teorema di rollè preparazione per l\'esame e esercizi PDF

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teorema di rollè preparazione per l'esame e esercizi...

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Teorema di Rolle

analisi

enunciato

Se una funzione •

è continua nell’intervallo chiuso e limitato

•

è derivabile nei punti interni dell’intervallo

•

assume valori uguali agli estremi dell’intervallo

●

●

:

cioè allora esiste all’intervallo annulla, cioè

almeno un punto interno in cui la derivata prima si

dimostrazione

la prima ipotesi del teorema di Rolle è la stessa del teorema di Weierstrass, per cui la funzione ammette un massimo e un minimo assoluto nell’intervallo chiuso e limitato Chiamiamo il punto di massimo e il punto di minimo assoluto. Si possono presentano tre casi: primo caso

entrambi i punti ●

●

e

sono interni all’intervallo

Per il teorema di Fermat, se una funzione ha un massimo (o un minimo) in un punto, allora la derivata prima della funzione in quel punto ( e ) è nulla, cioè: e da cui la tesi secondo caso

solo uno dei due punti o è interno all’intervallo ad esempio il punto di massimo e l’altro coincide con uno degli estremi

●

●

●

anche in questo caso per il teorema di Fermat, la derivata prima della funzione in è nulla, cioè:

da cui la tesi terzo caso ●

●

entrambi i punti dell’intervallo

e

sono agli estremi

Se ed allora la funzione sarà costante e quindi la sua derivata prima è nulla in tutti i punti dell’intervallo , da cui la tesi in sintesi: il teorema di Weierstrass assicura la presenza di un massimo e di un minimo assoluto nell’intervallo e in tali punti per il teorema di Fermat la derivata prima è uguale a zero v 1.0

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