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INTRODUCCIÓN. ASOCIACION DE ELEMENTOS Normalmente en un circuito eléctrico los distintos elementos que lo forman

aparecen conectados entre sí en alguna de las formas siguientes En serie: los elementos están recorridos por la misma corriente En paralelo: los elementos están sometidos a la misma tensión En estrella: tres o más elementos comparten un punto común En polígono: cada dos elementos comparten un punto común

3.1

Asociación serie elementos ideales. Divisor de tensión En la asociación serie cada dos elementos comparten un punto eléctricamente

común y la corriente es la misma en todos ellos (no hay derivaciones por las cuales pueda "escapar" corriente) al aplicar la 2ª ley de Kirchoff la tensión entre los extremos de la asociación es la suma de las tensiones parciales. i

Fuentes de tensión ideales Dos o más fuentes de tensión ideales en serie

se

agrupan

en

una

+

+

+

en

e2

e1

fuente

equivalente cuya tensión es la suma

o referencia),

+

i

algebraica (es decir, considerando su polaridad

et

Figura 3-1.

et=6ei Figura 3-1

 Fuentes de corriente ideales

i

ig1

i g2

Las fuentes de corriente ideales solo pueden ser conectadas en serie si sus

ig1 = i g2= ..=ign =i

corrientes son idénticas, Figura 3-2 .

Figura 3-2

Fundamentos de Electrotecnia. Circuitos

by Juan Suárez Creo; Elena Albo López; BlancaNieves Miranda Blanco; Edelmiro Míguez García; Ana B. Albo López is licensed under a Creative Commons

Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional License

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.2

Ejemplo 3.1 a

I

U

E g eq_1

Eg1

Eg eq_1=Eg1+ Eg2- Eg3

a

I

U

Eg2

b

Equivalente I

a

b

U

Eg_eq2

Eg3

E g_eq2=-E g1-Eg2+Eg3

b

Elementos pasivos tipo (Resistencia, Condensador, Bobina) Cuando los elementos pasivos están conectados en serie lo más cómodo y conveniente es poner sus ecuaciones de definición bajo la forma u

z  i es decir en la

forma “impedancia”, la tensión total es la suma de las tensiones parciales en cada elemento u t

6u i siendo cada valor u i

z i  i . La asociación de elementos serie se

puede sustituir por un elemento único cuya impedancia equivalente es la suma de las impedancias de los elementos, Figura 3-3. i z1 u1 =z1 i i

...

z2

   

zn un =zni

u2 =z2i

Para

z eq =6z i

la

admitancia

la

expresión queda::   1  1 ∑ 

z eq



ut=i.6 z i Figura 3-3

La asociación serie de impedancias se denomina divisor de tensión, con respecto a la Figura 3-3 podemos expresar las tensiones individuales en cada impedancia en función de la tensión total y la impedancia equivalente:      →  

 

             

      

      

Podemos ver como la tensión total se divide entre todas las impedancias, siendo directamente proporcional a la impedancia propia e inversamente proporcional a la impedancia equivalente.

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.3

Tenemos que tener cuidado con los signos, en el circuito de la figura en la expresión de la tensión u2 aparece un signo negativo. z1 +

z2

i

u1

i +

u2 u3

eg

z3

         

   

zeq

eg



 

          

  

Resistencias i R1

...

R2

u1=R 1 i

Rn u n=Rn i

u2 =R2i

   

i R eq ut=i.Req

Bobinas L1

i

Ln

L2

...

u1 =L1 di/dt u2 =L2 di/dt i

u n=L n di/dt

Leq

    

u T=u1 +u 2+…+un u T=Leqdi/dt

Condensadores i

C1

i

C2

...

u1 u2 i=C 1du 1 /dt i= C2du2 /dt C eq

Cn un i= C ndu n/dt

1 1   

uT=u1 +u2+…+u n i=Ceq du T/dt

En el caso de condensadores en serie, la capacidad del condensador equivalente es menor que la de cualquiera de ellos.

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.4







 ∑  →    

Ejemplo 3.2 Vamos a aplicar la expresión del divisor de tensión al circuito de la figura, siendo la fuente de tensión continua de 20V.

R1=2Ω +

I

R2=3Ω

U1

+

U2 U3

Eg

  

I

R3=5Ω

 2    20  4 10 

  2  3  5  10Ω 

 3       20  6 10    

Req

Eg







20  2Ω 10

 5    20  10 10 

Comprobación:         4  󰇛6󰇜  10  20

Un caso particular interesante Si en una asociación serie de elementos pasivos uno de ellos tiene una impedancia infinita (circuito abierto) todo el conjunto es un circuito abierto y la tensión total de la asociación aparece en el circuito abierto siendo nula en todos los demás

ut=v.0 i=0 z1

zn

z2

u1=z1i=0 u2=z2i=0 i=0

zeq ut

Fig.8

un=zni=0

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.5

Ejemplo 3.3 (2.1) Calcular las potencias consumidas en las resistencias y la potencia generada por la fuente de tensión.   180   20Ω  40Ω  30Ω Reducimos el circuito asociando las tres

Método 1

resistencias en serie: I

a

R1 U1

Eg

I

b U2

R2

a

Eg

UT

R eq

R3 d

c

U3

d

Calculamos las variables de este modelo reducido serie del circuito, UT e I         90Ω 











2A

_   ∙   180 ∙ 2  360    ∙    80   160

  120



_        360

Método 2 I

a

R1 U1

Eg

U2

R2

R3 d

U3

        90Ω

b

Aplicamos las expresiones del divisor de tensión para calcular las tensiones en las

c

resistencias:   

 20    180  40 90 

 

  

 80

Procediendo de igual forma calculamos U2, U3, y PR2, PR3  _        360

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.6

Ejemplo 3.4 (2.8) Obtener el valor de la potencia generada por la fuente de tensión 3: 2:

+ 24V

=

3:

-10 A

Necesitamos calcular la intensidad que circula por la rama donde se encuentra la fuente de tensión: I1

3:

2:

+ 24V

I2

= -10 A

3:

Aplicando la 1ª Ley de Kirchoff   10   Tenemos que calcular 

Reducimos el circuito asociando en serie las dos resistencias de 3Ω: I1

2:

+ 24V

I2

=

Req=6 :

-10 A

Ahora podemos ver que la tensión en la resistencia de 6Ω es precisamente la tensión de la fuente, 24V

24   ∙  →     10    6

_  24 ∙   144

24  4 6

Volvemos al circuito inicial a calcular 

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.7

Ejemplo 3.5 Calcular el valor de la tensión U R

R U

+ 12V =

R R

2R

Método 1 Vemos que todos los elementos del circuito están conectados en serie por tanto podemos aplicar la expresión del divisor de tensión:



2 2 12  4 12  6 

Método 2 Calculamos la intensidad I, y con ella la tensión U R

R

I

U

Asociamos todas las resistencias en serie y

+ 12V =

R R

obtenemos el circuito reducido serie:

2R

I

a

12V

Req

UT

d



12 12 2    6 

Volvemos al circuito original para calcular U   2 ∙   4

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.8

Asociación paralelo (o derivación). Divisor de corriente

3.2

En la asociación en paralelo cada dos elementos comparten dos puntos eléctricamente comunes y la tensión es la misma en todos ellos, al aplicar la 1ª ley de Kirchoff la corriente total es la suma de las corrientes en cada uno de los elementos.

Fuentes de tensión ideales it=6 ii i1

in

i2 +

+

e1

e2

+

Las fuentes de tensión ideales solo

en

pueden ser conectadas en paralelo si sus tensiones son idénticas

e1= e2=….= e n

Fuentes de corriente ideales i t=6i gi

Dos o más fuentes de corriente

ig1

i g2

u

ign

=

6i gi

ideales

se

agrupan en una equivalente cuya corriente es la suma algebraica considerando referencia).

Ejemplo 3.6 A

Ig2 -I g1 -Ig3= -12A

A Ig2 Ig1

B

Equivalente Ig3

A

B

Ig1=10A

Ig2=3A

Ig3=5A

I g1+Ig3-I g2=12A

B

(es su

decir,

polaridad

o

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.9

Elementos pasivos tipo (Resistencia, Condensador, Bobina)

Cuando los elementos pasivos anteriores están conectados en paralelo lo más cómodo y conveniente es poner sus ecuaciones de definición bajo la forma    ∙  es decir en la forma “admitancia”, la corriente total es la suma de las corrientes parciales en cada elemento   ∑  siendo cada valor     ∙ . La asociación de elementos en paralelo se puede sustituir por un elemento único cuya admitancia equivalente es la suma de las admitancias de los elementos it=6 ii

it= 6ii i1

u

in

i2

y1

y2

yn

i1=y1 .u

i2=y2 .u

in=yn .u

=

u

yeq

IT=yequ

          ⋯          ⋯  

Como la impedancia y admitancia son magnitudes inversas también se cumple que: zeq = 1/yeq = 1/( 6 yi) La asociación de impedancias en paralelo se

     →  

denomina divisor de intensidad, donde la intensidad total se divide entre las ramas, siendo directamente proporcional a la admitancia de la rama e inversamente proporcional a la admitancia

           

total.

 

      

      

Resistencias it= 6ii

it=6ii i1

u

G1

i1=G1 .u i1=u/R1

i2 G2

i2=G2 .u i2=u/R2

La conductancia equivalente

in Gn

in=Gn .u in=u/Rn

=

u

Geq

es

la

de

conductancias: it

G eq= 6G

suma

u  6 Gi  i t

u  Geq

las

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.10

También se cumple:    ∙ 

1





1 1   ⋯      

1 1 1 1        ⋯     ⋯      En la conexión en paralelo de resistencias el inverso de la resistencia equivalente es la suma de los inversos de cada resistencia, la resistencia resultante total es menor que la de cualquiera de ellas. Ejemplo 3.7

Vamos a aplicar la expresión del divisor de intensidad al circuito de la figura, donde la fuente de intensidad es de DC y 20A. R1=5Ω

R2=4Ω

R3=2Ω

Y1

Ig

I1

Yn

Y2 I2

U

Yeq

U

I3

       

  

Ig

1  80    19 5 20  19  20

1  100 4     19 20   19  20 1  2 20  200       19 19  20

1 1 1 19       5 4 2 20  400    19 

  

Comprobamos el resultado:  

80 100 200 380  20     19 19 19 19 80 400       5  19 19

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.11

Bobinas Se cumple:

iT= 6 ii

i T= 6ii i1

u

L1

i2

in

L2

Ln

       ⋯  

u

=

u=L 1di1/dt u=L2di 2/dt u=Ln din /dt) ) )

    ⋯             ⋯    

L eq

u=Leqdi T/dt)

1 1 1 1    ⋯.    

En la conexión en paralelo de bobinas el inverso de la inductancia equivalente es la suma de los inversos de cada inductancia, la inductancia resultante total es menor que la de cualquiera de ellas.

Condensadores iT= 6 ii

iT= 6 ii i1

u

C1

       ⋯  

in

i2 C2

Cn

u

=

i1 =C1 du/dt i 2 =C2 du/dt in=C ndu/dt

    

Ceq

iT=Ceqdu/dt

       ⋯       

      ⋯  

En la conexión en paralelo de condensadores la capacidad equivalente es la suma de las capacidades

Un caso particular interesante Si en una asociación paralelo de elementos pasivos uno de ellos tiene una admitancia infinita (o impedancia nula, cortocircuito) todo el conjunto es un cortocircuito y la corriente total de la asociación aparece en el cortocircuito siendo nula en todos los demás i t=6 ii

it=6  ii i1

u=0

i 1=v .0

i2 =0

in =0

y2

yn

i2 =y2 .0

in=yn .0

=

u=0

yeq=v

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.12

Ejemplo 3.8 (2.4)

En el circuito de la figura se conocen los siguientes valores:   30    2Ω    4Ω I

R1 R2

U

Ig

e

c

a

I1

I2 d

b

g

R3

R4

I3

I4 h

f

Se pide obtener el valor de la potencia consumida en cada una de las resistencias, y de la potencia generada por la fuente de intensidad.

Podemos ver que todos los elementos del circuito están sometidos a la misma tensión U, por tanto están en paralelo. Aplicando la 1ª Ley de Kirchoff            →           Necesitamos calcular la tensión U, con ella ya podemos obtener todas las potencias solicitadas. Para ello asociamos las resistencias en paralelo, obteniendo el circuito reducido: I

R3

R1 R 2

U

Ig

e

c

a

I2

I1 b

R4

I3 d

I

g Ig

a Req

U

I4 f

h

b



  

  200  

   

2 1 1 3     →   Ω 3   2 

   ∙    ∙  20V

  100 

 _   ∙   600

Ejemplo 3.9 (2.7) Obtener el valor de la potencia generada por la fuente de intensidad 10 V + = 2:

4:

9A

Necesitamos calcular la tensión en la fuente de intensidad.

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.13 10 V +

Vemos que las resistencias están conectadas en paralelo, y podemos sustituirlas por su resistencia equivalente

= R eq =4/3 : U

9A I

  9 Aplicando la 2ª Ley de Kirchoff:   10   ∙   0 →   22

_  9  198

Ejemplo 3.10 (2.9) Obtener la expresión de la Intensidad I, sabiendo que todas las resistencias tienen el mismo valor óhmico.

a

R5

I1

R4

I3

I2

U2

I4 h

f

d

b

g

e R3

R1 R2

U1

Ig

c I

Podemos ver que las resistencias R1 y R2 están en paralelo, y las sustituimos por su resistencia equivalente R12=R/2. Igualmente R3 y R4 están en paralelo, y las sustituimos por su equivalente R34=R/2

a I U1

Ig

R5

e R34 U 2

R12

b

f

Ahora la resistencia R5 está en serie con R34, podemos sustituirla por su resistencia equivalente serie R345=R+R/2=3R/2 a I Ig

U1

a 3R/2

R/2

Ig

U1

Req

f

b

b

Y podemos calcular la intensidad I pedida, aplicando la expresión del divisor de intensidad:   





3    8  3 4 2

 

3 8

Fundamentos de Electrotecnia.Circuitos Tema 3: Asociación de elementos.14

Ejemplo 3.11 (2.5)

En el circuito de la figura se conocen los siguientes valores:   10  30  6Ω  3Ω  2Ω a

e Eg

R 1 R2

U

Ig

R3

c

I1

I

I2 b

f

d

Se pide obte...