Taller - TEORÍA DE COLAS: LINEAS DE ESPERA Y LEY DE LITTLE PDF

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES IITEORÍA DE COLAS: LINEAS DE ESPERA Y LEY DE LITTLEPRESENTADO POR:BETSY LILIANA LAMBRAÑO MONTERROZAJORGE LUIS MUSLACO NAVARROPRESENTADO A:ING. MSC. MARIO FRANK PÉREZ PÉREZCORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE CECARFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIA Y ARQUITECTURAPRO...

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

TEORÍA DE COLAS: LINEAS DE ESPERA Y LEY DE LITTLE

PRESENTADO POR: BETSY LILIANA LAMBRAÑO MONTERROZA JORGE LUIS MUSLACO NAVARRO

PRESENTADO A: ING. MSC. MARIO FRANK PÉREZ PÉREZ

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE CECAR FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE INGENIRIA INDUSTRIAL SINCELEJO – SUCRE 2020

Investigación de operaciones II Facultad de ciencias básicas, ingeniería y arquitectura

INVESTIGACION DE OPERACIONES II TEORÍA DE COLA SISTEMA DE LINEAS DE ESPERA 

Se calcula el tiempo de espera de los clientes en la cola mientras llegan al punto de atención. λ →lambda λ=llegadas , arribos λ=



clientes tiempo

Se calcula el tiempo que demora el cliente mientras es atendido por los asesores. μ →miu μ=

cliente tiempo

Llegadas Tasas de arribo o tasas de llegadas y se realiza el análisis mediante datos estadísticos y la distribución de Poisson. P (x )= x

x

−λ

λ e con x=0, 1, 2… x!

= número de llegadas en un periodo de tiempo,

λ=¿ Promedio de llegadas por periodo de tiempo,

e → constante de Euler e=2,71828

Investigación de operaciones II Facultad de ciencias básicas, ingeniería y arquitectura Ejercicio: suponga que Burger Dome analizo los datos sobre llegadas de clientes y concluyo que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora. Durante un periodo de un minuto, la tasa de llegadas seria

λ=0,75 clientes / minuto . Así, podemos utilizar la siguiente función de

probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de

llegadas de clientes durante un

x

periodo de un minuto. Conversión de horas a minutos. =60 minutos ( 601minutos hora )

1 hora=

λ=

clientes 45 = tiempo 60

λ=0,75 

clientes minuto

Ecuación de probabilidad de Poisson P (x )=

λ x e−λ x! e− λ

λx

X!

λ x e− λ

SOLUCION

0,4724

0,47236679

0,4724

0,35427509 3 0,26570632

0,47236679 1 0,35427509 3 0,13285316

ID

PROBABILIDAD

λ

X

e

1

p(0)

0,75

0

2,71828

1

1

2

p(1)

0,75

1

2,71828

1

0,75

3

p(2)

0,75

2

2,71828

2

0,5625

0,4724

4 5

p(3) p(4)

0,75 0,75

3 4

2,71828 2,71828

6 24

0,421875 0,31640625

0,4724 0,4724

6

p(5)

0,75

5

2,71828

120

0,237304688

0,4724

7

p(6)

0,75

6

2,71828

720

0,177978516

0,4724

8

p(7)

0,75

7

2,71828

5040

0,133483887

0,4724

9

p(8)

0,75

8

2,71828

40320

0,100112915

0,4724

10

p(9)

0,75

9

2,71828

362880

0,075084686

0,4724

11

p(10)

0,75

10

2,71828

3628800

0,056313515

0,4724

12

p(11)

0,75

11

2,71828

39916800

0,042235136

0,4724

13

p(12)

0,75

12

2,71828

479001600

0,031676352

0,4724

14

p(13)

0,75

13

2,71828

6227020800

0,023757264

0,4724

0,19927974 0,14945980 5 0,11209485 4 0,08407114 0,06305335 5 0,04729001 6 0,03546751 2 0,02660063 4 0,01995047 6 0,01496285 7 0,01122214 3

0,03321329 0,00622749 2 0,00093412 4 0,00011676 5 1,25106E-05 1,17287E-06 9,7739E-08 7,33042E-09 4,99801E-10 3,12376E-11 1,80217E-12

Investigación de operaciones II Facultad de ciencias básicas, ingeniería y arquitectura

15

p(14)

0,75

14

2,71828

87178291200

0,017817948

0,4724

16

p(15)

0,75

15

2,71828

1,30767E+12

0,013363461

0,4724

17

p(16)

0,75

16

2,71828

2,09228E+13

0,010022596

0,4724

18

p(17)

0,75

17

2,71828

3,55687E+14

0,007516947

0,4724

19

p(18)

0,75

18

2,71828

6,40237E+15

0,00563771

0,4724

20

p(19)

0,75

19

2,71828

1,21645E+17

0,004228283

0,4724

21

p(20)

0,75

20

2,71828

2,4329E+18

0,003171212

0,4724

22

p(21)

0,75

21

2,71828

5,10909E+19

0,002378409

0,4724

23

p(22)

0,75

22

2,71828

1,124E+21

0,001783807

0,4724

24

p(23)

0,75

23

2,71828

2,5852E+22

0,001337855

0,4724

25

p(24)

0,75

24

2,71828

6,20448E+23

0,001003391

0,4724

26

p(25)

0,75

25

2,71828

1,55112E+25

0,000752543

0,4724

27

p(26)

0,75

26

2,71828

4,03291E+26

0,000564408

0,4724

28

p(27)

0,75

27

2,71828

1,08889E+28

0,000423306

0,4724

29

p(28)

0,75

28

2,71828

3,04888E+29

0,000317479

0,4724

30

p(29)

0,75

29

2,71828

8,84176E+30

0,000238109

0,4724

31

p(30)

0,75

30

2,71828

2,65253E+32

0,000178582

32 33 34 35

p(31) p(32) p(33) p(34)

0,75 0,75 0,75 0,75

31 32 33 34

2,71828 2,71828 2,71828 2,71828

8,22284E+33 2,63131E+35 8,68332E+36 2,95233E+38

0,000133937 0,000100452 7,53393E-05 5,65045E-05

36

p(35)

0,75

35

2,71828

1,03331E+40

37 38 39 40

p(36) p(37) p(38) p(39)

0,75 0,75 0,75 0,75

36 37 38 39

2,71828 2,71828 2,71828 2,71828

3,71993E+41 1,37638E+43 5,23023E+44 2,03979E+46

41 42 43

p(40) p(41) p(42)

0,75 0,75 0,75

40 41 42

2,71828 2,71828 2,71828

44 45

p(43) p(44)

0,75 0,75

43 44

46 47 48

p(45) p(46) p(47)

0,75 0,75 0,75

49 50 51 52

p(48) p(49) p(50) p(51)

53 54 55 56

0,00841660 7 0,00631245 5 0,00473434 1 0,00355075 6 0,00266306 7 0,0019973

9,65448E-14 4,82724E-15 2,26277E-16 9,9828E-18 4,1595E-19 1,64191E-20

0,4724

0,00149797 5 0,00112348 1 0,00084261 1 0,00063195 8 0,00047396 9 0,00035547 7 0,00026660 7 0,00019995 6 0,00014996 7 0,00011247 5 8,43562E-05

3,18022E-37

0,4724 0,4724 0,4724 0,4724

6,32672E-05 4,74504E-05 3,55878E-05 2,66908E-05

7,69408E-39 1,8033E-40 4,09841E-42 9,04061E-44

4,23784E-05

0,4724

2,00181E-05

1,93727E-45

3,17838E-05 2,38378E-05 1,78784E-05 1,34088E-05

0,4724 0,4724 0,4724 0,4724

1,50136E-05 1,12602E-05 8,44515E-06 6,33386E-06

4,03599E-47 8,18105E-49 1,61468E-50 3,10516E-52

8,15915E+47 3,34525E+49 1,40501E+51

1,00566E-05 7,54244E-06 5,65683E-06

0,4724 0,4724 0,4724

4,7504E-06 3,5628E-06 2,6721E-06

5,82217E-54 1,06503E-55 1,90184E-57

2,71828 2,71828

6,04153E+52 2,65827E+54

4,24262E-06 3,18197E-06

0,4724 0,4724

2,00407E-06 1,50306E-06

3,31716E-59 5,65426E-61

45 46 47

2,71828 2,71828 2,71828

1,19622E+56 5,50262E+57 2,58623E+59

2,38647E-06 1,78986E-06 1,34239E-06

0,4724 0,4724 0,4724

1,12729E-06 8,45469E-07 6,34101E-07

9,42376E-63 1,53648E-64 2,45183E-66

0,75 0,75 0,75 0,75

48 49 50 51

2,71828 2,71828 2,71828 2,71828

1,24139E+61 6,08282E+62 3,04141E+64 1,55112E+66

1,00679E-06 7,55096E-07 5,66322E-07 4,24741E-07

0,4724 0,4724 0,4724 0,4724

4,75576E-07 3,56682E-07 2,67512E-07 2,00634E-07

3,83099E-68 5,86376E-70 8,79564E-72 1,29348E-73

p(52) p(53) p(54)

0,75 0,75 0,75

52 53 54

2,71828 2,71828 2,71828

8,06582E+67 4,27488E+69 2,30844E+71

3,18556E-07 2,38917E-07 1,79188E-07

0,4724 0,4724 0,4724

1,50475E-07 1,12856E-07 8,46423E-08

1,86559E-75 2,63999E-77 3,66665E-79

p(55)

0,75

55

2,71828

1,26964E+73

1,34391E-07

0,4724

6,34817E-08

4,99998E-81

6,15715E-22 2,19898E-23 7,49653E-25 2,44452E-26 7,63913E-28 2,29174E-29 6,61079E-31 1,83633E-32 4,91874E-34 1,27209E-35

Investigación de operaciones II Facultad de ciencias básicas, ingeniería y arquitectura

57 58 59

p(56) p(57) p(58)

0,75 0,75 0,75

56 57 58

2,71828 2,71828 2,71828

7,10999E+74 4,05269E+76 2,35056E+78

1,00793E-07 7,55948E-08 5,66961E-08

0,4724 0,4724 0,4724

4,76113E-08 3,57085E-08 2,67814E-08

6,6964E-83 8,81105E-85 1,13936E-86

60 61 62

p(59) p(60) p(61)

0,75 0,75 0,75

59 60 61

2,71828 2,71828 2,71828

1,38683E+80 8,32099E+81 5,0758E+83

4,25221E-08 3,18916E-08 2,39187E-08

0,4724 0,4724 0,4724

2,0086E-08 1,50645E-08 1,12984E-08

1,44834E-88 1,81042E-90 2,22593E-92

63 64 65

p(62) p(63) p(64)

0,75 0,75 0,75

62 63 64

2,71828 2,71828 2,71828

3,147E+85 1,98261E+87 1,26887E+89

1,7939E-08 1,34543E-08 1,00907E-08

0,4724 0,4724 0,4724

8,47379E-09 6,35534E-09 4,76651E-09

2,69266E-94 3,20555E-96 3,7565E-98

66 67 68

p(65) p(66) p(67)

0,75 0,75 0,75

65 66 67

2,71828 2,71828 2,71828

8,24765E+90 5,44345E+92 3,64711E+94

7,56802E-09 5,67601E-09 4,25701E-09

0,4724 0,4724 0,4724

3,57488E-09 2,68116E-09 2,01087E-09

4,3344E-100 4,9255E-102 5,5136E-104

69 70 71 72

p(68) p(69) p(70) p(71)

0,75 0,75 0,75 0,75

68 69 70 71

2,71828 2,71828 2,71828 2,71828

2,48004E+96 1,71122E+98 1,1979E+100 8,5048E+101

3,19276E-09 2,39457E-09 1,79593E-09 1,34694E-09

0,4724 0,4724 0,4724 0,4724

1,50815E-09 1,13111E-09 8,48336E-10 6,36252E-10

6,0812E-106 6,61E-108 7,0821E-110 7,4811E-112

73

p(72)

0,75

72

2,71828

6,1234E+103

1,01021E-09

0,4724

4,77189E-10

7,7928E-114

74 75 76 77

p(73) p(74) p(75) p(76)

0,75 0,75 0,75 0,75

73 74 75 76

2,71828 2,71828 2,71828 2,71828

4,4701E+105 3,3079E+107 2,4809E+109 1,8855E+111

7,57656E-10 5,68242E-10 4,26182E-10 3,19636E-10

0,4724 0,4724 0,4724 0,4724

3,57892E-10 2,68419E-10 2,01314E-10 1,50986E-10

8,0063E-116 8,1145E-118 8,1145E-120 8,0077E-122

78 79 80 81

p(77) p(78) p(79) p(80)

0,75 0,75 0,75 0,75

77 78 79 80

2,71828 2,71828 2,71828 2,71828

1,4518E+113 1,1324E+115 8,9462E+116 7,1569E+118

2,39727E-10 1,79795E-10 1,34847E-10 1,01135E-10

0,4724 0,4724 0,4724 0,4724

1,13239E-10 8,49294E-11 6,3697E-11 4,77728E-11

7,7997E-124 7,4998E-126 7,12E-128 6,675E-130

82

p(81)

0,75

81

2,71828

5,7971E+120

7,58512E-11

0,4724

3,58296E-11

6,1806E-132

83 84 85 86

p(82) p(83) p(84) p(85)

0,75 0,75 0,75 0,75

82 83 84 85

2,71828 2,71828 2,71828 2,71828

4,7536E+122 3,9455E+124 3,3142E+126 2,8171E+128

5,68884E-11 4,26663E-11 3,19997E-11 2,39998E-11

0,4724 0,4724 0,4724 0,4724

2,68722E-11 2,01541E-11 1,51156E-11 1,13367E-11

5,653E-134 5,1081E-136 4,5608E-138 4,0242E-140

87 88 89 90

p(86) p(87) p(88) p(89)

0,75 0,75 0,75 0,75

86 87 88 89

2,71828 2,71828 2,71828 2,71828

2,4227E+130 2,1078E+132 1,8548E+134 1,6508E+136

1,79998E-11 1,34999E-11 1,01249E-11 7,59368E-12

0,4724 0,4724 0,4724 0,4724

8,50253E-12 6,3769E-12 4,78267E-12 3,587E-12

3,5095E-142 3,0254E-144 2,5785E-146 2,1729E-148

91 92

p(90) p(91)

0,75 0,75

90 91

2,71828 2,71828

1,4857E+138 1,352E+140

5,69526E-12 4,27145E-12

0,4724 0,4724

2,69025E-12 2,01769E-12

1,8107E-150 1,4924E-152

93 94 95

p(92) p(93) p(94)

0,75 0,75 0,75

92 93 94

2,71828 2,71828 2,71828

1,2438E+142 1,1568E+144 1,0874E+146

3,20358E-12 2,40269E-12 1,80202E-12

0,4724 0,4724 0,4724

1,51327E-12 1,13495E-12 8,51213E-13

1,2166E-154 9,8114E-157 7,8282E-159

96 97 98

p(95) p(96) p(97)

0,75 0,75 0,75

95 96 97

2,71828 2,71828 2,71828

1,033E+148 9,9168E+149 9,6193E+151

1,35151E-12 1,01363E-12 7,60226E-13

0,4724 0,4724 0,4724

6,3841E-13 4,78807E-13 3,59105E-13

6,1802E-161 4,8283E-163 3,7332E-165

99 100 101

p(98) p(99) p(100)

0,75 0,75 0,75

98 99 100

2,71828 2,71828 2,71828

9,4269E+153 9,3326E+155 9,3326E+157

5,70169E-13 4,27627E-13 3,2072E-13

0,4724 0,4724 0,4724

2,69329E-13 2,01997E-13 1,51498E-13

2,857E-167 2,1644E-169 1,6233E-171

Investigación de operaciones II Facultad de ciencias básicas, ingeniería y arquitectura

Probabilidad de llegadas de clientes a Boger Dome 0.48

0.38

Probabilidades

0.28

0.18

0.08

-0.02 1

5

9

13

17 21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

-0.12 Numero de clientes que ingresan

μ=1 c / min

λ=0.75 c /min 1. La probabilidad de que no haya unidades en el sistema λ μ 0.75 c/min Po=1− 1 c /min Po=0.25 c /min P0=1−

2. El mismo promedio de unidades en la línea de espera Lq =

λ2 μ(μ−λ)

Lq =

0.75 c/min2 1 c /min(1 c /min−0.75 c /min)

65

69

73

77

81

85

89

93

97 101

Investigación de operaciones II Facultad de ciencias básicas, ingeniería y arquitectura Lq=2.25 c /min 3. El número promedio de unidades en el sistema λ μ 0.75 c /min +¿ 1c /min L=2.25 c /min ¿ L=3 c /min 4. El tiempo promedio que la unidad pasa en la línea de espera L=Lq +

Wq=

Lq λ

W q=

2.25 c /min 0.75 c /min

W q =3 c /min 5. El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema 1 μ 1 W =3+ 1 c /min W =W q +

W =4 c /min

6. La probabilidad de que una unidad que llega no tenga que esperar a ser atendido λ μ 0.75 c /min Pw = 1 c /min Pw =

Pw=0,75 c /min 7. La probabilidad de que haya n unidades en el sistema

()

n

Pn =

λ PO μ

Investigación de operaciones II Facultad de ciencias básicas, ingeniería y arquitectura

0.75 c /min 1 ¿ × 0.25 c /min 1c /min Pn=¿ Pn ( 1 ) =0.1875 c /min 0.75 c /min 2 ¿ × 0.25 c /min 1c /min Pn=¿ Pn ( 2 ) =0.1406 c /min 0.75 c /min 3 ¿ ×0.25 c /min 1c /min Pn=¿ Pn ( 3 ) =0.1054 c /min 0.75 c /min 4 ¿ × 0.25 c /min 1c /min Pn =¿ Pn ( 4 )=0.079 c /min 0.75 c /min 5 ¿ ×0.25 c /min 1c /min Pn=¿ Pn ( 5 ) =0.059 c /min

1. Willow Brook National opera un cajero automático en el que los clientes realizan transacciones bancarias sin descender de sus automóviles. En las mañanas de días hábiles, las llegadas al autocajero ocurren al azar, con una tasa de llegadas de 24 clientes por hora o 0,4 clientes por minutos. a. ¿Cuál es la medida o el número esperado de clientes que llegará en un lapso de cinco minutos? b. Suponga que puede usarse la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegadas. Utilice la tasa de llegadas de la parte a) para calcular las probabilidades de que exactamente 0, 1, 2 y 3 clientes lleguen durante un lapso de cinco minutos.

Investigación de operaciones II Facultad de ciencias básicas, ingeniería y arquitectura c. ¿Se esperan demoras si más de tres clientes llegan durante cualquier lapso de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran demoras?

λ=

clientes 24 = tiempo 60

λ=0,4

clientes minuto

Solución a. λ λ t clientes esperados

24 0,4 5 2

Clientes/hora Clientes/minutos minutos clientes

b. 

Ecuación de probabilidad de Poisson P (x )=

λ x e−λ x!

ID

PROBABILIDA D

λ

X

e

X!

1

P(0)