Tabulación y logaritmo natural PDF

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Retroalimentación de la integración por partes y solución a dos ejercicios paso a paso...

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27-mayo-2020 A medida que adquiera experiencia en el uso de la integración por partes, aumentará su habilidad en la determinación de 𝑢 y 𝑑𝑣. El siguiente resumen muestra varias integrales comunes con sugerencias para la elección de 𝑢 y 𝑑𝑣. Resumen: integrales comunes utilizando integración por partes 1. Para integrales de la forma: ∫ 𝑥 𝑛 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥, ∫ 𝑥 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 o ∫ 𝑥 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥 2. Para integrales de la forma: ∫ 𝑥 𝑛 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥, ∫ 𝑥 𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 o ∫ 𝑥 𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 3. Para integrales de la forma: ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 𝑑𝑥 o ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 o cos 𝑏𝑥 y sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 . En problemas que implican la aplicación repetida de la integración por partes, un método tabular, ilustrado en el ejemplo 20, puede ayudar a organizar el trabajo. Este método funciona bien para integrales de la forma: ∫ 𝑥 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 , ∫ 𝑥 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥 y ∫ 𝑥 𝑛 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥

Ejemplo 20 Usar el método tabular Encuentre: ∫ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑑𝑥 Solución: Comience como es costumbre haciendo 𝑢 = 𝑥 2 y 𝑑𝑣 = 𝑣′𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑑𝑥 . A continuación, genere una tabla con tres columnas, como se muestra. La solución se obtiene mediante la adición de los productos con el signo de los elementos diagonales:

27-mayo-2020 Signos alternados + -

𝒖 y sus derivadas 𝑥2 2𝑥

+

2

-

0 Derive hasta que obtenga 0 como una derivada

𝒗′ y sus derivadas 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 4 1 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 16 1 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 64

La solución se obtiene mediante la adición de los productos con el signo de los elementos diagonales: 1 1 1 ∫ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 + 𝐶 32 4 8 Integración de la función logaritmo natural Con las reglas de derivación: 𝑑 1 [𝑙𝑛 |𝑥|] = 𝑑𝑥 𝑥

y

𝑑 𝑢′ [𝑙𝑛 |𝑢|] = 𝑢 𝑑𝑥

Que se estudió anteriormente se obtiene la siguiente regla de integración. Teorema 6. Regla de integración de logaritmos Sea 𝑢 una función derivable de 𝑥 :

1 𝟏. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 |𝑥| + 𝐶 𝑥

como: ∫

1 𝟐. ∫ 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 |𝑢| + 𝐶 𝑢

Debido a que 𝑑𝑢 = 𝑢 ′𝑑𝑥 , la segunda fórmula también se puede escribir

𝑢′ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 |𝑢| + 𝐶 𝑢

Forma alternativa de la regla de integración de logaritmos

Ejemplo 21 Usar la regla de integración de logaritmos 2 1 ∫ 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥

= 2 ln|𝑥| + 𝐶

Regla del múltiplo constante Regla de integración de logaritmos

27-mayo-2020 = 𝑙𝑛(𝑥 2 ) + 𝐶

Propiedad de los logaritmos

Debido a que 𝑥 2 no puede ser negativa, la notación de valor absoluto es innecesaria en la forma final de la antiderivada....