TD 1 - Etude de fonctions dune variable PDF

Preview

Summary

Mathématiques 1 ...

Description

L1S1 – Mathématiques 1 - TD 1 : Etude de fonctions d’une variable Exercice 1 (limites) : Calculer la limite de chaque fonction au point indiqué.

x 2  2x  3 en x  1 ( x  1)4

3 2 x  4x  5x  2 en   x4  1

1.

f ( x) 

2.

1  f ( x )   x 2   5  3x  en   x 

5. f ( x)  x2 ex en  

3.

f ( x)  2 x4  5 x2 1 en  

6. f ( x) 

4. f ( x) 

ex en   x

Exercice 2 (dérivée) : Déterminer le domaine de dérivabilité des fonctions suivantes, puis calculer leur dérivée: 1.

4. f ( x)  ( x3 1) ex

f ( x)  x3  3x 2  6 x  4

2x

5. f ( x) 

2. f (x)  x (x 3  2x ) 3.

f ( x) 

2x 2  4x  6 2x 1

e ln x

6. f ( x)  ln x 1

Exercice 3 (étude complète) : Réaliser une étude complète des fonctions suivantes : 1. 2.

3. f ( x)  ln(ex 1)  ex

f ( x)  2 x3  21x2  36 x 16 2 f ( x)  x  ln x  x

Exercice 4 (convexité) : Etudier la convexité (ou la concavité) des fonctions suivantes : 1.

f ( x)  x 2  3 x  1

3. f (x )  4  x 2

2.

f ( x)  x 5  ln x

4. f ( x)  x4  x ln x

Exercice 5 (exercice supplémentaire ; ne sera pas corrigé en TD) : 1. Calculer la limite des fonctions suivantes au point indiqué :

f (x)  x2  x  3 en   ; g (x )  2. Déterminer

x2  4 x

 x2

2

en 2 et : h(x)  ln( x2 1)  2ln(x 1) en  

le domaine de dérivabilité des fonctions suivantes, puis calculer leur dérivée :

f (x)  ( x  3)ln( x 3  8) ; g (x ) 

ln x et : h( x)  e x 1 x2  1

3. Réaliser une étude complète des fonctions suivantes :

f ( x) 

x2  x  4 1/ x2 ; g (x )  x e et : h (x )  ln[(x  3)(x  5)] x 1

4. Etudier la convexité (ou la concavité) des fonctions suivantes : f ( x)  x4  6 x2  x  5 et : g (x )  (x2  8x  18)e x...