TASSI EQUIVALENTI, TASSI NOMINALI PDF

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Appunti presi a lezione sui tassi equivalenti, tassi nominali , tasso nominale annuo....

Description

TASSI EQUIVALENTI r(t)=(1 + 𝑖)! à coerenza tra l’unità di misura del tempo e l’unità di misura temporale: i e t devono essere espressi sulla stessa base temporale( es: se la durata è espressa in anni anche il tasso), non possono essere diversi. Se il tempo e il tasso sono espressi su basi diverse bisogna esprimere il tempo sulla stessa base temporale del tasso oppure il contrario. Periodo unitario: rappresenta il periodo di tempo che viene preso come unità di misura. i,d àrappresentano il tasso di interesse e di sconto riferiti al periodo unitario

"

Periodo unitario che dividiamo in periodi pari a # |________|_______|________|_______|____________| 0 "

"

$

%

#&"

#

#

#

#

"

i #, d # %à tassi effettivi rispetto al periodo

P.U=1 anno m=2 m=3 m=4 m=6 m=12

" $ " %

=semestre

quadrimestre

" '

= trimestre

" (

= bimestre

" = "$

mese

1 " #

P.U= 1 semestre " $

=trimestre 𝑒𝑐𝑐..

"

Ricalcolare l’unità finanziaria secondo la nuova misura temporale (da 1 a ) #

|______________|____________|_____________|___________| 0

"

$

%

#

#

)#

1

2

3

t

tà 1 "

(divido t per la nuova unità di misura)

t’ à # t’=

! ! "

"

=𝑡∙𝑚

i’= i #

(ogni periodo lo dividiamo per m parti)

"

Calcolare il nuovo tasso effettivo i # à

r(t)=(1 + 𝑖)! "

r(tm)= r(t)=(1 + %i% # %)!# "

uguaglianza tra i due montanti: (1 + %i% %)!# =(1 + 𝑖)! equazione di equivalenza finanziaria # "

per il calcolo del tasso di interesse effettivo riferito ad un periodo unitario # "

i # à tasso equivalente del tasso effettivo i Tassi equivalenti: due tassi si dicono equivalenti quando applicati per periodi di tempo differenti ma ad uno stesso capitale iniziale per una stessa durata complessiva dell’operazione e allo stesso regime finanziario producono lo stesso montante. "

r(i #,tm) = r(i,t)

(il montante non varia)

In base al regime la funzione verrà applicata in modo diverso: -Regime finanziario della capitalizzazione composta "

(1 + %i% # %)!# =(1 + 𝑖)! !(1 + 𝑖 ")#"' !

#"

!

!

"

=( 1 + 𝑖)"

(1 + %i% # %) "

= [(1 + 𝑖)# ]"#

!

i # =(1 + 𝑖)" -1

!

!(1 + 𝑖 )#"' " = [ (1 + 𝑖)#] " "

!

!

i= (1 + 𝑖

! " ) -1 "

Supponiamo di avere dei periodi m più grandi rispetto al periodo unitario originario m>1 à t’= "

im à (1 + %i% %) # # " " #

+(1 + 𝑖 ) , " !

# "

! #

=(1 + 𝑖)!

= [(1 + 𝑖)# ] "

#

!

im=(1 + 𝑖𝑚) # -1 k à ik=(1 + 𝑖)$ -1 k=

!

à i" =(1 + 𝑖)# -1

!

!

"

k=m à 𝑖"=(1 + 𝑖)" -1

-Regime finanziario dell’interesse semplice !

r(𝑖 , tm) = r(i,t) "

1+ i

! "

tm= 1+i t

! !%&∙#(! &

i = "

#"

=

"

!

iài m "

ik= i∙ k k=

!

!

à i"

"

k=m à i m

Tassi di sconto equivalenti: due tassi di sconto si dicono equivalenti se riferiti a periodo di tempo diversi, ma applicati ad uno stesso capitale finale per uno stesso periodo complessivo dell’operazione finanziaria e nello stesso regime finanziario, producono lo stesso valore attuale. v( d " , 𝑡𝑚)= v(d,t) !

-Regime finanziario dello sconto commerciale !

1- d tm= 1-dt "

d = à d= d" ∙ 𝑚 !

)

!

" "

1-𝑑𝑚 " = 1-dt

m>1

#

dm= d∙ m d=

)" "

Tasso equivalente generico per k dk= d∙ m k=

! "

!

)

à d" ="

k= m à dm= d ∙ m

-Regime finanziario della capitalizzazione mista

(1 − 𝑑 )&% = (1 − 𝑑)& % $

! "#

'(1 − 𝑑 )&% ( % $

!

= [ (1 − 𝑑)& ] "# !

d % = +1−(1 − 𝑑)# $

"

dà d=1−%(1 − d )# #

m>1 à

t’=

! #

!

v(dm, #)= v(d,t) "

# "

'(1 − 𝑑 )# ( = [(1 − 𝑑)& ] % $

# "

dm= 1 – (1 − 𝑑)# !

d= 1- (1 − 𝑑𝑚) " dk= 1- (1 − d)* "

"

#

k= # à d#= 1- (1 − 𝑑)" k= m à dm= 1- (1 − d)#

TASSI NOMINALI (tassi d’interesse nominali≠ tassi d’interesse effettivi)

-Regime finanziario della capitalizzazione composta |__________|__________|__________|__________|______________| " $ % #&" # ….. 1=# # # # # Effettuiamo un’operazione di capitalizzazione investendo un’unità monetaria in t=0 per una durata +

pari a 1 e al tasso effettivo d’interesse i #: +

i# C=1 "

r(1)= (1 + 𝑖 # )# "

I(0,1)= (1 + 𝑖 # )# -1 = i à tasso effettivo annuo (grafico)

Ipotizziamo invece di essere nella stessa situazione precedente ma alla fine di ogni periodo Anziché reinvestire automaticamente l’interesse prodotto, questo interesse viene pagato:

C(0)=1 "

"

r(# )=%1 + 𝑖 # "

I(0,1)=%𝑖 # "

C(# )=1 $

"

r(# )=%1 + 𝑖 # " $

"

I( #,% # )= 𝑖 # $

C(# )=1 +

r(1)=1+m ∙i # I(0,1)= m ∙i

+ #

à J(m) tasso nominale annuo (pagabile m volte l’anno)

" #

TASSO NOMINALE ANNUO +

Serve per riportare su base annua il rendimento i # di operazioni finanziarie di investimento che prevedono il pagamento periodico degli interessi maturati. Esempi: v

cedole di titolo obbligazionario (operazione al tasso di J(m),m rappresenta la periodicità

infrannuale della cedola, quindi il numero di volte che l’interesse viene pagato all’investitore in un anno sotto forma di cedola). Se acquistiamo un BTP (titolo a cedola fissa emesso dallo stato che paga una cedola semestrale) sul rendimento ci viene fornito il tasso J(2)àdue cedole semestrali J(2)=4% "

i $= i

,($) $

=2%

Il tasso nominale annuo viene usato per annualizzare il tasso i

" $

, e si usa J(2) al posto del tasso " $

effettivo annuo i, perché usando la formula dei tassi equivalenti i=31 + 𝑖 4 -1 alla fine dell’anno il $ titolo renderebbe un tasso i >4%, ma in realtà non è cosi perché il rendimento effettivo alla fine dell’anno dipende se reinvesto o meno gli interessi staccati , quindi se non reinvesto il rendimento effettivo non sarà pari al tasso i (la formula sottintende che le cedole vengano reinvestite al tasso i " $

). Ci possono essere tre casi:

-Non reinvesto gli interessi staccati. à !J(m) < i! -Reinvesto gli interessi staccati ad un tasso > i

+ #

à i’>J(m) i’(rendimento effettivo derivante dal

reinvestimento degli interessi staccati) - Reinvesto gli interessi staccati ad un tasso < i

v

+ #

à i’< i

Nei finanziamenti che prevedono rate mensili ci viene fornito il tasso nominale annuo

J(m)à non è un tasso effettivo, ma è un tasso ’’virtuale’’ perché il rendimento dipenderà da se verranno e come reinvestiti gli interessi staccati. Il tasso nominale è in contraposizione al tasso effettivo annuo (è il tasso che effettivamente si guadagna).

Relazione tra i due tassi "

J(m)= m ∙i # àtasso nominale annuo (somma di m importi esigibili su scadenze diverse) "

i=(1 + 𝑖 )# -1à tasso effettivo annuo # "

J(m)= m i #% "

i #=

!

à

/(0)

J(m)=m[(1 + 𝑖) " -1] i=(1 +

à

0

/(0) # ) 0

-1

Relazioni che legano J(m) al

Relazioni che legano J(m) al tasso

tasso effettivo sull’ m-esimo

effettivo annuo i

del periodo unitario

"

i=(1 + 𝑖 # )# -1 "

"

!

i# =(1 + 𝑖 # ) " -1

$ %

!

J(m)=m[(1 + 𝑖)" -1] m=1 à J(1)=i m>1 à J(m) < i !

J(m)=m[(1 + 𝑖)" -1]. funzione decrescente. [ f(x)+∙g(x) ] !

!

J’(m)= (1 + 𝑖)" -1+ m(1 + 𝑖) " ln(1+%𝑖)-

"

#'

!

"

[ f’(x) +∙g(x)+ f(x)+∙g’(x) ]

!

J’(m)=%(1 + 𝑖)" -1-# (1 + 𝑖)" ln(1+%𝑖) < 0 !

𝑙𝑖𝑚 [(1 + 𝑖)" − 1]= ln(1 + 𝑖)

#→2

!

lim % ! "

→2

[ ("4+ ) " &"] ! "

= ln (1 + 𝑖)

J(∞) =%ln(1 + 𝑖)=𝛿 àTasso istantaneo di interesse (tasso nominale annuo convertibile instante per istante)

(grafico) J’(m) 0 J(∞) =%ln(1 + 𝑖)

TASSO ANNUO DI SCONTO "

𝜌(m)= m d àTasso annuo di sconto (pagabile m volte l’anno): viene usato per riportare su base # annua il tasso di sconto di operazioni che prevedono il pagamento del tasso di sconto o di interesse anticipato anziché in un’unica operazione all’inizio del periodo unitario, all’inizio di "

ciascun sotto-periodo di ampiezza #. 𝜌(m)= m d

"

#

"

d#=

6(#) # "

d=1-[(1 − d # )#] = 1(1 −

6(#) # ) #

!

𝜌(m)=[1−(1 − d)" ] m 𝜌(m)= J(-m) !

J(-m)= -m[(1 + 𝑖)" −1] !

= m[1-(1 + 𝑖)&" ]= %𝜌(m) ↓ !

m[1-(1+d)" ]

m=1 à 𝜌(1)=d m>1 à 𝜌(1) >d !

𝑙𝑖𝑚 [1 − (1 + 𝑑) " ]%m

#→2

!

"

𝑙𝑖𝑚 [1 − ( 1 − 𝑑)" ] # = -ln(1-d)>0 àTasso istantaneo di sconto (tasso nominale annuo di sconto ! "

→7

pagabile istante per istante)

(grafico) Relazione tra 𝜌 (∞)=-ln(1-d) e J(∞) =%ln(1 + 𝑖)=𝛿 "

sostituisco d="4+ 𝜌(∞)= -ln(1-

+

"4+

"

)= -ln("4+ )

"

= -ln("4+)= -ln(1)+ln(1+i)= ln (1+i)=𝛿 Tasso istantaneo di interesse e tasso istantaneo di sconto coincidono.

-Regime finanziario dell’interesse semplice "

"

J(m)=m i#= m i #= i "

+

i # =#

-Regime finanziario dello sconto commerciale "

"

𝜌(m)= m d# = m #= d "

8

d#= #

FORZA D’INTERESSE E FORZA DI SCONTO 1 r(t) r(t+∆t) |_________________________|____________| 0 t t+∆t

I(t, t+∆t)=r(t+∆t)-r(t) 9(:,:4∆:)

=(:4∆:)&=(:)

∆:

∆:

%=

% à rapporto incrementale della funzione r: indica l’incremento della

funzione rispetto alla variabile t >?:@=@AA@

àinteresse per unità di tempo

B0C>@DDB):@0CE=BF@

(grafico) 𝑙𝑖𝑚 %

9(:4∆:)

∆!→7

∆:

=𝑙𝑖𝑚

=(:4∆:)&=(:)

G)=(:)

∆:

G:

∆!→7

%= r’(t)=%

(questa uguaglianza vale solo per ∆t →0, per ampiezze

infinitesime) =(:,:4∆:)&=(:) ∆:

≅r’(t) (per ∆t di ampiezza finita si usa il circa uguale)

r(t+∆t)-r(t)%≅r’(t)%∆t r(t+∆t)%≅r(t)+r’(t)%∆t% →%Polinomio di Taylor di I grado I(t,t+∆t)-r(t)%≅r’(t)%∆t I(t,t+∆t)-r(t)%≅ =H(:) =(:) =H(:) =(:)

=(:) =(:)

r’(t) ∆t = r(t)

=H(:) =(:)

∆t = r(t)%𝛿(𝑡)%∆t

= 𝛿(𝑡) à Forza d’interesse (intensità istantanea d’interesse) =

8)F?)[I(!)] 8:

derivata del logaritmo

L’interesse prodotto dalla legge di capitalizzazione sul periodo (t,t+∆t) è proporzionale al montante maturato fino all’istante t, alla forza d’interesse e alla durata dell’intervallo di tempo (∆t). Per periodi di ampiezza infinitesima qualsiasi legge finanziaria forma l’interesse nella logica del regime dell’interesse semplice ad un tasso pari alla forza d’interesse. Dalla relazione possiamo vedere che la forza d’interesse spiega in che modo una legge di capitalizzazione sta formando l’interesse in un istante t rispetto al capitale accumulato in t. (Mentre il tasso d’interesse spiega l’interesse formato rispetto al capitale C, la forza d’interesse spiega in che modo si sta formando l’interesse in un istante t rispetto al montante r(t)).

=(:4∆:)&=(:)

%%=

=(:)

9(:,:4∆:) >(:,:4∆:) JK!LILMML)NK+!OI+P = ∆: àO#Q+LRRO)!L#QPIOSL=intensità =(:)

𝑙𝑖𝑚 %

>(:,:4∆:) =H(:)

𝑙𝑖𝑚 %

=)(:4∆:)&=(:)

= =(:) %%

∆:

∆:→7

=% 𝑙𝑖𝑚 %

∆:)=(:)

∆:→7

d’interesse

>(:,:4∆:)

∆:→7

%

∆:

Forza d’interesse in relazione della funzione di attualizzazione v(t) =H(:)

𝛿(𝑡)=% =(:) "

r(t)=%T(:) TH(:)

"

d[U(V) ]= -%

r’(t)=-% T' (:)

U' (V)

()(+)

𝛿(𝑡)= TH(:) T(:)

& ' ( (+) ! ((+)

=−

U(V)

=−

TH(:) T(:)

8)F?)[W(!)] 8:

= 𝜌(t) àForza di sconto (intensità istantanea di sconto)

=%𝛿(𝑡)

La forza di sconto spiega in che modo una legge di attualizzazione sta formando lo sconto in un determinato istante di tempo t rispetto al valore attuale raggiunto all’istante t. D(t,t+∆t)-r(t)%≅v(t)𝜌(t) ∆t Lo sconto è proporzionale al valore attuale raggiunto in t, alla forza di sconto e all’intervallo di tempo ∆t. Per periodi di tempo piccoli qualsiasi regime finanziario forma lo sconto nella logica dello sconto commerciale (lineare/proporzionale rispetto al tasso di sconto e al tempo).

Forza d’interesse a due variabili (dipende dall’istante iniziale t0 e dall’istante finale tn) I(tn,tn+∆tn)%≅r(t0,tn)

-./(+0,+2) -.+2

=(:7,:?)

∆tn

Forza d’interesse nel regime finanziario dell’interesse semplice r(t)= 1+it =H(:)

>

𝛿(𝑡)=% =(:) =%"4>: r’(t)=i

Forza d’interesse nel regime finanziario dello sconto commerciale v(t)=1-dt "

TH(:)

𝜌(t)%= − T(:) = "&G:=%𝛿(𝑡) v’(t)=-d

Forza d’interesse nel regime finanziario della capitalizzazione composta r(t)= (1 + 𝑖)! 𝛿(𝑡)=%

=)(: ) ("4>)# F? )("4>) =(: )

=

("4>)#

= ln(1+i)

r’(t)=%(1 + i)! ln(1+i) 1 Derivata logaritmica di v in funzione di r !

𝜌(t)=%−

8)F?)[ 3(#)] 8:

=−

8)[F?"&) F? I(!)] )[7&F? I(!)] =− 8: 8:

=−

8)F?)[I(!)] 8:

Dalla forza d’interesse alla legge di capitalizzazione 𝛿(𝑡)=

8)F?)[I(!)] 8:

!

!

∫7 𝛿(𝑠 )%𝑑𝑠 = ∫7 ln%[𝑟(𝑠)]𝑑𝑠 !

∫7 𝛿(𝑠 )%𝑑𝑠 = [ln 𝑟( 𝑠) ]!7 = ln 𝑟 (𝑡) − ln 𝑟(0) !

∫7 𝛿(𝑠 )%𝑑𝑠 = ln[r(t)]

funzione esponenziale

Relazioni con r(t) #

i(t)= r(t)-1= 𝑒 ∫0 Y (M) )8M-1 "

#

(M) )8M

v(t)= =(:) = 1-𝑒∫0 Y

#

𝑒 ∫0 Y (M ) )8M = ln r(t) à Capitalizzazione continua

Capitalizzazione continua nel regime finanziario della capitalizzazione composta ( ) r(t)= 𝑒 ∫+ . / +0/ *

12(3)

𝛿(𝑡)=&

1(3)

= ln(1+i)

*

r(t)= 𝑒 ∫+ .(/)+0/ =𝑒 [./]+ =𝑒 [.45.6] =𝑒 .4 *

Relazioni con r(t)=&𝑒 .4

i(t)= r(t)-1=𝑒 .4 -1 " v(t)= =(:) =

"

𝑒𝛿𝑡

=𝑒 5.4

d(t)=1-v(t)= 1-𝑒 5.4...