Taller Corte uno preparcial-2020 primer corte PDF

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puntos de calculo integral
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Departamento de Ciencias Básicas Coordinación Curricular

ÁREA: MATEMÁTICAS

ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL CÓDIGO: CB01015

Taller Corte 1: Integral definida, indefinida y aplicaciones Introducción: El cálculo integral representa la sumatoria de una función a través de la integral. En esta actividad se presentan los conceptos teóricos, sus aplicaciones y problemas de integral definida, a través de los diferentes métodos, como son: de sustitución, teorema fundamental del cálculo e integral definida aplicada a áreas. Es importante verificar las respuestas de los ejercicios de este taller con software libre o aplicaciones para celulares (m-learning), de manera individual o grupal (aprendizaje colaborativo). Utilice wólframAlpha, Wolfram Matemática, Derive, SYmbolab, GeoGebra, Mathway Maple o calculadoras virtuales. Objetivos / competencias El cálculo integral, es una continuidad del cálculo infinitesimal, teniendo en cuenta que el estudiante tiene competencias del cálculo diferencial, como conocimientos previos para lograr las siguientes competencias: ✓ Formula y resuelve problemas que involucran integrales aplicando diferentes métodos. ✓ Utiliza la tecnología para la solucionar y verificar ejercicios y problemas de aplicación del cálculo integral. ✓ Aplica las fórmulas fundamentales, las técnicas de integración y los teoremas propios del cálculo integral para dar solución a situaciones problema en contextos de la disciplina y de la vida real. ✓ Resuelve la integral de una función o problema contextualizado en la disciplina o campo profesional. ✓ Interpreta el significado geométrico y analítico de la integral definida teniendo en cuenta sus propiedades para la solución de ejercicios y problemas.

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Aspectos a evaluar: Los estudiantes deben realizar procedimientos y estrategias matemáticas para dar solución a las integrales de funciones y a los problemas planteados, de tal manera el estudiante adquiera habilidades y desarrolle las técnicas de integración y resuelv problemas a través del análisis y razonamiento matemático. Contenido: Ejercicios del libro guía que usted debe realizar. El libro guía Cálculo de Stewart, Volumen 1, octava edición se encuentra en línea en la biblioteca de la Universidad, en el siguiente link: https://www-ebooks7-24-com.ucatolica.basesdedatosproxy.com/stage.aspx?il=&pg=&ed=272

ANTIDERIVADA – INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA. Página 399. Ejercicios 1,2 y 3 Página 400. Ejercicios 21, 23, 25, 27, 31, 33, 38, 39, 41, 44, 48 Página 400. Ejercicios 55 al 58. Página 408 - 409. Los ejercicios pares del 2 al 46 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE. Página 418. Los ejercicios impares del 7 al 48. Página 422. Los ejercicios pares del 11 al 40. INTEGRAL DEFINIDA Y AREA BAJO LA CURVA. Página 389. Ejercicios 33 y 34. Página 390. Ejercicios del 35 al 40. Página 390. Ejercicios 51,52 y 53. Página 409. Ejercicios 49, 50, 59, 60, 61 y 62

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Página 418. Ejercicio 179 Página 420. Ejercicios 85,86 y 88. Página 430. Ejercicios 1, 2 ,3, 4, 6, 8, 11,13,14,17 y 23 Problemas de aplicación: 1. Utilice integrales definidas para encontrar el área de la región sombreada en cada una de las gráficas, llevando a cabo el proceso que se describe: • Identifique la función que describe la curva que observa, si es posible escriba la ecuación de ella. • Identifique los límites de la curva necesarios para plantear la integral definida. • Plantee la integral o integrales necesarias para calcular el área. • Resuelva las integrales. Y 8 6 4 2 −8 −6 − 4 −2 −2

2

4

−4 −6

Gráfica 1

Gráfica 2

6

8

X

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2. La gráfica adjunta nos da la potencia eléctrica que hay en funcionamiento en una vivienda, a cada instante, entre las 7 de la mañana y las 12 de la noche.

Adaptado:https://www.matematicasonline.es/almacen/2_BCCNN/fichas1/13.La%20integral%20definida.Aplicaciones_sol.pdf

• Interprete que significancia tiene el área bajo la curva. Utilice una explicación desde lo cotidiano. • Si un cuadrito equivale a 0,1 kWh, ¿cuál es el consumo de energía aproximado en estas 17 horas?

APLICACIÓN EN CINEMÁTICA.

Una de las muchas aplicaciones que tiene la integral definida es el cálculo de la distancia recorrida por una partícula con velocidad variable en el tiempo. Si conocemos la velocidad de la partícula en todo momento entonces podemos calcular su posición y la distancia recorrida por la misma, después de haber transcurrido un intervalo de tiempo. La mecánica clásica, es la rama de la física

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que estudia las leyes del movimiento (cambios de posición) de los cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. La rapidez y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia una partícula su posición en función del tiempo. Son ejemplo de movimientos, el de caída libre y el movimiento vertical, el movimiento de los cuerpos en caída libre (por la acción de su propio peso) es una forma del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En el vacío el movimiento de caída es de aceleración constante, siendo dicha aceleración la misma para todos los cuerpos, independientemente de cuales sean su forma y su peso. La aceleración en los movimientos de caída libre, conocida como aceleración de la gravedad, se representa por la letra g y toma un valor aproximado de 9,81 m/s2. Algunos datos importantes para resolver estos problemas: • cuando se informa que “Un objeto se deja caer” la velocidad inicial será siempre igual a cero. • en cambio, cuando se informa que “un objeto se lanza” la velocidad inicial será siempre diferente a cero y en la altura máxima alcanzada por el objeto que se lanza, la velocidad final es cero. • La aceleración se toma

porque nuestro sistema de referencia

tiene la dirección hacia el centro de la tierra como negativo. Teniendo en cuenta los conceptos anteriores y lo estudiado por usted en física mecánica, resuelva las siguientes situaciones:

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3. Se deja caer una piedra desde el edificio más alto del mundo (Burj Khalifa), este tiene una altura de 828 m. Siempre y cuando la resistencia del aire se pueda despreciar, determine: a. La distancia de la piedra al piso en el momento t. b. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo? c. ¿Con qué velocidad llega al suelo? m , ¿cuánto d. Si se lanza la piedra hacia abajo con una velocidad de 5 seg

tarda en llegar al suelo? 4. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo largo de una línea recta con una aceleración al tiempo t dada por a (t ) = (12t − 4 ) tenía una velocidad de 8

pies . En el tiempo t = 0 la lancha seg 2

pies y se encontraba a 15 pies del muelle. Calcule la seg

distancia de la lancha s (t ) al embarcadero al cabo de t seg. 5. Un joven que juega con sus amigos, lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 30 m/s, desde el suelo de la terraza de un edificio de 60 m de altura. Determine: a. ¿Cuál es la velocidad del objeto en cualquier instante de tiempo t? b. ¿Qué tiempo tarda la pelota en alcanzará su altura máxima? c. ¿Cuándo choca la pelota contra el suelo? d. ¿Cuál es la velocidad y la rapidez de choque de la pelota contra el suelo? 6. Exprese la función de posición de un móvil sabiendo que su aceleración es constante de 8 cm/s2, que su velocidad es 0 cuando t = 3 y que está en el origen a los 11 segundos.

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ENERGÍA.

El concepto de trabajo sirve a los ingenieros para conocer cuánta energía es necesaria en la realización de cierta tarea, por ejemplo, cuando una grúa eleva una viga de hierro o cuando un camión transporta una carga. Se realiza un trabajo bajo el concepto de la física, cuando una fuerza desplaza una distancia d, al objeto en la misma dirección de la fuerza. Si esta fuerza es constante el trabajo simbolizado por W, se define como W=F*d, sin embargo, cuando la fuerza aplicada al objeto no es constante se recurre al cálculo integral para calcularla:

Teniendo en cuenta el concepto de trabajo, resuelva las siguientes situaciones: 7. Una partícula se mueve a lo largo del eje horizontal debido a la acción de una fuerza de F en newtons, cuando la partícula está a x metros del origen. Si F(x) = x2 -2x-3, calcule el trabajo realizado conforme la partícula se mueve del punto donde x = 2 hasta el punto donde x = 4. 8. En la siguiente figura se encuentra un cuerpo en reposo sobre una superficie plana. Debido a la acción de una fuerza variable y continua cuya magnitud está dada en newtons, el cuerpo se desplaza en línea recta desde la posición a hasta la posición b. Considerando que no existe fuerza de rozamiento entre la superficie y el cuerpo, y que la fuerza actúa en el sentido del movimiento de éste, ¿cuál es el trabajo que realiza la fuerza f para desplazar el cuerpo? Escoja usted 3 fuerzas f distintas y posibles y resuelva la situación para cada caso. Justifique su decisión en la escogencia de f.

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Figura tomada de:http://canek.uam.mx/Integral/Cap03.Aplicaciones/3.5.Trabajo/FTTrabajo.pdf

9. En la siguiente figura se muestra el resorte en tres momentos diferentes: con su longitud natural, estirado 3 cm y estirado 6 cm

Figura tomada de:http://canek.uam.mx/Integral/Cap03.Aplicaciones/3.5.Trabajo/FTTrabajo.pdf

Un resorte con una longitud natural de 8 cm se encuentra suspendido por uno de sus extremos. Al aplicar una fuerza F de 45 N el resorte se alarga 3 cm. ¿Cuál es la energía necesaria (trabajo) para estirar el resorte 3 cm más? Consulte y utilice la ley de Hooke.

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10. Desde un tanque de almacenamiento fluye agua a una razón de litros por minuto, para un periodo de una hora. Determine • Variables involucradas en el proceso • Rapidez inicial • Velocidad con que fluye el agua a los 25 minutos • En qué instante la rapidez es nula • la cantidad de agua que sale del tanque durante 30 minutos.

Bibliografia: Algunos ejercicios escogidos y adaptados de: Stewart, J. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Octava Edición. Cengage Learning/ 2018 Thomas, F. Cálculo de una variable. Decimo segunda edición. Editorial Pearson. 2015. Zill, D. Cálculo. Trascendentes tempranas. Cuarta edición. Editorial Mc Graw Hill. 2011...