ıtmicas

R u′ dx = ln |u| + C u

R 1 dx = ln |x| + C, x Funciones trigonom´ etricas

R

R R

R R

R

R

sec x dx = ln | sec x + tan x| + C R

cosec x dx = ln | cosec x − cot x| + C,

R

u′ tan u dx = − ln | cos u| + C

R

cot x dx = ln | sin x| + C

R

u′ cos u dx = sin u + C

R

cos x dx = sin x + C

tan x dx = − ln | cos x| + C

R

u′ sin u dx = − cos u + C

R

sin x dx = − cos x + C

1 dx = tan x + C, cos2 x

u′ cot u dx = ln | sin u| + C

u′ sec u dx = ln | sec u + tan u| + C

u′ cosec u dx = ln | cosec u − cot u| + C R

1 dx = − cot x + C, sin2 x

R

1

u′ dx = tan u + C cos2 u

u′ dx = − cot u + C sin2 u

Funciones trigonom´ etricas inversas

R R

arcsin x dx =

√ 1 − x2 + x arcsin x + C,

R

√ arc cos x dx = − 1 − x2 + x arc cos x + C,

R

arctan x dx = x arctan x −

1 ln(1 + x2 ) + C, 2

R

arctan x dx = x arctan x −

1 ln(1 + x2 ) + C, 2

1 dx = a2 + x2

R

1 a

R

arctan xa + C,

√ 1 − u2 + x arcsin u + C

√ u′ arc cos u dx = − 1 − u2 + x arc cos u + C

R

u′ arctan u dx = u arctan u −

1 ln(1 + u2 ) + C 2

R

u′ arctan u dx = u arctan u −

1 ln(1 + u2 ) + C 2

R

1 √ dx = arcsin xa + C, a2 − x2

R

u′ arcsin u dx =

u′ dx = a2 + u2

1 a

arctan ua + C

u′ √ dx = arcsin ua + C a2 − u2

R

Funciones hiperb´ olicas

R

sinh x dx = cosh x + C,

R

u′ sinh u dx = cosh u + C

R

cosh x dx = sinh x + C,

R

u′ cosh u dx = sinh u + C

R

tanh x dx = ln | cosh x| + C,

R

u′ tanh u dx = ln | cosh u| + C

R

coth x dx = ln | sinh x| + C,

R

u′ coth u dx = ln | sinh u| + C

R R R R

1 dx = tanh x + C, cosh2 x

R

1 dx = − coth x + C, sinh2 x

R

√ 1 √ dx = ln |x + x2 − a2 | + C = arg cosh ax + C 2 2 x −a √ 1 √ dx = ln |x + x2 + a2 | + C = arg sinh ax + C x2 + a2

2

R R

u′ cosh2 u

dx = tanh u + C

u′ dx = − coth u + C sinh2 u

√ u′ √ dx = ln |u + u2 − a2 | + C = arg cosh ua + C 2 2 u −a √ u′ √ dx = ln |u + u2 + a2 | + C = arg sinh ua + C u2 + a2

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

tn ,

f (t)

F(s)

f (t)

1

1 ,s>0 s

sin bt − bt cos bt,

eat

1 ,s>a s−a

t sin bt,

n = 1, 2, · · ·

eat tn ,

x

n = 1, 2, · · ·

n! sn+1

,s>0

sin bt + bt cos bt,

n! ,s>a (s − a)n+1

t cos bt,

eat − ebt ,

a−b , (s − a)(s − b)

s > max{a, b}

sin bt cosh bt − cos bt sinh bt,

aeat − bebt ,

(a − b)s , (s − a)(s − b)

s > max{a, b}

sin bt sinh bt

√ t, 1 √ , t sin bt,

√ π ,s>0 2s3/2 √ π √ ,s>0 s

s2

b ,s>0 + b2

cos bt,

s ,s>0 s2 + b2

eat sin bt,

b ,s>a (s − a)2 + b2

eat cos bt,

s−a ,s>a (s − a)2 + b2

sinh bt,

b ,s>b s2 − b2

cosh bt,

s ,s>b s2 − b2

3

F(s)

(s2

2b3 + b2 )2

2bs (s2 + b2 )2 2bs2 + b2 )2

(s2

s2 − b2 (s2 + b2 )2

s4

4b3 + 4b4

2b2 s s4 + 4b4 2b3 − b4

sinh bt − sin bt

s4

cosh bt − cos bt

2b2 s s4 − b4

Funci´on escal´on: u(t − a)

e−as ,s>0 s

Funci´on delta de Dirac: δ(t − a)

e−as , a ≥ 0

Propiedades de la transformada de Laplace (1) Linealidad. Si a y b son constantes, entonces L{a f (t) + b g(t)} = a L{f (t)} + b L{g(t)}

(1)

para todo s tal que las transformadas de Laplace de las funciones f y g existan a la vez. (2) Propiedad de la traslaci´ on. Si la transformada de Laplace L{f } = F (s) existe para s > α, entonces L{eat f } = F (s − a) para s > α + a. (3) Transformada de Laplace de la derivada primera y segunda. Sea f (t) continua a trozos en [0, +∞[, siendo ambas de orden exponencial α. Entonces, para s > α, L{f ′ } = s L{f } − f (0). L{f ′′ } = s2 L{f } − sf (0) − f ′ (0). (4) Transformada de Laplace de derivadas de orden mayor. Sean f, f ′ · · · , f (n−1) continuas en [0, +∞[ y f (n) continua a trozos en [0, +∞[, siendo todas estas funciones de orden exponencial α. Entonces, para s > α, L{f (n) } = sn L{f } − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − · · · − f (n−1)(0). (5) Derivada de la transformada de Laplace. Sea L{f } = F (s) y supongamos que f es continua a trozos en [0, +∞[ y de orden exponencial α. Entonces, para s > α L{tn f (t)} = (−1)n

d n F (s) dsn

siendo F (s) = L{f (t)}. (6) Transformada de la integral. Si L{f (t)} = F (s), entonces  Z t F (s) f (u) du = L , s 0

(2)

o en forma equivalente, −1

L



F (s) s



=

Z

t

f (u) du.

(3)

0

(7) Propiedad de desplazamiento. Si F (s) = L{f (t)} existe para s > α, entonces L{u(t − a) f (t − a)} = e−as F (s)

(4)

existe para s > a + α. An´alogamente, L−1 {e−as F (s)} = u(t − a) f (t − a), siendo u(t − a) la funci´on escal´on de Heaviside.

4

(5)

´ RELACIONES TRIGONOM ETRICAS

sin(m + n) = sin m cos n + cos m sin n.

sin(m − n) = sin m cos n − cos m sin n. cos(m + n) = cos m cos n − sin m sin n. cos(m − n) = cos m cos n + sin m sin n. sin(2m) =2 sin m cos m. cos(2m) = cos2 m − sin2 m = 1 − 2 sin2 m = 2 cos2 m − 1.

sin m cos n =

1 [sin(m + n) + sin(m − n)] . 2

1 cos m cos n = [cos(m + n) + cos(m − n)] . 2 1 sin m sin n = [cos(m − n) − cos(m + n)] . 2

5

TRIGONOMETRIA Y SERIES DE FOURIER EN [0,L] Ceros de senos y cosenos Si α > 0, se tiene que sen (α) = 0 ⇔ α = nπ, n = 1, 2, . . . cos(α) = 0 ⇔ α =

(2n−1)π , 2

n = 1, 2, . . .

cos(nπ) = (−1)n n = 1, 2, . . .,   1)π sen (2n− = (−1)n+1 n = 1, 2, . . . 2 Coeficientes: Si pn =

nπ L

o pn =

Si f (x) =

A

0

2

+

(2n−1)π , 2

 P+∞ n=1

se tiene que:

An cos(pn x) entonces An =

Si f (x) =

P+∞

n=1

2 L

Z

L

2 L

Z

L

f (x) cos(pn x) dx

0

Bn sen (pn x) entonces Bn =

f (x) sen (pn x) dx

0

Funciones ortogonales

Z

L

Z

L

mπ nπ x) dx = cos( x) · cos( L L

( 0, n 6= m L , n=m 2

Z

L

mπ nπ x) dx = sin( x) · sin( L L

( 0, n 6= m L, n = m 2

cos(

0

0

0

nπ x) dx = 0 L

6...