Tema 7- Contrastes modelo Fisher PDF

Preview

Summary

Tema 7. COntrastes de modelo Fisher. Prof. Marola...

Description

ESTADÍSTICA INFERENCIAL______________________________________CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Modelo Fisher

8

CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Modelo Fisher

El contraste de hipótesis consiste en juzgar si cierta propiedad supuesta para una población (valor de un parámetro) es compatible con lo observado en una muestra extraída aleatoriamente de ella. Hay diferentes procedimientos de inferencia estadística para realizar los contrastes. En este curso nos vamos a centrar en los métodos clásicos paramétricos. Se denominan clásicos porque son empíricos y sólo emplean la información facilitada por la muestra para probar la hipótesis. Son métodos paramétricos ya que suponen que los datos han sido extraídos de una población con distribución conocida (normal). Hay dos métodos para contrastar las hipótesis: - Modelo de Fisher - Modelo de Neyman-Pearson

8.1 Modelo de Fisher Está basado en la teoría de Fisher y se corresponde a los primeros métodos de contraste. Consiste en proponer una hipótesis con el objetivo de que sea rechazada, de ahí que el nombre que recibe es hipótesis nula. En general se propondrá como hipótesis estadística lo contrario de lo que piensa el investigador, así si el opina que existe una relación entre dos variables, propondrá como hipótesis nula Ho:ρ=0. La razón por la que la hipótesis se plantea para ser rechazada es que todo el modelo se sustenta en seguir el razonamiento considerándola verdadera, cuando el estadístico de contraste presenta una probabilidad de ocurrencia muy pequeña indicaría que no se puede mantener conociéndose la probabilidad de error en el caso de ser verdadera, sin embargo, si la probabilidad de ocurrencia fuera elevada, la hipótesis sería mantenible, pero no se conocería la probabilidad de error en el caso de ser falsa.

8.1.1 Procedimiento El procedimiento que siguen todos los contrastes que se basan en este modelo es: 1. Se propone una hipótesis estadística que recibe el nombre de hipótesis nula (Ho) y que siempre debe contener la igualdad. 2. Se fija el Nivel de confianza o de significación (α) en función de la probabilidad de ocurrencia del estimador si la hipótesis planteada fuera cierta.

Mª del Mar González-Tablas Sastre

52

ESTADÍSTICA INFERENCIAL______________________________________CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Modelo Fisher

3. Se elige el estimador y su distribución muestral fijando “n”. 4. Determinación de la región de aceptación y rechazo de la hipótesis. 5. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño “n” y se calcula el valor del estimador para esa muestra (estadístico de contraste) 6. Se toma una decisión sobre la hipótesis (aceptar o rechazar). 7. Se concluye Para explicar este procedimiento utilizaremos el siguiente ejemplo como guía:

Ejemplo 1 Debido a los cambios introducidos en los nuevos planes de estudios y los medios técnicos que se manejan en la actualidad ¿El CI medio de los chicos de 15 años es el mismo que el de la población general?. Para responder a esta pregunta podemos razonar como sigue: Sabemos que el CI medio 2

de la población general es 100 y la varianza es 15 . 1. Planteamiento de hipótesis: Consiste en especificar un valor para el parámetro implicado y así poder responder a la pregunta que se plantea. Siguiendo este ejemplo proponemos la hipótesis: El CI medio de los chicos de 15 años es cien. Ho: µ=100 2. Nivel de significación (α): Es la probabilidad de rechazar la hipótesis siendo verdadera y determina la región de rechazo de la misma. Es fijado por el investigador quien puede ajustarlo a un valor tan pequeño como quiera, pero nunca cero. En los trabajos de investigación el alpha máximo aconsejado es 0,05, luego 0 < α ≤ 0.05 En el ejemplo decidimos α=0.05 3. Elección del estimador y distribución muestral: En función de la hipótesis planteada se opta por el estimador que mejor aprecie el parámetro. En nuestro ejemplo el estimador media de CI de los chicos de 15 años es el más adecuado. Se distribuye normalmente con media µ=100 y varianza σ CI = 2

15 2 ya que no existen razones para pensar que la varianza n

de esta subpoblación sea diferente a la que presenta la población general. El tamaño muestral debe ser lo suficientemente pequeño para poder considerar a la población infinita, y lo suficientemente grande para tener un buen estimador. En este ejemplo decidimos un tamaño muestral n=225; entonces la desviación típica de la distribución muestral del estimador es: σ CI =

Mª del Mar González-Tablas Sastre

152 =1 225 53

ESTADÍSTICA INFERENCIAL______________________________________CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Modelo Fisher

Figura 7. 1 Distribución muestral del estimador media de CI de los chicos de 15 años

La Figura 7.1 representa la distribución muestral de nuestro estimador CI225, que según hipótesis será como sigue: N(100;1). 4. La región de rechazo fijada por alpha está situada a ambos extremos de la distribución y por ser normal, los valores en z que delimitan esta región son: α

2

z critico = 0,025z critico = −1,96

1− α 2

z critico = 0, 975z critico = 1,96

Reciben el nombre de puntos críticos. Transformados a valores directos: 0,0 2 5

CIcritico = µ + 0, 0 2 5 zcritico × σ CI = 100 − 1,96 × 1 = 98, 04

0,9 7 5

CIcritico = µ + 0, 9 7 5 zcritico × σ CI = 100 + 1,96 × 1 = 101, 96

Por lo tanto si la hipótesis µ=100 es verdadera, la probabilidad de obtener valores del estimador CI225 (medias de CI225) menores que 98,04 o superiores a 101,96 es α=0,05, es decir, sólo 5 de cada cien muestras de tamaño n=225 que extrajéramos de la población de CI de chicos de 15 años, tendrían unos valores de media menores a 98,04 o mayores a 101,96. Contrastar la hipótesis consiste en decidir a partir de la probabilidad de ocurrencia de un valor del estimador (estadístico de contraste), si podemos mantener la hipótesis o por el contrario tenemos que rechazarla. 5. Siguiendo con el ejemplo, tomamos una muestra aleatoria de la población de tamaño n=225 y obtenemos 225 valores de CI de chicos de 15 años. Calculando su media obtenemos un valor CI225=103. El estadístico así obtenido se le conoce como estadístico de contraste; transformamos este valor a puntuaciones típicas: z=

estadístico de contraste

CI 225 − µ

σ CI

=

103 − 100 =3 1

La probabilidad asociada al estadístico de contraste es pa=0,002.

Mª del Mar González-Tablas Sastre

54

ESTADÍSTICA INFERENCIAL______________________________________CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Modelo Fisher

6. Decisión estadística: el estadístico de contraste z=3 es mayor en valor absoluto a los puntos críticos z=1,96

Figura 7. 2 Situación del estadístico de contraste en la región de rechazo de hipótesis

En la figura 7.2 vemos que el estadístico de contraste se sitúa en la región de rechazo y que su probabilidad asociada (pa=0,002) en el caso de que la hipótesis planteada fuera verdadera es menor que α=0,05, por tanto decidimos rechazar dicha hipótesis. 7. Concluimos que nuestros datos nos permiten afirmar que la media en inteligencia de los chicos de 15 años no es 100. Riesgo de hacer una afirmación errónea de 0,05.

Ejemplo 2 Vamos a ver el caso contrario a través de otro ejemplo. Se sospecha que debido a la mejora de la alimentación, la altura media de los españoles se ha incrementado con relación a los 165 cm que medían en promedio hace diez años. Varianza poblacional σ2=20. 1. Planteamiento de hipótesis estadística: Ho:µ...