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Resumend el teorema de bayes, ejemplos y demostraciones...

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Teorema de Bayes y su aplicación en la ingeniería industrial

Marco Rodriguez Tapia Facultad de Ciencias Químicas, Universidad de Cuenca, Av. 12 de abril s/n, Cuenca, Ecuador. Autor para correspondencia: [email protected] Fecha de recepción: 28 de junio 2016

RESUMEN

1.

INTRODUCCIÓN

El teorema de Bayes, en el campo de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático y ministro presbiteriano Thomas Bayes. Nacido en Londres, Inglaterra en el año 1702 dedicó gran parte de su vida al estudio de las matemáticas, y en sus últimos años profundizó en la probabilidad. Fue miembro de la Real Sociedad de Londres para el avance de la Ciencia Natural desde 1742, a pesar de haber publicado anónimamente un único libro de matemáticas (An Introduction to the Doctrine of Fluxions, 1736). Bayes falleció en el año de 1761 en Royal Tunbridge Wells, Inglaterra. Su trabajo sobre teoría de la probabilidad, de donde se originaría el llamado enfoque bayesiano, no fue conocido hasta después de su fallecimiento. Su obra póstuma, Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1764), traducido como “Ensayo hacia la resolución del problema de la doctrina de las probabilidades”, encontrada entre sus papeles contribuyó de manera significativa al desarrollo de la estadística moderna. En esta obra Thomas Bayes estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de los efectos observados. El teorema que lleva su nombre se refiere a la probabilidad de un suceso que se presenta como suma de diversos sucesos mutuamente excluyentes.

2.

MATERIALES Y MÉTODOS

2.1. Descripción y explicación del teorema de Bayes En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado un evento B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado el evento A y la distribución de probabilidad marginal de sólo el evento A. [CITATION BOX92 \l 22538 ] Los cimientos del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con datos o información limitados fueron descubiertos por Bayes. La fórmula básica para la probabilidad condicional en

circunstancias de dependencia es conocida como teorema de Bayes[ CITATION Ric04 \l 22538 ] y se representa de la forma más simple: P(A|B) = P(B∩A)/P(A) Y debido a la igualdad P(A∩B) = P(B∩A), desarrollando se tiene que P(A∩B) = P(A|B) *P(B) y que P(B∩A) = P(B|A) *P(A), por lo que el teorema de Bayes se puede representar entonces de estas 2 maneras: P(A|B) = P(B∩A)/P(A) P(A|B) = P(B|A) *P(A) /P(B). En términos generales este enunciado es de gran relevancia, puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. El teorema también es conocido como el teorema de las causas, y es utilizado para obtener diversos relacionados con probabilidad condicional.[ CITATION Pau98 \l 22538 ].

2.2 Concepto previo: teorema de la probabilidad total Para poder entenderse a profundidad el teorema de Bayes, es necesario introducir el concepto del teorema de la probabilidad total, este afirma lo siguiente: sea A1, A2, … ,An una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai) , entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión: n

P ( B ) =∑ P ( B|A i )∗ P ( Ai )

.

i=1

Y se demuestra de la siguiente manera: por hipótesis tenemos una partición A1, A2, … ,An del espacio muestral Ω. Por lo tanto, el suceso B se puede escribir como: B=(B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ … ∪ (B∩An). Ahora bien, los conjuntos B∩Ai son disjuntos dos a dos, ya que en caso contrario los Ai tampoco lo serían. En consecuencia: P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2) + … + P(B∩An). Por último, se sabe que P(C∩D) = P(C|D) *P(D) para cualesquiera sucesos C y D, posteriormente se demuestra: n

P(B)=P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + … + P(B|An) * P(An) =

P ( B| Ai )∗P ( A i ) ∑ i=1

.

2.3 Demostración del teorema de Bayes Dados los conceptos previos, se procede con la demostración del teorema de Bayes. Se tiene que la probabilidad de cualquiera de los eventos A i en caso de haberse dado el evento B está dado por: P( A i /B). Por definición de probabilidad condicional se tiene:

P( A i

|B) = P(B∩A1) / P(B)

P( A i |B) = P(Ai) * P(B|Ai) / P(B)

P ( Ai∨ B )=

P( A i)∗P(B∨ A i) n

∑ P ( B|Ai ) ∗P ( A i ) i=1

reemplazando P(B), por el resultado del teorema de la probabilidad total, se obtiene el teorema de Bayes. El Teorema de Bayes nos ofrece un importante método estadístico para evaluar nuevos datos y revisar estimaciones que se habían expresado con anterioridad basadas en limitada información de probabilidad en donde los datos se encuentran en un solo estado[ CITATION Ric04 \l 22538 ]. Si se utiliza de manera correcta, se necesita obligatoriamente reunir una gran cantidad de datos en un lapso grande de tiempo con el objetivo de tomar mejores decisiones basadas en la probabilidad.[CITATION Les11 \l 22538 ] El teorema es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. El teorema de Bayes puede ser utilizado en todos los campos de aplicación de teoría de la probabilidad. El teorema puede ser adecuado para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando se recibe información adicional de un experimento. La utilidad de la estadística bayesiana está expuesta en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y admitir revisar esas estimaciones en función de la demostración[ CITATION Sil01 \l 22538 ].

2.4 Ejemplo del teorema de Bayes Habiéndose explicado y demostrado el teorema, se procede a mostrar un ejemplo sencillo y práctico que ayudará a entender el proceso de resolución de un problema de probabilidad condicional. Una fábrica dispone de 3 maquinas para realizar el ensamblaje de cocinas. El uso de cada máquina en la fábrica es de 55% la primera, 33% la segunda y 12% la tercera. Sabiendo que los equipos tienen probabilidades de crear un producto defectuoso de 0.1%, 0.01% y 0.05% respectivamente. La fábrica generó 1 cocina defectuosa en el día. Determine la probabilidad de que haya sido ensamblada por la segunda máquina. Definimos los sucesos: Suceso P: Selección de la primera máquina Suceso Q: Selección de la segunda máquina Suceso R: Selección de la tercera máquina Suceso X: Selección de una cocina defectuosa Se puede observar se requiere determinar la probabilidad de que una cocina defectuosa sea de la segunda máquina, es decir, ya se ha creado el producto defectuoso. Por lo tanto, se usa teorema de

Bayes. Es necesario de igual manera obtener la probabilidad de que las máquinas produzcan una cocina defectuosa, por lo tanto:

P ( Q|X )=

P ( Q )∗P( X∨Q ) ∗P +P ( ) ( ) ( Q )∗P ( P|Q )+P ( R ) ∗P ( R| Q ) PP P|Q

P ( Q|X )=

0.33∗0.0001 0.000033 = =0.034 ≈3.48 % 0.55∗0.001 + 0.33∗0.0001+0.12∗0.0005 0.000946

2.5 Aplicación del teorema de Bayes en la ingeniería industrial El teorema de Bayes tiene un abanico muy amplio de aplicaciones, tanto en situaciones simples o actividades diarias, o en situaciones complejas y muy importantes que se pueden dar en el sector de la Ingeniería. En el caso de la Ingeniería Industrial el teorema de Bayes es de gran importancia ya que se utiliza la probabilidad y la estadística para cualquier ámbito, ya sea un proyecto, experimento o incluso con más impacto en sistemas de producción, seguridad industrial, administración de recursos o procesos de innovación y mejoramiento. En todos estos procesos se requiere el uso de probabilidades para la estimación de errores, o para la comprobación del correcto funcionamiento de ciertos procesos, no obstante, para obtener resultados se debieron haber dado sucesos previos, de los cuales se obtiene información o datos que se usan para calcular el porcentaje de efectividad de la actividad que se esté desarrollando. Se puede usar el ejemplo de la sección anterior como una aplicación en la industria de ensamblaje de máquinas, en este caso cocinas, y el teorema de Bayes es aplicado para determinar el porcentaje de error que puede darse en determinada máquina, todo esto con información previa recolectada, como el porcentaje de uso y el porcentaje de fallas en el ensamblaje. Otra aplicación diferente sería la seguridad industrial en ciertas fábricas, ya que se pueden recopilar datos de los accidentes ocurridos con maquinaria, el nivel de capacitación de los operarios, y así ubicar de manera segura los operarios según el tipo de máquina y su nivel de capacitación para prever futuros accidentes. Aplicando el teorema en la administración de recursos se lograría determinar que procesos o qué maquinarias son los que usan menor recursos y a su vez tienen menos posibilidad de dañarse, dando como resultado una alta rentabilidad y se podría enfocar la producción a un solo tipo de procesos o maquinaria. Respecto a los procesos de mejoramiento e innovación se podría aplicar en la industria de los alimentos, se tendrían diversos procesos para fabricar el mismo alimento con diferente calidad, se recopilaría información y se podría encontrar qué tipos de procesos y en que orden producen los alimentos con mejor calidad, mejorando así la elaboración y en consecuencia la calidad global de los productos.

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