Matematica Finanziaria SPS - tassi spot e tassi forward PDF

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Spiegazione tassi spot e tassi forward - prof. E. De Giuli (6 e 9 CFU)...

Description

1

La struttura per scadenza dei tassi d’interesse

Consideriamo il mercato dei titoli a reddito …sso, mercato in cui gli agenti contrattano sulla base dei tassi di interesse. Prenderemo come riferimento un mercato sempli…cato in cui sono presenti solo due tipologie di titoli: zero coupon bonds (ZCB detti anche titoli a capitalizzazione integrale, o titoli di puro sconto) e coupon bonds (CB ovvero titoli con cedole).

1.1

Tassi spot (o a pronti)

Un titolo a reddito …sso, chiamiamolo sessore

A,

è un titolo di credito che dà al pos-

il diritto ad incassare i ‡ussi di cassa

ak

alle date tk . Alla data t di t della ren-

valutazione, il valore di mercato del titolo è pari al valore alla data

dita descritta dai ‡ussi di cassa futuri previsti dal titolo (‡ussi con scadenza posteriore a t), calcolato al tasso di valutazione di mercato. Ad esempio, uno ZCB a 1 anno che dà al suo possessore il diritto ad incassare

3000 euro di valore nominale, se valutato al tasso annuo del 2%

;

ha valore di

mercato pari a

P

:

(0; 1) = 3000 1 02  2941 18 euro :

:

2941 176 5 : 2941 2La sua quotazione (come appare nei listini di borsa) riferita 100 euro di nominale è pari a 100 1 02  98 039 :

:

ad un taglio …ttizio di

:

:

Nota la quotazione (o corso) del titolo possiamo calcolare il prezzo di mercato del titolo, che nel nostro esempio ha un valore nominale di del nostro esempio ha quindi un valore di mercato P

2000 euro. Lo ZCB

039  3000 = 2941 17 euro (0; 1) = 98100 :

:

Data la successione di ZCB

A

 

t1 ; At2 ;

A

tn ,con lo stesso valore nominale

C,

(0; 1 ) (0; 2 )    (0; n ) con (0; 0) = (0; 1 ) (0; 2 )    (0; n ) possiamo ricavare la successione dei tassi annui composti spot (o a pronti) (0; s ) impliciti nei rispettivi prezzi spot (o a pronti) (0 s ) con = 1 2    . diverse durate residue ;P

t

;

t1

< t2

P

<

< tn

C > P

t

e diversi prezzi

> P

t

>

P

> P

h

(0; s) = 0) è piatta.

Quando (al tempo

h

t

h

(0; s) =

;t



C

t

P

(0 s) ;t

 t1s

s

;

;

;P

t

;

t

h

P

t

t

;n

1

per ogni scadenza ts si dice che la struttura per scadenza

La struttura per scadenza (SPS) dei tassi d’interesse (term structure, yield curve) indica il legame strutturale esistente tra tassi d’interesse relativi a scadenze diverse.

1

Facciamo un esempio:

6 1 anno e 18 mesi quotati 98 533; 96 805; 94 833, calcolare i tassi spot annui.  100  015 (0; 0 5) = 98 533  1  3%  100  (0; 1) = 805  1 1  3 30%  96100 15 (0; 1 5) = 96 805  1  3 60% 1a) Dati i seguenti tre titoli zero coupon con durate rispettivamente di

mesi,

;

;

;

;

h

;

;

h

;

;

;

h

;

;

;

1b) Sullo stesso mercato sono presenti altri 2 titoli con cedola: il titolo

A

con

104 284, durata residua di 2 anni, cedola annua, tasso cedolare del 6% annuo e rimborso alla pari; il titolo con prezzo di 102 830, durata residua di 3 anni, cedola annua, tasso cedolare del 5% annuo e rimborso alla pari. Tutti i prezzi (d’acquisto e di rimborso) sono riferiti a 100 euro di Il titolo prevede l’incasso all’anno 1 di una cedola pari a 6 euro (100  0 06) e all’anno 2 il ‡usso di 106 euro (100 di valore di rimborso e 6 di cedola). La quotazione di 104 284 euro è così ottenuta 106 6 106 6 1 + (0 1) + 1 + (0 2)2 = 1 033 + 1 + (0 2)2 = 104 284 (1) Il primo ‡usso di cassa pari a 6 è attualizzato al tasso (0; 1) annuo composto per impieghi di durata annua [0; 1] (tasso del 3 30% che abbiamo calcolato al punto 1a), mentre il secondo ‡usso di cassa di 106 euro deve essere attualizzato al tasso (0 2) annuo composto per impieghi di durata biennale [0; 2], (tasso che invece è incognito). Risolvendo la (1) troviamo (0; 2)  3 75%. Se volessimo poi calcolare il tasso annuo composto (0; 4) dobbiamo trovare sul nostro mercato un titolo che presenta un ‡usso di cassa all’anno 4 e gli altri ‡ussi di cassa alle scadenze per le quali sia noto il tasso di mercato (spot). Consideriamo ad esempio un titolo che oggi costa 1783 82 euro e che pagherà 1000 euro fra 2 anni e 1000 euro fra 4 anni. Ricordiamo che il nostro mercato è prezzo di

;

B

;

v.n.

A

;

;

h

h

;

:

;

h

:

;

h

;

h

;

;

h

;

h

;

caratterizzato dalla seguente struttura di tassi che via via ci siamo costruiti

(0; 1)  3 30%; (0; 1 5)  3 60%; (0; 2)  3 75% Il primo ‡usso di cassa pari a 1000 all’anno 2 deve essere attualizzato al tasso annuo composto (0; 2) = 3 75% (noto) mentre il secondo ‡usso di 1000 esigibile all’anno 4 deve essere attualizzato al tasso annuo composto (0 4) (incognito): h

(0; 0 5)  3%; ;

h

;

h

h

;

;

h

;

:

h

;

Risolvendo la (2)

1783 82 = 1000(1 0375)2 + 1000(1 + (0 4))4 (0 4) = 4% :

otteniamo

h

;

:

h

:

2

;

(2)

:

1.2

Tassi forward (a termine).

= 0) il prezzo forward (0; , + ) per l’acquisto alla data 0 di uno dal e scadenza + , il che signi…ca che oggi …ssiamo anche il tasso forward annuo composto (0; , + ) implicito in (0; , + ). Sfruttando la condizione di coerenza

Oggi stipuliamo un contratto forward, stabilendo oggi (t P s

h

s

s



s >

ZCB

v.n. C



s

s



P

s

s



o (parità) pronti-termine P

(0 + ) = (0 )  (0 ;s



P

;s

P

; s; s

+ ) 

noti i prezzi a pronti calcoliamo i prezzi e i tassi a termine (di non arbitraggio), che risultano essere pari a P

(0

; s; s

+ ) = (0 (0 +) ) P



;s

P



;s

e quindi i relativi tassi impliciti

h

(0

; s; s



+ )=

(0 )  1  1 (0 + ) P



P

;s

;s



Facciamo un esempio. Noti i seguenti prezzi a pronti (e i relativi tassi impliciti a pronti) t

05 1 15 2 3 4 ;

;

(0; ) 98 533 96 805 94 833 92 902 88 900 85 480

P

t

;

; ;

;

;

;

(0 ) 3% 3 30% 3 60% 3 75% 4% 4% h

;t

; ;

;

Sfruttando la condizione di coerenza o (parità) pronti-termine, calcoliamo i prezzi a termine P P

P

P

P

P

(0; 0; 0 5) (0; 0 5; 1) (0; 1; 1 5) (0; 1 5; 2) (0; 2; 3) (0; 3; 4) ;

;

;

;

98 533  100 96100805  100 98 94 533 833  100 96 805 92 902  100 94 88 833 900  100 92 85 902 480  100 88 900 ;

;

; ; ; ;

; ;

; ; ;

3

 98 533  98 246  97 963  97 963  95 692  96 153 ;

;

;

;

;

;

e i relativi tassi a termine impliciti in tali prezzi

 100  015 (0; 0; 0 5) 98 533  1  3%  100  015 ;

h

h

h

;

;

(0; 0 5; 1)

;

 98100246  015

;

;

(0; 1; 1 5)

;

 97100963  015

;

;

 1  3 60% ;

 1  4 20% ;

(0; 1 5; 2) 97 964  1  4 20%  100  1  4 50% (0; 2; 3)  95100692  (0; 3; 4) 96 153  1  4% ;

h

h

h

;

;

;

;

;

;

Alleniamoci con un ulteriore esercizio.

( = 0) sul mercato puoi acquistare BOT con scadenze 1, 2 e 4 anni (0 1) = 96 300 (0 2) = 92 400 e (0 4) = 85 100 Calcola il tasso annuo forward (0 2 4). Sullo stesso mercato è presente il titolo che prevede il pagamento di 2500 e fra 2 anni e 2250 fra 4 anni. Qual ‘e il suo prezzo di mercato? Per calcolare (0 2 4) devo conoscere il prezzo forward (0 2 4) che ricavo Oggi

t

i cui corsi odierni sono rispettivamente: P

;

;

P

;

;

:

h

;

;P

;

;

;

A

h

;

;

P

;

;

dalla condizione di coerenza pronti-termine P

(0 4) = (0 2)  (0 2 4) ;

P

;

P

;

;

(0 4) , (ricordiamoci con = 1) (0 2 4) = (0 2) e quindi con = 100 di valore nominale risulta 85 100  100 = 92 099 567 10  92 100 (0 2 4) = 92 400 Oggi decido infatti di investire in un titolo dall’anno 2 con scadenza all’anno 4 al tasso annuo composto (0 2 4), spendo 92 100 per avere a scadenza il valore nominale di 100. (0 2 4)  [1 + (0 2 4)]2 = 100 92 100  [1 + (0 2 4)]2 = 100, risolvendo (0 2 4) = 4 2% Altra strada per calcolare il tasso annuo forward (0 2 4) Dai prezzi spot da cui

P

;

;

P

;

P

;

C

C

P

;

:

;

:

:

:

:

ZC B

;

P

h

;

;

:

h

;

;

h

;

;

;

;

:

h

h

;

;

;

;

:

:

ricavo i tassi annui spot, che userò per calcolare il tasso annuo forward

(0; ) (0 ) 1 96 300 3 84% 2 92 400 4 03% 4 85 100 4 12% t

P

t

:

h

:

:

:

:

:

4

;t

[1 + (0 4)]4 = [1 + (0 2)]2  [1 + (0 2 4)]2 1 04124 = 1 04032  [1 + (0 2 4)]2 (0 2 4)  4 21% h

;

h

:

che risolvo, ottenendo h

4 2% :

;

h

:

;

;

:

h

;

;

;

;

: La di¤erenza rispetto al tasso h

(0 2 4) = ;

;

è dovuta agli arrotondamenti introdotti nel ricavare i tassi a pronti im-

pliciti nei tassi a pronti. Per quanto riguarda la seconda domanda, il titolo A ha un prezzo di mer-

(0 2) = 4 03% 2500 2 2250 4 2500  1 04032 + 2250  1 04124  4224 52

cato pari al valore attuale calcolato ai tassi annui composti h h

(0 4) = 4 12% ;

:

dei ‡ussi di cassa di

fra

:

:

5

anni e

fra

:

:

;

anni:

:

e...