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INGENIERÍA TÉRMICA

TEMA 4

TEMA 4 SISTEMAS ABIERTOS: PRIMER Y SEGUNDO PRINCIPIO 4.1.- FLUJO PERMANENTE.La gran mayoría de elementos empleados en la ingeniería como toberas, compresores, turbinas, etc. se comportan como elementos de flujo permanente. Un proceso de flujo permanente es aquel durante el cual las propiedades de un fluido permanecen constantes con el tiempo en un punto fijo, pudiendo variar de un punto a otro dentro del volumen de control. Un proceso de flujo permanente se caracteriza por: a) Ninguna propiedad (masa, volumen, etc.) Varía con el tiempo; así, la cantidad total de masa contenida en el volumen de control será constante. Igualmente ocurrirá con el volumen, y por tanto, el trabajo de la frontera será cero. b) Ninguna propiedad cambia en las fronteras del volumen de control con el tiempo. En un régimen permanente, el principio de conservación de la masa indica que la cantidad total de masa que entra al volumen de control es igual a la cantidad total de masa que sale de él (recuérdese que la masa en el interior del volumen de control permanece constante con el tiempo). 4.2.- CONSERVACIÓN DE LA MASA.En sistemas cerrados la masa del sistema permanece constante durante todo el proceso; mientras que en el caso de los sistemas m1 m2 abiertos entra y sale masa al volumen de control (Fig.4.1) El principio de conservación de la masa en su forma más general puede enunciarse como sigue:

VC mVC

“El cambio experimentado por la masa del volumen de control es igual a la diferencia entre la masa total que entra y la que sale del volumen de control”, es decir:

m1 + m2 Fig.4.1.- Conservación de la masa

 mVC   mentra   msale

Cuando se trabaja con procesos de flujo permanente, más que la cantidad de masa, lo que se emplea es la cantidad de masa que fluye por unidad de tiempo; es 

decir, el flujo másico ( m ). El flujo másico a través de un área diferencial (dA) puede expresarse como: 

d m   c n dA

(4.1)

donde cn es la componente normal de la velocidad que atraviesa dA. Universidad de Jaén. Área de Máquinas y Motores Térmicos © José Manuel Palomar Carnicero ; Fernando Cruz Peragón ; Vicente Montoro Montoro

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TEMA 4

Si queremos obtener el flujo másico por toda el área de la sección transversal de la tubería, bastará con integrar la ec.4.1; así: 

m    c n dA A

(4.2)

( kg / s)

Estamos considerando flujo unidimensional, es decir que las propiedades del fluido varían en una sola dirección (la del flujo); esto implica que todas las propiedades son constantes en toda sección transversal normal a la dirección del flujo, teniendo valores promedio en masa en la sección transversal. Por tanto, teniendo en cuenta esta suposición, la velocidad será constante en toda la sección transversal e igual a un valor medio (c); luego la ec.4.2 se convierte en: 

Ac (4.3) v Como dijimos anteriormente, para el caso de régimen permanente, se cumple:

m Ac

mVC  Cte

  mentra   msale



o bien :



 m entra   m sale

Si nos referimos a sistemas de una sola corriente, como es el caso de la mayoría de dispositivos que estudiaremos, denotaremos con el subíndice 1 las propiedades a la entrada y con el subíndice 2 las propiedades a la salida; entonces: 



m1  m 2

 1 A1 c1   2 A2 c2



A1 c1 A2 c2  v2 v1

(4.4)

donde: A = área de la sección transversal normal a la dirección del flujo (m2) c = velocidad media del flujo (m/s) v = 1/ρ = volumen específico (m3 / kg) ρ = densidad (kg / m3) 4.3.- CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.m1

Wt VC

Q m2 Fig.4.2.- Flujo a través de una máquina

En un proceso de flujo permanente, la energía total de un volumen de control permanece constante y por tanto, la cantidad de energía que entra al volumen de control debe ser igual a la que sale del mismo. La energía total de un sistema compresible está formada por tres tipos de energía: cinética, interna y potencial. El fluido que entra o sale de un volumen de control posee una energía adicional llamada energía de presión o energía del flujo y cuyo valor es p v = p / ρ. Así, la energía total de un flujo viene dada por:

c2  g z u  p v 2 y teniendo en cuenta que (h = u + p v ) se transforma en: c2 e h gz 2 e

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(4.5)

(4.6)

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Consideremos el caso más general de un flujo que pasa por una máquina (se produce intercambio de energía mecánica We ) y además que hay un intercambio de calor (Fig.4.2). Si aplicamos el primer principio de la termodinámica o principio de conservación de la energía para un flujo permanente, tendremos:

Q  Wt  e2  e1

(4.7)

y teniendo en cuenta la ec.4.6, se convierte en:

Q  h 2  h1 

c 22  c12  g  z 2  z1   Wt 2

(4.8)

que se conoce como ecuación de la energía o primer principio de la Termodinámica en sistemas abiertos. Esta ecuación será válida sea cual sea el signo del calor (siempre y cuando tengamos en cuenta el convenio establecido) y haya o no rozamientos internos. Como casos particulares a esta ecuación tenemos:



Procesos de derrame.- Son aquellos en los que el flujo no pasa por una máquina, y por tanto el trabajo técnico es nulo, entonces la ec.4.8 se convierte en: c 2  c12 (4.9) Q  h2  h1  2 2 en estos casos la variación de energía cinética y potencial puede despreciarse, luego: Q  h2  h1

(4.10)

y si además no existiesen pérdidas de calor a través de las paredes del sistema: h2  h1

(4.11)

En lo sucesivo el término g z lo despreciaremos por ser insignificante su valor frente al de los demás. 4.4.- VÁLVULAS DE ESTRANGULAMIENTO.Son elementos pequeños en los que podemos suponer que el flujo a través de ellos es adiabático Q  0  , debido a que no hay ni tiempo ni área lo suficientemente grande como para que se produzca transferencia de calor. Además, no se produce trabajo y las variaciones de energía cinética y potencial resultan despreciables. Por tanto, la ecuación de conservación de la energía (ec.4.8) se convierte en: h2  h1

(4.12)

es decir que la entalpía a la entrada y a la salida de una válvula de estrangulamiento son iguales, lo cual no quiere decir que la entalpía sea constante, ya que entre la entrada y la salida puede variar. Universidad de Jaén. Área de Máquinas y Motores Térmicos © José Manuel Palomar Carnicero ; Fernando Cruz Peragón ; Vicente Montoro Montoro

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4.5.- TRABAJO REVERSIBLE DE UN FLUJO PERMANENTE.Aplicando la ecuación de la energía a un dispositivo de flujo permanente, sometido a un proceso reversible, y sabiendo que dh = du + p dv + v dp , se obtiene:

dqrev  dwrev  dh  dec  de p    dq rev  dwrev  du  p dv  v dp  de c  de p dh  du  p dv  v dp 

(4.13)

Como el proceso es reversible, se cumple que dqrev = du + p dv , y por tanto la ec.4.13 quedará como sigue: c 2  c 22  dwrev  v dp  dec  de p  wrev   v dp   ec   e p   v dp  1  g  z1  z 2  2 Teniendo en cuenta que las variaciones de energía cinética y potencial son despreciables, se obtiene la ecuación del trabajo en sistemas abiertos, que es:

wrev    v dp

(4.15)

A continuación vamos a ver el significado gráfico de   v dp

y su valor para las

distintas transformaciones teóricas estudiadas.

p 1

p1

El trabajo en sistemas cerrados (valorado por  p dv ) viene dado, en un diagrama p-v, por el área

dp

comprendida bajo la curva y el eje de abscisas. En sistemas abiertos, el trabajo (valorado por   v dp ) viene

2

p2 v

dado, en coordenadas p-v, por el área comprendida entre la transformación, las abscisas extremas y el eje de ordenadas (Fig.4.5).

v

Fig.4.3.- Valoración de   v dp

2

área p1 1 2 p 2    v dp 1

El valor de la integral   v dp , para las distintas transformaciones teóricas, será:



  v dp  0

Isócoras.- (v=cte)



  v dp  v  p 1  p 2 



 pv



2

1

2

1

Adiabáticas.- (pvγ=cte)

 1/ 

1

  v dp   

Isotermas.-(T=cte.)

40

2

Isóbaras.- (p=cte)  dp=0





2

1

2 1

R T p p dp  R T ln 2  R T ln 1  W p p1 p2

 Cte   v dp    1  p  2

1/ 

dp   Cte 

1 /



2

1

p 1 /  dp 

 p 2 p 21 /   p1 p11 /    p ( 1) /   v  p p  p2  p1 v1 1/  p v    1 1 2  1 1      (  1) /  (   1) /   ( 1) /  1   2

1/ 

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TEMA 4 1/ 

Sabemos que

 1

p1 v  p2 v

 2



v 2  p1     ; por tanto, la ecuación v 1  p2 

anterior queda como:  

v1  v 2 v1  p 2  p1 v1

(  1)

 

v 2 p 2  p1 v1 p v  p2 v2  1 1   Wcerrado (  1) (  1)

Para las transformaciones Politrópicas (pvn= cte), la ecuación del trabajo será la misma que la de las adiabáticas, pero sustituyendo el exponente adiabático γ por el politrópico n. 4.6.- ENERGÍA DISPONIBLE DE UN FLUJO.La disponibilidad de un flujo representa el máximo trabajo técnico que puede obtenerse del mismo. Un sistema da el máximo trabajo cuando se le somete a un proceso reversible desde el estado inicial hasta las condiciones del medio ambiente, no existiendo energía cinética ni potencial, ni ninguna otra fuente que no sea el medio ambiente. Consideremos un sistema sometido a un proceso de flujo permanente como el representado en la Fig.4.2 (el intercambio de calor es con el medio ambiente, cuyo estado viene definido por pa y Ta ). Si aplicamos el primer y segundo principio, tendremos:         c2 c2 1er Pr incipio  Q  W   m s  h s  s  g z s    m e  h e  e  g z e  2 2      



Q 2 Pr incipio   S   m s ss   m e se  Ta 0



Despejando Q de la segunda ecuación, sustituyendo en la primera y simplificando, se obtiene:      c 2e cs2  g z s  T a s s   T a S  g ze  Ta s e    ms  hs  W   m e  he  2 2     



(4.17)

que es el trabajo real realizado durante el proceso y que coincide con el trabajo técnico, ya que en los dispositivos de flujo permanente no hay trabajos efectuados por o contra los alrededores. El trabajo reversible se obtendrá en ausencia de rozamientos, es decir, cuando la entropía generada sea nula; luego:        c2 c2 Wrev   me  he  e  g z e  Ta s e    m s  hs  s  g z s  Ta s s  2 2    

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(4.18)

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Considerando una única corriente de flujo (m1 para la entrada y m2 para la salida), la ec.4.18 se convierte en:    c 2  c 22 W rev  m  h1  h 2   T a s 1  s 2   1  g z1  z 2  2  c12  c 22 Wrev   h1  h2   Ta  s1  s2    g  z1  z2  2

  

o bien : (4.19)

Por tanto, identificando el estado de entrada con un estado determinado (p, T) y el de salida con el medio ambiente (pa , Ta) , y teniendo en cuenta que edisp. = Wrev , la energía disponible de un flujo vendrá dada, según la ec.4.19, por:

ed   h  ha   Ta  s  s a  

c2 g z 2

siendo :

c 0

0

y

z 0  0

que al despreciar el término g z , se convierte en:

c2 e d  h  ha   Ta s  s a   2

(4.20)

4.7.- EXERGÍA.La energía total de un flujo viene dada por la ec.4.6 , donde los términos de energía cinética y potencial son totalmente disponibles; mientras que la entalpía tiene parte disponible y no disponible. Si despreciamos el término de energía potencial y teniendo en cuenta además la ec.4.20, podremos escribir:     exergía  h d  h  h a   Ta s  s a  c2  ed   h  ha   Ta  s  sa   2 

e d  hd 

c2 2

(4.21)

es decir, que se da el nombre de exergía a la parte disponible de la entalpía. Esta ecuación coincidirá con la energía disponible de un flujo cuando la variación de energía cinética sea despreciable. A la parte no disponible de la entalpía se le llama anergía, y su expresión es:

h  hd  hnd

42

 anergía  hnd  h  hd  ha Ta s  s a 

(4.22)

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4.8.- TOBERAS Y DIFUSORES. 4.8.1.- Velocidad del sonido en un gas. Número de Mach.La velocidad del sonido en un gas se define como la velocidad a la cual una onda de presión infinitesimal viaja a través del medio. Consideremos una tubería llena de un fluido en reposo y un émbolo que se desplaza sin rozamiento (Fig.4.4) de izquierda a derecha con velocidad constante da  , creando una onda sónica. El frente de onda se moverá hacia la derecha a través del fluido a la velocidad del sonido a , separando el fluido en movimiento (el que está junto al émbolo) del que está en reposo. El fluido que está a la izquierda del frente de onda incrementa sus propiedades termodinámicas, mientras que el de la derecha no sufre ninguna variación. da

a  da

a

a

p  dp

p

p  dp

p

 d 



 d 



h  dh

h

h  dh

h

Fig.4.4.- Propagación de una onda de presión Fig.4.5.- Volumen de control moviéndose con el frente de onda

El estudio se simplifica considerando un volumen de control que encierra el frente de onda y se desplaza con él (Fig.4.5). Un observador que viajase con el frente de onda vería el fluido de la derecha moviéndose hacia el frente con velocidad a ; el de la izquierda alejarse del frente con velocidad  a  da y al frente de onda en reposo. Por tanto, se trata de un proceso de flujo permanente. Aplicando el principio de conservación de la masa: 



m derecha  mizquierda   a A     d   A a  da 

(4.23)

Despreciando los términos de orden superior, tendremos:

a d   da

(4.24)

Considerando que no existe paso de calor ni trabajo a través de los límites del volumen de control y depreciando la energía potencial, la ecuación de la energía quedará como:

h

a  da 2 a2  h  dh   2 2



dh  a da

(4.25)

La propagación de una onda sonora puede considerarse como un proceso isentrópico y por tanto, por el primer principio podremos escribir: dp T ds  dh  v dp  dh  v dp  (4.26)



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Combinando las ecs.4.24, 4.25 y 4.26, se obtiene:

 p   p        f  , p , v  a 2      s    T

(4.27)

y para el caso concreto de un gas perfecto:

 p    R T    a 2           R T    T  T



a   RT

(4.28)

que nos dice que la velocidad del sonido, en el caso de un gas perfecto, es sólo función de la temperatura. Otro parámetro importante al analizar un flujo compresible es el número de Mach

M  , que se define como el cociente entre la velocidad real del fluido y la velocidad del sonido, es decir:  Si M  1  Flujo sónico  donde :  Si M  1  Flujo subsónico  Si M  1  Flujo supersónico 

c M  a

(4.29)

4.8.2.- Flujo adiabático.Un flujo permanente a través de un conducto (tobera, difusor, etc.) se produce de forma adiabática y sin ningún tipo de trabajo; por tanto, la ecuación de la energía quedará como:

c 22  c 12  h1  h 2 (4.30) 2 que nos dice que para un flujo adiabático a través de un conducto, una disminución de entalpía provoca un aumento de la energía cinética con independencia de que existan o no rozamientos internos. h

p1  Cte

h1

1

hS h2 h2S

h

h

2 2s

p 2  Cte

p 2  Cte

p1  Cte

2 1

2s

s Fig.4.6.- Tobera con y sin rozamiento en diagrama h-s

s Fig.4.7.- Difusor con y sin rozamiento en h-s

En la Fig.4.6 vemos que para igualdad de condiciones de entrada y salida, el incremento de entalpía teórico (sin rozamiento) es mayor que el real (con rozamiento), es decir que hs  h , y por tanto al sustituirlo en la ec.4.30 resultará que c2  c 2 S , algo 44

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que era de esperar ya que en el caso de rozamiento el flujo resulta frenado y por tanto su velocidad disminuye. Análogamente podemos analizar el caso del difusor (Fig.4.7), donde ahora se cumplirá que c2  c2 S . El rendimiento de la tobera se define como el cociente entre la energía cinética real y la teórica (Fig.4.6), y el del difusor como el cociente entre la energía cinética teórica y la real (Fig.4.7), es decir:

Tobera 

c 22  c 12 h  h2 h  1  2 2 h1  h2 S  hS c 2 S  c1

; Difusor 

c 21  c 22S h  h1  hS  2S  2 2 h 2  h1 h c1  c 2

(4.31) y (4.32)

4.8.3.- Flujo isentrópico. Variación de la velocidad del fluido con el área del flujo.El flujo de un fluido a través de toberas y difusores puede aproximarse con gran exactitud a un flujo isentrópico. La ecuación de la energía para un flujo isentrópico en el que no hay ningún tipo de trabajo adoptará la siguiente forma:

c dc  v dp  0 o bién : c dc

dp



0

(4.33)

Por otro lado, teniendo en cuenta la ecuación de conservación de la masa para un flujo permanente, y diferenciando, se obtiene: 

m

 c A dc dA d   A c  ln c  ln A  ln   ln m    0  v c A

(4.34)

Combinando las ecs.4.33 y 4.34, se tiene:

dA dp  1 d   ...