Teori Bilangan_Materi Pengantar OSN Bidang Matematika.pdf PDF

Preview

Summary

TEORI BILANGAN Nanang Susyanto Jurusan Matematika FMIPA UGM 1 Sistem Bilangan Bulat 1.1 Latar belakang Pada zaman dahulu, manusia hanya mengenal sistem bilangan asli N = {1, 2, 3, ...} Mereka hanya mengenal sistem bilangan tersebut karena pada waktu itu yang mereka butuhkan hanyalah menghitung sesua...

Description

TEORI BILANGAN Nanang Susyanto Jurusan Matematika FMIPA UGM

1 1.1

Sistem Bilangan Bulat Latar belakang

Pada zaman dahulu, manusia hanya mengenal sistem bilangan asli N = {1, 2, 3, ...} Mereka hanya mengenal sistem bilangan tersebut karena pada waktu itu yang mereka butuhkan hanyalah menghitung sesuatu yang mereka miliki atau mereka dapatkan. Sebagai contoh: menghitung hasil binatang buruan, menghitung banyak persediaan makanan yangmereka miliki, dan sebagainya. Akan tetapi, setelah selang waktu tertentu mereka merasakan binatang buruannya habis yang kemudian dilambangkan dengan simbol ”0”. Oleh karena itu, mereka mulai mengenal sistem bilangan cacah N0 = {0} ∪ N = {0, 1, 2, 3, ...} Seiring dengan adanya sistem barter, mereka menemui masalah ”jika setiap seekor kambing dapat ditukar dengan 10 ekor ayam, maka bagaimana jika saya mempunyai 7 ekor ayam yang ingin ditukarkan dengan seekor kambing?”. Tentu saja orang tersebut masih hutang/kurang 3 ekor ayam bukan? Kekurangan 3 ekor ini yang kemudian dilambangkan −3. Dari sini mereka mulai mengenal bilangan bulat Z = {.., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Perkembangan selanjutnya, jika seseorang mempunyai 1 buah apel sedangkan ia punya dua anak, maka untuk menuliskan kejadian ini mereka memberi simbol 21 . Dengan demikian, mereka mulai mengenal sistem bilangan rasional na o Q= |a dan b bilangan bulat dengan b 6= 0 b

1.2

Mengingat kembali notasi pada himpunan, relasi serta operasi dua himpunan

Secara umum, suatu himpunan kita notasikan dengan huruf kapital A, B, C, ... Dalam teori bilangan kita hanya akan bekerja pada sistem bilangan asli, cacah, bulat, dan yang paling luas kita akan bekerja pada sistem bilangan rasional. Untuk himpunan-himpunan tersebut, yaitu himpunan bilangan asli, cacah, bulat, dan rasional berturut-turut kita notasikan dengan N, N0 , Z, dan Q. Sedangkan untuk anggota-anggota dari suatu himpunan biasanya kita tulis dengan huruf kecil a, b, c, ... dan kita akan menggunakan lambang ∈ untuk menyatakan anggota/elemen dan ∈ / untuk bukan anggota. sebagai contoh: Misalkan A = {1, 2, 3}, maka 1 ∈ A tetapi 5 ∈ / A.

14

1.2.1

Relasi dua himpunan

1. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B kita tulis dengan A ⊆ B jika untuk setiap x ∈ A maka x ∈ B. 2. Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B kita tulis dengan A = B jika A ⊆ B dan B ⊆ A. 3. Himpunan B dikatakan komplemen dari himpunan A kita tulis dengan B = Ac atau B = A′ jika himpunan B berisi semua anggota dari himpunan semesta yang bukan anggota himpunan A. 1.2.2

Operasi dua himpunan

1. Irisan dua himpunan A dan B dinotasikan dengan A ∩ B adalah himpunan yang anggotaangotanya merupakan anggota dari kedua himpunan A dan B. Secara matematika dapat kita tuliskan A ∩ B = {x|x ∈ A dan x ∈ B} 2. Gabungan dua himpunan A dan B dinotasikan dengan A∪B adalah himpunan yang anggotaangotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Secara matematika dapat kita tuliskan A ∪ B = {x|x ∈ A atau x ∈ B} 3. Selisih dua himpunan A dan B dinotasikan dengan A − B adalah himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B. Secara metematika dapat kita tuliskan A − B = {x|x ∈ A dan x ∈ / B} Definisi 1 (sifat tertutup) Himpunan A dikatakan tertutup terhadap operasi ∗ (bisa penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian, dan lain-lain) jika untuk setiap a, b ∈ A berlaku a ∗ b ∈ A. Contoh 1. Himpunan bilangan bulat tertutup terhadap penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, tetapi tidak terhadap pembagian karena 12 ∈ / Z.

1.3

Himpunan bilangan bulat

Tentu saja himpunan ini telah kita kenal dengan akrab sejak di sekolah dasar. Di sini kita akan membahas sifat-sifat yang berkaitan dengan himpunan bilangan bulat dan himpunan bagiannya. Salah satu himpunan bagian dari himpunan bulat adalah himpunan bilangan asli, himpunan ini beranggotakan bilangan-bilangan bulat yang positif. Beberapa sifat yang berkaitan dengan bilangan bulat dan himpunan bagiannya 1. Himpunan bilangan bulat tertutup terhadap penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, 2. Himpunan bilangan asli tertutup tertutup terhdap penjumlahan dan perkalian,

15

3. Setiap himpunan bagian dari himpunan bilangan asli selalu mempunyai elemen terkecil (minimal), 4. Setiap himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat yang berhingga selalu mempunyai elemen minimal dan elemen maksimal, Sifat (3) disebut sifat terurut rapi (well ordering principle).

1.4

Soal-soal Latihan

1. Tunjukkan hukum D’Morgan yaitu (A ∩ B)c = Ac ∪ B c dan (A ∪ B)c = Ac ∩ B c . 2. Misalkan A ⊆ Z tertutup terhadap pengurangan. Jika diketahui 4 dan 7 merupakan anggota A, (a) tunjukkan bahwa 0, 100, 208 ∈ A,

(b) daftarlah semua anggota dari A.

3. Misalkan S adalah himpunan yang memuat semua bilangan bulat. Jika untuk setiap s ∈ S yang tidak nol, terdapat s′ ∈ S sehingga ss′ = 1, maka tentukan semua anggota-anggota S. 4. Jumlah dari rata-rata aritmatik himpunan A dan rata-rata aritmatik himpunan B adalah 5002. Himpunan A dan B terdiri dari bilangan-bilangan asli berurutan. Jika A ∩ B = {2005} tentukan kemungkinan unsur himpunan B yang terbesar. (soal olimpiade matematika tk propinsi tahun 2005) 5. Misalkan S adalah himpunan yang memuat bilangan 1, 2, 3, dan 4. Diketahui untuk sebarang a, b, c, d ∈ S yang semuanya berbeda akan berlaku ab + cd ∈ S. Selidiki apakah 2008 ∈ S? 6. Buktikan sifat well ordering principle pada sebarang sub himpunan bilangan asli. 7. Suatu barisan bilangan bulat {an } memenuhi persamaan aan +n = an untuk setiap bilangan asli n. Jika diketahui a2008 = 1, maka tunjukkan bahwa an = 1 untuk setiap bilangan asli n.

2

Teorema Keterbagian

Pada bab ini, kita akan mempelajari tentang konsep dasar keterbagian, algoritma pembagian, faktor persekutuan terbesar, dan kelipatan persekutuan terkecil.

2.1

Keterbagian

Definisi 1 Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dengan a 6= 0. Bilangan a dikatakan habis membagi b jika terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka. Untuk selanjutnya kita tulis a|b, sedangkan dalam hal a tidak habis membagi b kita tulis dengan a ∤ b. Contoh 1 3|12 karena terdapat bilangan bulat k yaitu k = 4 sehingga 12 = 4 × 3 3 ∤ 7 karena kita tidak mungkin mendapatkan bilangan bulat k sehinga 7 = k × 3. Dari definisi di atas kita dapat menurunkan sefat-sifat sebagai berikut 16

Sifat 1 Untuk setiap bilangan bulat a yang tidak nol selalu berlaku a|a dan a|0 Sifat 2 Untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku 1|a Sifat 3 Jika a|b maka (i) |a| ≤ |b| (ii) ac|bc untuk setiap bilangan bulat c yang tidak nol. Sifat 4 Jika a|b dan a|c maka a| (mb + nc) untuk setiap bilangan bulat m dan n. Di sini, kita hanya akan membuktikan Sifat 4. Sedangkan untuk sifat-sifat yang lainnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti Sifat 4 Perhatikan bahwa a|b artinya terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka, dan juga kita tahu a|c yang berarti terdapat bilangan bulat l sehingga c = la. Dari kedua fakta tersebut kita punya mb + nc = mka + nla = (mk + nl) a yang berarti a| (mb + nc)  Contoh 2 Tentukan semua bilangan asli n sehingga 3n+25 2n−5 juga merupakan bilangan asli (soal OSN tk Propinsi, 2002) Jawab: Agar 3n+25 2n−5 merupakan bilangan bulat haruslah 2n − 5|3n + 25, di lain pihak kita juga punya 2n − 5|2n − 5. Dengan demikian 2n − 5| (2 (3n + 25) − 3 (2n − 5)) atau ekivalen dengan 2n − 5|65. Dari sini kita simpulkan 2n−5 = 1, 5, 13, atau 65. Yang selanjutnya kita dapatkan solusi n = 3, 5, 9, atau 35.

2.2

Algoritma Pembagian

Teorema 1 Jika a dan b adalah bilangan bulat dan b > 0, maka terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sehingga a = bq + r dengan 0 ≤ r < b. Bukti: Padang himpunan ..., a − 3b, a − 2b, a − b, a, a + b, a + 2b, a + 3b, ... Jika barisan tersebut memuat unsur nol, maka terdapat bilangan bulat q sehingga a = bq + r dengan r = 0. Jika barisan tersebut tidak terdapat unsur nol, maka a tidak mungkin nol. Jika a > 0 maka a + ab = a (1 + b) > 0, dan jika a < 0 maka a − ab = −a (b − 1) > 0. Jadi, barisan tersebut memuat unsur positif. Dengan demikian, jika kita himpun semua elemen yang positif sebut saja himpunan S, maka menurut well ordering principle S mempunyai elemen terkecil, sebut elemen minmal tersebut adalah r = a − qb. Kita akan buktikan bahwa r < b. Jelas r 6= b (mengapa?), andaikan r > b maka akan kita peroleh

17

s = a−(q + 1) b = a−qb−b = r −b > 0. Perhatikan bahwa s ∈ S, dan s < r. Ini kontradiksi dengan asumsi bahwa r merupakan elemen terkecil. Jadi haruslah terdapat bilangan bulat q sehingga 0 < r = a − bq < b atau dengan kata lain a = bq + r dengan 0 < r < b Sekarang akan kita buktikan ketunggalannya. Misalkan terdapat bilangan bulat 0 ≤ r1 , r2 < b dan q1 serta q2 sehingga a = bq1 + r1 = bq2 + r2 . Dari sini akan diperoleh b (q1 − q2 ) = r2 − r1 yang berarti b| (r2 − r1 ) , akan tetapi −b < r2 − r1 < b , akibatnya r2 − r1 = 0 atau dengan kata lain r2 = r1 . Dengan fakta r2 = r2 ini juga akan berakibat q1 = q2 dan kita selesai. Dari teorema di atas, dapat kita pahami bahwa jika m suatu bilangan asli, maka untuk sebarang bilangan bulat n dapat dinyatakan sebagai n = mk + r untuk suatu bilangan bulat k dan r dengan 0 ≤ r ≤ m − 1. Bilangan yang berbentuk mk + r adalah bilangan bulat yang bersisa r ketika dibagi m. Sebagai contoh, kita kita ambil m = 2, maka fakta di atas mengatakan bahwa setiap bilangan bulat dapat dinyatkan dalam bentuk 2k atau 2k + 1, yang selanjutnya dalam kehidupan kita sehari-hari bilangan yang berbentuk 2k dan 2k + 1 berturut-turut kita katakan bilangan genap dan bilangan ganjil. Sekarang, marilah kita lihat beberapa contoh berikut: Contoh 3 Tentukan semua banyak bilangan asli n dengan n < 2008 yang menyebabkan 31 n (n + 1) merupakan bilangan bulat. Jawab: Setiap bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk 3k, 3k + 1, atau 3k + 2 Untuk n = 3k, kita punya 31 .3k. (3k + 1) = k (3k + 1) merupakan bilangan bulat, untuk n = 3k + 1 kita punya 31 (3k + 1) (3k + 2) = 3k 2 + 3k + 32 bukan merupakan bilangan bulat, untuk n = 3k + 2 kita punya 13 (3k + 2) (3k + 3) = (3k + 2) (k + 1) merupakan bilangan bulat. Jadi, bilangan asli n yang menyebabkan 31 n (n + 1) bukan bilangan bulat adalah bilangan asli yang berbentuk 3k + 1. Bilangan seperti ini yang kurang dari 2008 dapat kita daftar dengan cara berikut: 1 = 3.0 + 1, 4 = 3.1 + 1, 7, ..., 2005 = 3.668 + 1 yang berarti ada 669 bilangan asli kurang dari 2008 yang berbentuk 3k + 1. Dengan ddemikian, banyak bilangan asli n < 2008 yang menyebabkan 13 n (n + 1) merupakan bilangan bulat adalah 2007 − 669 = 1338. Contoh 4. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan kuadrat pada barisan 11, 111, 1111, 11111, ... Jawab: Perhatikan
bahwa untuk n = 2k kita punya n2 = 4k 2 dan untuk n = 2k + 1 kita punya 2 n = 4 k 2 + k + 1. Dari sini kita dapat simpulkan bahwa sisa pembagian dari bilangan kadrat oleh 4 adalah 0 atau 1. Sekarang perhatikan barisan 11, 111, 1111, 11111, ... 18

sisa pembagian setiap suku oleh 4 selalu bersisa 3, dengan demikian tidak ada bilangan kuadrat pada barisan di atas.

2.3 2.3.1

Pembagi sekutu terbesar dan faktor sekutu terkecil Pembagi sekutu terbesar

Pada saat sekolah dasar, kita semua tentu telah mengenal pembagi sekutu terbesar atau biasa disebut faktor persekutuan terbesar (FPB), atau disebut juga greatest common divisor (gcd). Definisi 2. Diberikan a dan b adalah bilangan bulat yang tidak keduanya nol. Bilangan asli d disebut pembagi sekutu terbesar dari a dan b atau ditulis dengan d = gcd (a, b) jika (i). d|a dan d|b (ii). untuk setiap bilangan asli c dengan c|a dan c|b haruslah berlaku c ≤ d. bagian (i) mengatakan bahwa d adalah pembagi sekutu dari a dan b, sedangkan bagian (ii) mengatakan bahwa untuk setiap pembagi sekutu dari a dan b harus lebih kecil atau sama dengan d, dengan kata lain (ii) mengatakan bahwa d merupakan pembagi sekutu yang terbesar. Definisi 3. Bilangan bulat a dan b dikatakan saling prima (relatif prima) jika gcd (a, b) = 1. Definisi 4. Untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c didefinisikan gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c)) Dari definisi di atas, dapat diturunkan beberapa sifat di bawah ini: 1. gcd (a, b) = gcd (b, a) = gcd (|a|, |b|) 2. gcd (a, 1) = 1 untuk setiap bilangan bulat a, 3. gcd (a, 0) = |a| untuk setiap bilangan bulat tak nol a, 4. gcd (ma, mb) = |m| gcd (a, b) untuk setiap bilangan bulat tak nol m,
5. jika d = gcd (a, b) maka gcd ad , db = 1. Bukti untuk sifat (5) dapat dilihat pada contoh 6, sedangkan untuk yang lain diserahkan kepada pembaca sebagi latihan.

19

2.3.2

Menentukan gcd dua bilangan dengan algoritma Euclide

Misalkan a dan b bilangan bulat yang tidak keduanya nol. Kita akan menghitung gcd dari a dan b dengan menggunakan algoritma pembagian yang telah kita kenal pada sub bab sebelumnya. Karena gcd (a, b) = gcd (b, a) = gcd (|a|, |b|) , maka di sini hanya akan dibahas untuk a dan b bilangan asli dengan a > b. Berdasarkan algoritma pembagian, akan terdapat bilangan bulat q dan r dengan 0 ≤ r < b sehingga a = bq + r atau ekivalen dengan r = a − bq. Perhatikan bahwa untuk setiap pembagi sekutu a dan b pasti merupakan pembagi dari r. Oleh sebab itu, dapat kita simpulkan gcd (a, b) = gcd (b, r) . Jika r = 0, maka gcd (a, b) = gcd (b, 0) = b. Jika r 6= 0 kita dapat lakukan langkah yang sama pada b dan r, yakni terdapat q1 dan r1 dengan 0 ≤ r1 < r sehingga b = rq1 + r1 . Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, kita simpulkan gcd (b, r) = gcd (r, r1 ) . Jika r1 = 0, maka gcd (b, r) = gcd (r, r1 ) = r. Jika tidak, kita dapat melakukan langkah di atas sehingga kita peroleh barisan r1 , r2 , ... Akan tetapi, karena a dan b berhingga, maka tentu akan terdapat n sehingga rn = 0. Dengan demikian gcd (a, b) = gcd (b, r) = gcd (r, r1 ) = gcd (r1 , r2 ) = ... = gcd (rn−1 , rn ) = gcd (rn−1 , 0) = rn−1 Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut: Contoh 5. Hitung gcd (2008, 123456) . Jawab: gcd (2008, 123456) = gcd (123456, 2008) . Dengan algoritma pembagian 123456 = 61×2008+968, dengan demikian gcd (123456, 2008) = gcd (2008, 968) . Kemudian 2008 = 2 × 968 + 72, sehingga gcd (2008, 968) = gcd (968, 72) , seterusnya dengan algoritma pembagian akan kita peroleh gcd (968, 72) = gcd (72, 32) = gcd (32, 8) = gcd (8, 0) = 8 dengan demikian gcd (2008, 123456) = 8. Contoh 6.
Jika d = gcd (a, b) maka tunjukkan bahwa gcd ad , db = 1. Jawab:
Misalkan gcd ad , db = k, maka kita punya k| ad dan k| db , yang berakibat kd|a dan kd|b dan selanjutnya kita peroleh kd ≤ d (mengapa?). Dengan demikian, k ≤ 1 dan kita peroleh k = 1
(karena k merupakan bilangan asli). Jadi gcd ad , db = 1. Teorema 2(Identitas Benzout) Jika d = gcd (a, b) maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga ax + by = d. Jawab: Bentuk himpunan S = {ax + by|x, y ∈ Z, ax + by > 0}

perhatikan bahwa jika kita ambil x = a dan n = b kita punya a2 + b2 > 0 (ingat pada pendefinisian gcd kita asumsikan a dan b tidak keduanya nol) yang berarti S tidak kosong. Dengan demikian S mempunyai elemen terkecil, sebut saja d. Kita akan buktikan bahwa d = gcd (a, b) . Pertama akan kita buktikan bahwa d|a dan d|b. Dengan algoritma pembagian kita dapat tulis a = dq + r dengan 0 ≤ r < t atau dengan kata lain r = a − dq. Akan tetapi d ∈ S yang berarti d = am + bn untuk suatu m, n ∈ Z. Oleh karena itu, kita punya r = a − dq = a − (am + bn) q = a − aqm − bnq = a (1 − qm) − b (nq) ∈ S. Karena d adalah elemen terkecil dari S dan r < t maka r = 0 yang berarti 20

d|a, dengan cara yang sama kita peroleh juga d|b. Sekarang misalkan c adalah sebarang bilangan asli dengan c|a dan c|b, maka c|am + bn atau c|d. terbukti bahwa d = gcd (a, b) . Dengan menggunakan teorema di atas kita dapat menurunkan beberapa sifat sebagai berikut: 1. Jika d = gcd (a, b) maka untuk sebarang bilangan bulat c dengan c|a dan c|b haruslah berlaku c|d. 2. Jika a|bc dan gcd (a, b) = 1, maka a|c. Bukti: Untuk sifat (1) dapat langsung dilihat dari pembuktian teorema identitas Benzout, sehingga di sini hanya akan kita buktikan untuk sifat (2) . Bukti sifat (2) : Perhatikan bahwa a|bc, artinya terdapat bilangan bulat k sehingga bc = ka. Selain itu, kita juga punya gcd (a, b) = 1. Menurut identitas Benzout kita dapat menemukan bilangan bulat x dan y dengan sifat ax + by = 1. Dengan mengalikan kedua ruas dengan c akan kita peroleh acx + bcy = c yang ekivalen dengan acx = c − bcy. Perhatikan bahwa a| (c − bcy) , akan tetapi karena a|bcy akan berakibat a|c. Contoh 7. Diberikan gcd (15, 24) = 3. Cari salah satu pasangan bulat (x, y) sehingga 15x + 24y = 3. Jawab: Perhatikan bahwa 24 = 15.1 + 9, 15 = 9.1 + 6, dan 9 = 6.1 + 3 (ingat mencari gcd dengan Algoritma Euclide). Dengan demikian 3 = 9 − 6 = 9 − (15 − 9) = 2.9 − 15 = 2 (24 − 15) − 15 = −3.15 + 2.24 kita dapat mengambil x = −3 dan y = 2. Contoh 8 Jika gcd (a, b) = 1 dan gcd (a, c) = 1, tunjukkan bahwa gcd (a, bc) = 1. Jawab: kita punya gcd (a, b) = 1 dan gcd (a, c) = 1, sehingga ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = 1 dan ada bilangan bulat m dan n yang memenuhi ax + cy = 1. Kemudian kita peroleh (ax + by) (am + cn) = 1 ⇐⇒ a (axm + bmy + cnx) + bc (ny) = 1 yang berakibat gcd (a, bc) |1 dan tentunya gcd (a, bc) = 1.

Kelipatan persekutuan terkecil. Selain pembagi sekutu terbesar, tentunya pada saat sekolah dasar juga kita telah mengenal kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Dalam pembahasan selanjutnya, untuk sebarang bilangan bulat a dan b KPK dari a dan b kita tulis dengan [a, b] . Definisi 5 Diberikan bilangan bulat a dan b yang tidak keduanya nol. Bilangan bulat positif m disebut KPK dari a dan b jika 1. m|a dan m|b, 2. untuk setiap bilangan bulat positif n dengan n|a dan n|b haruslah berlaku m ≤ n.

21

Definisi 6 Misalkan a, b, dan c bilangan bulat yang tidak semuanya nol, KPK dari a, b, dan c didefinisikan sebagai [a, b, c] = [[a, b] , c] = [a, [b, c]] Langsung dari definisi di atas, kita dapat menurunkan beberapa sifat sederhana sebagai berikut: 1. [a, b] = [b, a] untuk setiap bilangan bulat a dan b yang tidak keduanya nol, 2. [a, 0] = 0 untuk setiap bilangan bulat tak nol a, 3. [a, 1] = |a| untuk setiap bilangan bulat a. Teorema 3 Jika a dan b adalah bilangan bulat yang tidak keduanya nol, maka ab gcd (a, b)

[a, b] =

Bukti: Misalkan d = gcd (a, b) , maka a = da1 dan b = db1 untuk suatu bilangan bulat a1 , b1 dengan gcd (a1 , b1 ) = 1. Misalkan m = da1 b1 . Akan kita buktikan bahwa m = [a, b] . Jelas bahwa a|m dan b|m. Ambil sebarang bilangan asli n dengan sifat a|n dan b|n, artinya n = ka dan n = lb untuk suatu bilangan bulat k, l. Dari sini kita dapatkan ka = lb ⇐⇒ kda1 = ldb1 ⇐⇒ ka1 = lb1 . Kita punya a1 |lb1 , dan karena gcd (a1 , b1 ) = 1 maka a1 |l yang berarti l = ta1 untuk suatu bilangan bulat t. Dengan demikian kita punya n = lb = ldb1 = tda1 b1 , akibatnya m|n dan kita selesai membuktikan m = [a, b] . Contoh 9. Hitung [56, 72] . Jawab: Karena gcd (56, 72) = 8 maka [56, 72] =

56.72 8

= 504.

Contoh 10. Tentukan bilangan bulat positif terkecil lebih dari 1 yang bersisa 1 ketika dibagi k untuk setiap 2 ≤ k ≤ 10. Jawab: Bilangan yang bersisa 1 ketika dibagi k pasti berbentuk km + 1 untuk suatu bilangan bulat m, dan karena bilangan tersebut harus berbentuk km + 1 untuk setiap 2 ≤ k ≤ 10 maka bilangan tersebut harus berbentuk rm + 1 dengan r habis dibagi 2 ≤ k ≤ 10. Dengan demikian, r = [2, 3, 4, ..., 10] = 2520. Jadi bilangan yang dimaksud pasti berbentuk 2520m+1 untuk suatu bilangan bulat m. Dan karena kita mencari yang terkecil dan lebih besar dari 1 maka kita ambil m = 1. Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 2521.

2.4

Soal-soal Latihan

1. Tentukan semua bilangan bulat p yang menyebabkan (a)

8p+9 2p+1

merupakan bilangan bulat, 22

(b) 2p + 1 membagi 2p2 + 7, (c) p2 − 10 kelipatan p + 10. 2. Tentukan semua bilangan asli n sehingga

n3 +24 n+3

juga merupakan bilangan asli.

3. Tentukan bilangan asli terbesar n sehingga n3 + 100 kel...