Tema 6B. Ejercicios resueltos Modelo atómico de Bohr PDF

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL PERÍODO 2020 B

Clase No: 10

FUNDAMENTOS DE QUÍMICA Tema de la clase: MODELO ATÓMICO DE BOHR: EJERCICIOS Ejercicios de aplicación:

1) Calcular la velocidad que tiene el electrón del átomo de hidrógeno cuando se encuentra en estado fundamental. La velocidad es dependiente del radio y este es función del número de órbita por lo que es necesario obtener este dato, al estar en el estado fundamental n es igual a 1 y como el átomo corresponde al hidrógeno Z toma el valor de 1. Por lo tanto:

𝑟=

𝑎𝑜 · 𝑛2 0,53 Å · (12) = 𝑍 1 𝒓 = 𝟎, 𝟓𝟑 Å

Una vez obtenido el radio se procede a obtener la velocidad: 𝑣2 =

𝑧 · 𝑒2 𝑚·𝑟

1Å 1 · (4,8𝑥10−10 𝑢𝑒𝑠)2 1 𝑒𝑟𝑔 · 𝑐𝑚 1 𝑔 · 𝑐𝑚2 · 𝑠 −2 · 𝑣=√ · · −8𝑐𝑚 2 1 𝑒𝑟𝑔 −28 1𝑥10 1 𝑢𝑒𝑠 9,1𝑥10 𝑔 · 0,53 Å 𝒗 = 𝟐, 𝟏𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖

𝒄𝒎 𝒔

2) La energía emitida por el átomo de hidrógeno en cierta transición electrónica es 2,55 eV. Calcular el radio de la órbita en la que se encontraba el electrón (Å) y su energía potencial (eV), antes de que ocurra la transición. (Cuaderno de trabajo 2018-A, ejercicio 47, p. 16). La energía emitida en una transición electrónica es igual a la energía de radiación de un fotón emitido, por lo que: 𝐸𝑓 =

ℎ ·𝑐 𝜆

→

𝜆=

ℎ·𝑐 𝐸𝑓

Reemplazando datos se obtiene: 𝜆=

6,63𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 1Å 1 𝑒𝑉 𝑐𝑚 · · · 3𝑥1010 𝑠 1,6𝑥10−12 𝑒𝑟𝑔 10−8𝑐𝑚 2,55 𝑒𝑉 𝝀 = 𝟒𝟖𝟕𝟓 Å

1

Con base a la longitud de onda, esta corresponde a la serie de Balmer. Por lo tanto, n1= 2 y asociando el cuarto postulado de Bohr con la energía del fotón, se obtiene la órbita: 𝐸𝑓 = 𝐵 · 𝑍2 (

1

𝑛21

−

1 ) 𝑛22

ℎ ·𝑐 1 1 = 𝐵 · 𝑍2 ( 2 − 2 ) 𝑛1 𝑛2 𝜆

𝑐𝑚 1 1 1Å 1 𝑒𝑉 6,63𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 = 13,6 𝑒𝑉 · 12 ( 2 − 2 ) · · · 3𝑥1010 2 𝑠 1,6𝑥10−12 𝑒𝑟𝑔 1𝑥10−8𝑐𝑚 𝑛2 4875 Å Otra forma de calcular 𝒏𝟐

𝐸𝑓 = 𝐵 · 𝑍2 (

1 1 − ) 𝑛21 𝑛22

2,55 𝑒𝑉 = 13,6𝑒𝑉 · 12 (

1 1 − ) 22 𝑛22

𝒏𝟐 = 𝟒 ó𝒓𝒃𝒊𝒕𝒂 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍

Una vez obtenida la órbita de salida, se procede a calcular el radio: 𝑟=

𝑎𝑜 · 𝑛2 0,53 Å · (42) = 1 𝑍 𝒓 = 𝟖, 𝟒𝟖 Å

Calculando la Ep antes de que ocurra la transición (órbita inicial): 𝑬𝒑 = − 𝑬𝒏 = − 𝑬𝒏 = −

𝑍 · 𝑒2 𝑟

𝑍 · 𝑒2 2𝑟

𝐵 · 𝑧2 𝑛2

𝑬𝒑 = 𝟐 · (− 𝐸𝑝 = 2 · (−

𝑩 · 𝒁𝟐 ) 𝒏𝟐

13,6𝑒𝑉 · 1 2 ) 42

𝑬𝒑 = −𝟏, 𝟕 𝒆𝑽

2

3) El ion 𝐗 +𝟐 que cumple con la teoría de Bohr emite un fotón de 5,95 eV cuando su electrón pasa a la tercera órbita. ¿Qué velocidad (cm/s) tenía el electrón antes de que ocurra la transición? Aplicando el cuarto postulado de Bohr con la energía del fotón, se obtiene la órbita de salida: Por otra parte, la especie X +2 corresponde al catión de Li entonces Z = 3. 𝐸𝑓 = 𝐵 · 𝑍2 (

1

𝑛21

−

1 ) 𝑛22

5,95 𝑒𝑉 = 13,6 𝑒𝑉 · 32 ( 𝑛2 = 4

1 1 − ) 32 𝑛22

Una vez obtenida la órbita de salida, se procede a calcular el radio y la velocidad: 𝑟=

𝑎𝑜 · 𝑛2 0,53 Å · (42) = 𝑍 3 𝒓 = 𝟐, 𝟖𝟑 Å 𝑣2 =

𝑧 · 𝑒2 𝑚·𝑟

3 · (4,8𝑥10−10 𝑢𝑒𝑠)2 1 𝑒𝑟𝑔 · 𝑐𝑚 1 𝑔 · 𝑐𝑚2 · 𝑠 −2 1Å 𝑣=√ · · · 2 −8𝑐𝑚 −28 1 𝑢𝑒𝑠 1 𝑒𝑟𝑔 1𝑥10 9,1𝑥10 𝑔 · 2,83 Å 𝒗 = 𝟏, 𝟔𝟑𝒙𝟏𝟎𝟖

𝒄𝒎 𝒔

4) Calcular la velocidad y la energía cinética que tiene el electrón del átomo de hidrógeno cuando se encuentra en la tercera orbita. La velocidad es dependiente del radio, por lo tanto, se procede a calcular este parámetro . El valor de Z es 1 por tratarse del átomo de hidrógeno.

De modo que:

𝑟=

𝑎𝑜 · 𝑛2 0,53 Å · (32) = 4,77 Å = 1 𝑍 𝑣2 =

𝑍 · 𝑒2 𝑚·𝑟

1 · (4,8𝑥10−10 𝑢𝑒𝑠)2 1 𝑒𝑟𝑔 · 𝑐𝑚 1 𝑔 · 𝑐𝑚2 · 𝑠 −2 1Å 𝑣=√ · · · 1 𝑢𝑒𝑠 2 1 𝑒𝑟𝑔 1𝑥10−8𝑐𝑚 9,1𝑥10−28 𝑔 · 4,77 Å 𝒗 = 𝟕, 𝟐𝟖𝒙𝟏𝟎𝟕

𝒄𝒎 𝒔

Además de la energía total se puede deducir que:

3

𝐸𝑐 = −𝐸𝑛 = −(−

𝐵 · 𝑍2 𝑛2

)=

𝑬𝒄 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒆𝑽

13,6 𝑒𝑉 · 12 32

5) En cierta órbita del hidrogen-ión X+1 el momento angular tiene un valor de 3,166 x 10 -27 erg.s calcular la distancia a la que se encuentra el electrón del núcleo y su velocidad. La velocidad es dependiente del radio y a este parámetro se define como la distancia del electrón al núcleo y a su vez, este es función del número de órbita por lo que es necesario obtener este dato. Por otra parte, la especie X +1 corresponde al catión de He entonces Z = 2. Para obtener n del momento angular, se tiene que: 𝑛·

𝑛· 𝑛=

Por lo tanto:

ℎ = 𝑚·𝑣·𝑟 2𝜋

ℎ = 3,166𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 2𝜋

3,166𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 · 2𝜋 =3 6,63𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 𝑟=

𝑎𝑜 · 𝑛2 0,53 Å · (32) = 2 𝑍 𝒓 = 𝟐, 𝟑𝟗 Å

Una vez obtenido el radio podemos obtener la velocidad 1Å 2 · (4,8𝑥10−10 𝑢𝑒𝑠)2 1 𝑒𝑟𝑔 · 𝑐𝑚 1 𝑔 · 𝑐𝑚2 · 𝑠 −2 · · 𝑣=√ · 1 𝑒𝑟𝑔 1𝑥10−8𝑐𝑚 1 𝑢𝑒𝑠 2 9,1𝑥10−28 𝑔 · 2,39 Å 𝒗 = 𝟏, 𝟒𝟓𝒙𝟏𝟎𝟖

𝒄𝒎 𝒔

6) Calcular la energía cinética, potencial y de la órbita del electrón en el cuarto nivel de la especie X+2 La especie X+2 corresponde al catión de Li por lo que Z = 3, entonces: 𝐸𝑛 = − 𝐸𝑛 = −

𝐵 · 𝑍2 𝑛2

13,6 𝑒𝑉 · 32 42

𝑬𝒏 = −𝟕, 𝟔𝟓 𝒆𝑽

De la teoría de Bohr se puede inferir que: 𝐸𝑐 = −𝐸𝑛

𝑬𝒄 = 𝟕, 𝟔𝟓 𝒆𝑽

4

𝐸𝑛 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝

Y adicionalmente:

𝐸𝑝 = 𝐸𝑛 − 𝐸𝑐

𝐸𝑝 = −7,65 𝑒𝑉 − 7,65 𝑒𝑉 𝑬𝒑 = −𝟏𝟓, 𝟑 𝒆𝑽

7) Si la energía total del electrón es -13,6 eV, calcule su energía en kJ/mol. La cantidad de energía total en una órbita es de un electrón, por lo tanto, se puede expresar este valor como eV/e- y transformarlo a kJ/mol 𝑒𝑉 1,6𝑥10−19 𝐽 1 𝑘𝐽 6,022𝑥1023𝑒 − · · · 1 𝑚𝑜𝑙 1000 𝐽 1 𝑒𝑉 𝑒−

𝐸𝑛 = −13,6

𝑬𝒏 = −𝟏𝟑𝟏𝟎, 𝟑𝟗

𝒌𝑱 𝒎𝒐𝒍

8) La energía emitida por el átomo de hidrógeno en cierta transición electrónica es 3,022 eV. Calcular la longitud de onda del fotón, la serie del hidrógeno a la que pertenece este fenómeno, el radio de la órbita del electrón (Å), el momento angular (erg.s) y su energía potencial (eV), antes de que ocurra la transición. La energía emitida en una transición electrónica es igual a la energía de radiación de un fotón emitido, por lo que: 𝐸𝑓 =

ℎ·𝑐 𝜆

→

𝜆=

ℎ·𝑐 𝐸𝑓

Reemplazando datos se obtiene: 𝜆=

1Å 1 𝑒𝑉 𝑐𝑚 6,63𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 · · · 3𝑥1010 𝑠 1,6𝑥10−12 𝑒𝑟𝑔 1𝑥10−8𝑐𝑚 3,022 𝑒𝑉 𝝀 = 𝟒𝟏𝟏𝟑, 𝟓𝟖 Å

Con base a la longitud de onda, esta corresponde a la serie de Balmer. Por lo tanto, n1= 2 y asociando el cuarto postulado de Bohr con la energía del fotón, se obtiene la órbita antes de que ocurra la transición: 𝐸𝑓 = 𝐵 · 𝑍2 (

6,63𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 4113,58 Å

1 1 − ) 𝑛21 𝑛22

1 1 ℎ ·𝑐 = 𝐵 · 𝑍2 ( 2 − 2 ) 𝜆 𝑛1 𝑛2

· 3𝑥1010

𝑐𝑚 1 1 1Å 1 𝑒𝑉 = 13,6 𝑒𝑉 · 12 ( 2 − 2 ) · · 2 𝑠 1,6𝑥10−12 𝑒𝑟𝑔 1𝑥10−8𝑐𝑚 𝑛2 𝒏𝟐 = 𝟔

Una vez obtenida la órbita de salida, se procede a calcular el radio y el momento angular:

5

𝑎𝑜 · 𝑛 2

𝑟=

𝑍

=

0,53 Å · (62) 1

𝒓 = 𝟏𝟗, 𝟎𝟖 Å

𝑚·𝑣 ·𝑟 = 𝑛 · 𝑚·𝑣 ·𝑟 = 6·

ℎ 2𝜋

6,63𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 2𝜋

𝒎 · 𝒗 · 𝒓 = 𝟔, 𝟑𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕 𝒆𝒓𝒈 · 𝒔

Finalmente, del tercer postulado podemos obtener la E p antes de que ocurra la transición: 𝐸𝑛 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 𝐸𝑝 = 𝐸𝑛 − 𝐸𝑐

𝐸𝑝 = 𝐸𝑛 − (−𝐸𝑛 ) 𝐸𝑝 = 2𝐸𝑛

𝐸𝑝 = 2 · (− 𝐸𝑝 = 2 · (−

𝐵 · 𝑍2 ) 𝑛2

13,6𝑒𝑉 · 12 ) 62

𝑬𝒑 = −𝟎, 𝟕𝟔 𝒆𝑽

9) Para un ion que cumple con la teoría de Bohr cuando su electrón sufre una transición desde una órbita en donde su energía es -1,51 eV y de radio igual a 9,54 Å, emite un fotón con una longitud de onda de 1028,23 Å. ¿Qué velocidad (cm/s) tiene el electrón después de ocurrida la transición? Los datos proporcionados de la energía y el radio pertenecen a una misma orbita, por lo tanto, se pueden relacionar entre sí con la finalidad de obtener los parámetros desconocidos y comunes en las ecuaciones que los describen: 𝑟= 9,54 Å =

𝑎𝑜 · 𝑛 2 𝑍

0,53 Å · 𝑛2 𝑍

𝐸𝑛 = − (1)

− 1,51 𝑒𝑉 = −

𝐵 · 𝑍2 𝑛2

13,6 𝑒𝑉 · 𝑍2 (2) 𝑛2

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones entre (1) y (2) se pueden obtener la órbita y el numero atómico, resultando Z = 2 y n2 = 6. Nótese que a n se le asigna la notación n2, puesto que, para el análisis bajo el cuarto postulado del Bohr n2 es desde donde parte el electrón en una emisión de fotones, entonces se calcula n1:

6

ℎ ·𝑐 6,63𝑥10−27𝑒𝑟𝑔 · 𝑠 1028,23 Å

· 3𝑥1010

𝜆

12 ) 1 = 𝐵 · 𝑍2 ( 𝑛21 − 𝑛2

𝑐𝑚 1 1 1Å 1 𝑒𝑉 = 13,6 𝑒𝑉 · 22 ( 2 − 2) · · 𝑠 1,6𝑥10−12 𝑒𝑟𝑔 1𝑥10−8𝑐𝑚 𝑛1 6 𝒏𝟏 = 𝟐

Finalmente, obtenemos el radio y la velocidad en la órbita 2 a la cual llega el electrón después de la transición: 𝑟=

𝑎𝑜 · 𝑛2 0,53 Å · (22) = 2 𝑍 𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟔 Å 𝑣2 =

𝑣=√

𝑍 · 𝑒2 𝑚·𝑟

1 𝑒𝑟𝑔 · 𝑐𝑚 1 𝑔 · 𝑐𝑚2 · 𝑠 −2 1Å · · 1 𝑒𝑟𝑔 1𝑥10−8𝑐𝑚 1 𝑢𝑒𝑠 2 9,1𝑥10−28 𝑔 · (1,06 Å) 2 · (4,8𝑥10−10 𝑢𝑒𝑠)2

·

𝒗 = 𝟐, 𝟏𝟖𝑥𝟏𝟎 𝟖

𝒄𝒎 𝒔

7...