Pengantar Teori Modul PDF

Preview

Summary

KATA PENGANTAR Pertama-tama tentu saja saya selaku penulis mengucapkan puji dan syukur ke hadirat Gusti Allah SWT yang dengan rahmat dan karunianya telah menjadikan saya sebagai seorang (mantan) mahasiswa Prodi Matematika FMIPA UGM. Sebelumnya saya ingin meminta maaf dulu apabila kalimat pada kata ...

Description

KATA PENGANTAR Pertama-tama tentu saja saya selaku penulis mengucapkan puji dan syukur ke hadirat Gusti Allah SWT yang dengan rahmat dan karunianya telah menjadikan saya sebagai seorang (mantan) mahasiswa Prodi Matematika FMIPA UGM. Sebelumnya saya ingin meminta maaf dulu apabila kalimat pada kata pengantar ini tidak sepenuhnya merupakan kalimat baku dan cenderung ekspresif. Maklum, penulis juga merangkap profesi sebagai seorang blogger (bisa dilihat di http://wijna.web.id). Akan tetapi pada pembahasan mengenai Teori Modul, penulis menggunakan bahasa baku yang mengacu kepada standar tata-kalimat Tugas Akhir di Prodi Matematika FMIPA UGM.

Ide awal penulis menciptakan karya tulis matematika ini adalah karena adanya anggapan sebagian besar teman penulis bahwa matematika, khususnya aljabar abstrak, yang penulis tekuni saat kuliah dulu hanya dimengerti oleh penulis dan oleh-Nya. Untuk membantah anggapan tersebut maka penulis mempersembahkan karya tulis ini kepada anda, agar anda juga mengerti apa yang penulis tekuni selama penulis kuliah dulu. Karya tulis ini merupakan apa yang ada di catatan kuliah penulis saat mengikuti matakuliah Pengantar Teori Modul (MMS 3207) yang waktu itu diampu oleh Bu Prof. Dr. Sri Wahyuni pada semester 6 di tahun 2006 silam. Penulis masih bisa mengenang masa-masa kuliah dulu yang bertempat di Gedung MIPA Selatan, ruang M2.14 (pakai AC), hari Kamis selama 3 jam dari pukul 07.00 hingga 10.00. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bu Prof. Dr. Sri Wahyuni yang sudah menurunkan ilmu beliau kepada penulis. Juga kepada teman-teman penulis saat mengikuti matakuliah Pengantar Teori Modul dahulu, Nanang, Gunawan, Rully, Hansun, Winky, Adit, dan teman-teman lainnya yang penulis lupa. Akhir kata, semoga karya tulis ini bisa bermanfaat bagi anda yang membacanya, khususnya bagi mahasiswa/i Program Studi Matematika FMIPA UGM.

Yogyakarta, Juni 2009

Wihikan "Mawi" Wijna

i

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.....………………..………………………………………............... i DAFTAR ISI.......…………………………………………………………...........................ii 1. Pengertian Umum Modul dan Submodul.......…………………………........................... 1 2. Modul Faktor dan Homomorfisma.................…………………………........................... 8 3. Elemen Torsi dan Annihilator........................…………………………........................... 18 4. Pembangun Modul dan Modul Bebas............…………………………........................... 21 5. Jumlahan Langsung.......................................…………………………........................... 28 6. Barisan Eksak.......………………………….................................................................... 30 DAFTAR PUSTAKA.......………………………………………………........................... 39

ii

Apabila selama ini dikenalkan suatu konsep aljabar mengenai ruang vektor, maka modul merupakan perumuman dari ruang vektor. Pada modul, syarat skalar diperumum menjadi elemen pada suatu ring dan bukan lapangan. Dengan demikian ruang vektor merupakan suatu kasus khusus dari modul dan karena sifat modul yang lebih luas dari ruang vektor maka ada berbagai sifat-sifat

trivial pada ruang vektor menjadi non-trivial pada modul. Untuk mengawali

pembahasan mengenai modul, berikut diberikan definisi tentang modul kanan dan modul kiri.

1. Pengertian Umum Modul dan Submodul

Definisi E4.1 (Modul Kiri) Diberikan grup Abelian ( M , +) dan ring ( R, +, ⋅) . Serta diberikan pula operasi biner (disebut

pergandaan skalar) *: R × M → M . Himpunan M disebut modul kiri atas R (dinotasikan M R-Modul), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut : 1. r *(m1 + m2 ) = r * m1 + r * m2

, ∀m1 , m2 ∈ M ∀r ∈ R

2. (r1 + r2 ) * m = r1 * m + r2 * m

, ∀m ∈ M ∀r1 , r2 ∈ R

3. (r1 ⋅ r2 ) * m = r1 *(r2 * m)

, ∀m ∈ M ∀r1 , r2 ∈ R .

Contoh E4.2

Diberikan ruang vektor

M 3x3

⎧ ⎡ a11 ⎪ = ⎨ ⎢⎢ a21 ⎪⎢a ⎩ ⎣ 31

a12 a22 a32

3

a13 ⎤ a23 ⎥⎥ aij ∈ a33 ⎥⎦

dan himpunan seluruh matriks bilangan real berukuran 3x3 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

Diberikan pula operasi biner *: M 3 x 3 ×

3

→

3

sebagai operasi pergandaan matriks dengan

vektor.

Diketahui

3

adalah grup Abelian dan M 3 x 3 adalah ring. Serta operasi pergandaan matriks

dengan vektor adalah operasi biner. Akan ditunjukkan bahwa ketiga aksioma dipenuhi. Menggunakan sifat pergandaan matriks dengan vektor :

St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

1

⎡ a11 1. Untuk sebarang matriks ⎢⎢ a21 ⎢⎣ a31 ⎡ a11 ⎢ ⎢ a21 ⎣⎢ a31

a22 a32

⎡ a11 2. Untuk sebarang matriks ⎢⎢ a21 ⎢⎣ a31 ⎡ a11 + b11 ⎢a + b ⎢ 21 21 ⎢⎣ a31 + a31

a12 + b12 a22 + b22 a32 + b32

Akibatnya

a12 a22 a32

3

a22 a32

a12 a22 a32

a13 ⎤ ⎡ b11 b12 a23 ⎥⎥ ⎢⎢b21 b22 a33 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32

a12 a22 a32

a13 ⎤ ⎡ b11 b12 a23 ⎥⎥ , ⎢⎢b21 b22 a33 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32

a12 a22 a32

⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎢x ⎥ , ⎢ y ⎥ ∈ ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ y3 ⎥⎦

a22 a32

a13 ⎤ ⎡ b11 b12 a23 ⎥⎥ , ⎢⎢b21 b22 a33 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32

a12 a22 a32

3

a13 ⎤ ⎡ y1 ⎤ a23 ⎥⎥ ⎢⎢ y2 ⎥⎥ a33 ⎦⎥ ⎣⎢ y3 ⎦⎥

b13 ⎤ b23 ⎥⎥ ∈ M 3 x 3 dan vektor b33 ⎥⎦

a13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b11 b12 a23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ + ⎢⎢b21 b22 a33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32

a12

b13 ⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11 ⎟ b23 ⎥⎥ ⎟ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ = ⎢⎢ a21 b33 ⎥⎦ ⎟⎠ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ a31

3

b13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ b23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ b33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦

b13 ⎤ b23 ⎥⎥ ∈ M 3 x 3 dan vektor b33 ⎥⎦

a13 ⎤ ⎛ ⎡ b11 b12 ⎜ a23 ⎥⎥ ⎜ ⎢⎢b21 b22 a33 ⎥⎦ ⎜⎝ ⎢⎣b31 b32

⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ∈ ⎢ 2⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦

⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ∈ ⎢ 2⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦

3

b13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎞ ⎟ b23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎟ b33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎠⎟

= M 3 x 3 −Modul.

Diperhatikan bahwa operasi pergandaan karena vektor dari 3

a13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11 a23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ + ⎢⎢ a21 a33 ⎦⎥ ⎣⎢ x3 ⎦⎥ ⎣⎢ a31

a12

a13 + b13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11 a23 + b23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ = ⎢⎢ a21 a33 + b33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ a31

⎡ a11 3. Untuk sebarang matriks ⎢⎢ a21 ⎢⎣ a31

⎛ ⎡ a11 ⎜⎢ ⎜ ⎢ a21 ⎜ ⎢a ⎝ ⎣ 31

a22 a32

a13 ⎤ ⎡ x1 + y1 ⎤ ⎡ a11 a23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 + y2 ⎥⎥ = ⎢⎢ a21 a33 ⎦⎥ ⎣⎢ x3 + y3 ⎦⎥ ⎣⎢ a31

a12

a13 ⎤ a23 ⎥⎥ ∈ M 3 x 3 dan vektor a33 ⎥⎦

a12

3

3

dengan M 3 x 3 pada contoh diatas dapat berlaku

direpresentasikan sebagai matriks vertikal. Bagaimana jika vektor pada

direpresentasikan sebagai matriks horizontal? Jelas bahwa jika vektor pada

3

direpresentasikan sebagai matriks horizontal maka operasi pergandaan pada contoh diatas tidak dapat berlaku. Namun

3

dengan vektornya sebagai matriks horizontal tetap dapat menjadi

modul atas ring M 3 x 3 jika operasi pergandaannya diubah, yakni matriks dioperasikan dengan vektor dari sisi kanan. Dari contoh tersebut dapat dinyatakan suatu definisi baru. St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

2

Definisi E4.3 (Modul Kanan)

Diberikan grup Abelian ( M , +) dan ring ( R, +, ⋅) . Serta diberikan pula operasi pergandaan skalar *: M × R → M . Himpunan M disebut modul kanan atas R (dinotasikan M Modul-R), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut : 1. (m1 + m2 ) * r = m1 * r + m2 * r

, ∀m1 , m2 ∈ M ∀r ∈ R

2. m *(r1 + r2 ) = m * r1 + m * r2

, ∀m ∈ M ∀r1 , r2 ∈ R

3. m *(r1 ⋅ r2 ) = ( m * r )1 * r2

, ∀m ∈ M ∀r1 , r2 ∈ R .

Akan tetapi tidak menutup kemungkinan bahwa operasi pergandaan skalar pada modul dapat berlaku dari kiri dan sekaligus dari kanan. Sifat modul dengan operasi pergandaan tersebut dapat dinyatakan sebagai definisi. Definisi E4.4 (Bi-Modul)

Diberikan grup Abelian ( M , +) dan ring ( R, +, ⋅) . Jika M adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas R maka M disebut Bi-Modul.

Contoh E4.5

Himpunan seluruh bilangan bulat

merupakan Bi-Modul dengan ring

dan operasi

pergandaan perkalian bilangan bulat.

Jika ring pada modul merupakan ring dengan elemen satuan, maka dapat dimunculkan suatu definisi baru. Definisi E4.6 (Modul Uniter Kiri)

Diketahui M R-Modul dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kiri jika dan hanya jika untuk setiap m ∈ M berlaku 1R * m = m dengan 1R merupakan elemen satuan di R.

Definisi E4.7 (Modul Uniter Kanan)

Diketahui M Modul-R dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kanan jika dan hanya jika untuk setiap m ∈ M berlaku m *1R = m dengan 1R merupakan elemen satuan di R. St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

3

Contoh E4.8

Himpunan seluruh bilangan bulat

merupakan Bi-Modul Uniter dengan ring

dan operasi

pergandaan perkalian bilangan bulat. Untuk mempermudah penulisan, notasi a ∗ b akan ditulis ab . Harap diperhatikan bahwa untuk seterusnya pembahasan mengenai modul di tulisan ini mengacu kepada modul uniter kiri dan dengan penalaran yang serupa pembahasan dapat diterapkan juga pada modul uniter kanan. Selanjutnya, akan diperkenalkan suatu struktur dari suatu modul yang disebut submodul. Definisi E4.9 (Submodul)

Diketahui M R-Modul, R ring dengan elemen satuan, dan N ⊆ M , maka N disebut submodul dari M jika dan hanya jika ketiga aksioma berikut dipenuhi: 1. N merupakan subgrup Abelian dari M 2. Operasi pergandaan skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N 3. N memenuhi aksioma-aksioma modul uniter.

Jika N merupakan submodul dari M, maka N dapat dinyatakan sebagai R-Modul.

Contoh E4.10

1. Pada

− Modul, himpunan 3

2. Pada

− Modul, himpunan bilangan rasional

3. Pada

− Modul, himpunan bilangan bulat

1 ∈ 3

dan 2 ∈

merupakan submodul dari

.

merupakan submodul dari bukan submodul dari

diperoleh 1 ⋅ 2 = 2 bukan merupakan elemen di 3 3

.

, karena untuk .

Untuk selanjutnya, ring R pada M R-Modul diasumsikan sebagai ring dengan elemen satuan.

St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

4

Teorema berikut dapat dipergunakan untuk menelaah apakah suatu himpunan merupakan submodul. Teorema E4.11

Diketahui M R-Modul dan N ⊆ M , maka N disebut submodul dari M jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut: 1. n1 − n2 ∈ N

, ∀n1 , n2 ∈ N

2. rn ∈ N

, ∀n ∈ N ∀r ∈ R

Bukti.

(⇒) Diketahui bahwa N adalah submodul dari modul M. Dengan demikian N adalah subgrup Abelian dari M dan akibatnya untuk setiap n1 , n2 ∈ N , berlaku n1 − n2 ∈ N . Karena operasi pergandaan skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N, maka untuk setiap n ∈ N dan r ∈ R , berlaku rn ∈ N .

( ⇐) Karena untuk setiap n1 , n2 ∈ N berlaku n1 − n2 ∈ N , maka menurut Teorema 1.19 N merupakan subgrup Abelian dari M. Selanjutnya, karena rn ∈ N untuk setiap n ∈ N dan r ∈ R maka operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N. Terakhir, karena N merupakan himpunan bagian dari M dan operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N maka aksioma-aksioma modul uniter di M juga berlaku di N. Jadi, N merupakan submodul dari M.

Jika diketahui dua submodul dari suatu modul, maka dapat dibentuk submodul baru dari kedua submodul tersebut. Teorema berikut menyatakan hal tersebut. Teorema E4.12

Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M, maka kedua sifat berikut berlaku: 1. H ∩ K merupakan submodul dari M 2. H + K merupakan submodul dari M.

St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

5

Bukti.

(1) Akan ditunjukkan H ∩ K adalah submodul dari M, yaitu H ∩ K memenuhi Teorema E4.11. Diambil sebarang n1 , n2 ∈ H ∩ K maka n1 , n2 ∈ H dan n1 , n2 ∈ K . Karena H dan K adalah submodul, maka n1 − n2 ∈ H dan n1 − n2 ∈ K . Akibatnya n1 − n2 ∈ H ∩ K . Selanjutnya, diambil sebarang r ∈ R , karena

H dan K adalah submodul maka rn1 , rn2 ∈ H dan rn1 , rn2 ∈ K .

Akibatnya rn1 , rn2 ∈ H ∩ K . Jadi, terbukti bahwa H ∩ K merupakan submodul dari M.

(2) Akan ditunjukkan H + K adalah submodul dari M, yaitu H + K memenuhi Teorema E4.11. Diperhatikan bahwa H + K = {h + k h ∈ H dan k ∈ K } . Diambil sebarang n1 , n2 ∈ H + K , maka n1 = h1 + k1 dan n2 = h2 + k2 untuk suatu h1 , h2 ∈ H dan k1 , k2 ∈ K . Karena H dan K adalah submodul maka h1 − h2 ∈ H dan k1 − k2 ∈ K . Akibatnya n1 − n2 = (h1 + k1 ) − (h2 + k2 ) = (h1 − h2 ) + (k1 − k2 ) ∈ H + K . Selanjutnya, diambil sebarang r ∈ R . Karena H dan K adalah submodul, maka rh1 ∈ H dan rk1 ,∈ K . Akibatnya rn1 = r (h1 + k1 ) = rh1 + rk1 ∈ H + K . Jadi, terbukti bahwa H + K merupakan submodul dari M.

Contoh E4.13

Diberikan ring polinomial dengan peubah x dan koefisiennya bilangan bulat, adalah ring dengan elemen satuan maka

[ x] . Karena

[ x] juga ring dengan elemen satuan. Karena ring

dengan elemen satuan adalah grup Abelian maka

[ x] adalah

-Modul dengan operasi

pergandaan skalar dengan polinomial.

St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

6

⎧∞ ⎫ [ x] , yaitu n [ x] = ⎨∑ ai x i ai ∈ n ⎬ . Akan ditunjukkan bahwa ⎩ i =0 ⎭

Diambil sub-himpunan dari

∞

n [ x] adalah submodul dari

[ x] . Diambil sebarang x, y ∈ n [ x] maka x = ∑ ai xi dan i =0

∞

∞

∞

∞

i =0

i =0

i =0

i =0

y = ∑ bi x i untuk ai , bi ∈ n , sehingga x − y = ∑ ai x i − ∑ bi x i = ∑ (ai − bi ) x i untuk suatu ai − bi ∈ n ,

akibatnya

x − y ∈ n [ x] .

Untuk

sebarang

∞

m∈

dan

x = ∑ ai x i , i =0

∞

∞

i =0

i =0

mx = m∑ ai x i = ∑ (mai ) x i untuk suatu mai ∈ n , akibatnya mx ∈ n [ x] .

Diperhatikan bahwa 2 [ x] dan 5 [ x] merupakan submodul dari

[ x] . Dengan demikian

menurut Teorema E4.12 berlaku: 1. 2 [ x] ∩ 5 [ x] = 10 [ x] 2. 2 [ x] + 5 [ x] = [ x] Diperhatikan bahwa 2 [ x] ∪ 5 [ x] bukanlah submodul dari M. Karena untuk 2 x ∈ 2 [ x] dan 5 x ∈ 5 [ x] , 5 x − 2 x = 3 x ∉ 2 [ x] ∪ 5 [ x] .

Dari definisi-definisi beserta teorema-teorema diatas dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Setiap ring merupakan modul atas dirinya sendiri, yaitu jika R ring maka R R-Modul. 2. Jika R dipandang sebagai R-Modul, maka setiap ideal pada R merupakan submodul di R. 3. Setiap ruang vektor merupakan modul. Untuk contoh-contoh selanjutnya, submodul pada

-Modul akan selalu berbentuk n

dengan n merupakan bilangan bulat. Untuk menujukkan kebenaran pernyataan ini dapat menggunakan sifat Daerah Ideal Utama, yaitu setiap ideal pada

dibangun oleh tepat satu

elemen. Terkait dengan pembangun suatu submodul, subbab selanjutnya akan membahas pembangun suatu submodul.

St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

7

2. Modul Faktor dan Homomorfisma

Misalkan diketahui M R-Modul. Karena M grup Abelian, maka sebarang subgrup dari M juga merupakan grup Abelian. Misalkan N merupakan sebarang subgrup dari M. Karena N subgrup Abelian, maka N merupakan subgrup normal terhadap M, yaitu aN = Na untuk setiap a ∈ M . Dengan demikian menurut Teorema E3.17, M N = {a + N a ∈ M } merupakan grup

terhadap operasi biner

( a + N ) + (b + N ) = ( a + b) + N .

Karena M grup Abelian, maka jelas

bahwa ( a + N ) + ( b + N ) = ( a + b ) + N = ( b + a ) + N = ( b + N ) + ( a + N ) . Jadi, M N merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan koset. Teorema E4.14

Diketahui M R-Modul, N sebarang submodul dari M, dan R ring dengan elemen satuan, maka M N R -Modul terhadap operasi pergandaan koset r ( a + N ) = ( ra ) + N untuk setiap r ∈ R

dan aN ∈ M N . Selanjutnya, M N disebut dengan modul faktor. Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan koset diatas merupakan operasi biner. Pertama akan

ditunjukkan

bahwa

operasi

ini

terdefinisi

dengan

baik.

Diambil

sebarang

a + N , b + N ∈ M N dengan a + N = b + N . Menggunakan sifat kesamaan dua koset diperoleh a − b ∈ N . Karena N submodul, maka untuk sebarang r ∈ R berlaku, r ( a − b ) = ra − rb ∈ N .

Dengan kata lain

( ra ) + N = ( rb ) + N ,

sesuai dengan definsi operasi pergandaan koset

r ( a + N ) = r ( b + N ) . Terbukti operasi ini terdefinisi dengan baik. Kedua, operasi ini tertutup

karena

ra ∈ M

untuk sebarang

r∈R

dan

a∈M

dan dengan demikian berlaku

r ( a + N ) = ( ra ) + N ∈ M N . Jadi, operasi pergandaan koset merupakan operasi biner.

St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

8

Terakhir, diberikan sebarang a + N , b + N ∈ M N dan r , r1 , r2 ∈ R . Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan koset memenuhi aksioma pergandaan skalar : 1. r ( ( a + N ) + ( b + N ) ) = r ( ( a + b ) + N )

= ( r ( a + b)) + N = ( ra + rb ) + N = ( ra + N ) + ( rb + N ) = r ( a + N ) + r (b + N )

2.

3.

( r1 + r2 )( a + N ) = ( ( r1 + r2 ) a ) + N = ( r1a + r2 a ) + N = ( r1a + N ) + ( r2 a + N ) = r1 ( a + N ) + r2 ( a + N )

( r1r2 )( a + N )

= ( ( r1r2 ) a ) + N = ( r1 ( r2 a ) ) + N = r1 ( r2 a + N )

= r1 ( r2 ( a + N ) ) 4. 1R ( a + N ) = (1R a ) + N = a + N.

Jadi, terbukti bahwa M N merupakan modul atas R.

Contoh E4.15

Pada

-Modul

dapat

dipilih

submodul

6 = {0 + 6 , 1 + 6 , 2 + 6 , 3 + 6 , 4 + 6 , 5 + 6

atas a+6 ∈

dengan operasi pergandaan skalar r ( a + 6

6

}.

dan Himpunan

) = ( ra ) + 6

dibentuk 6

grup

abelian

merupakan modul

untuk setiap r ∈

dan

6 .

St rukt ur Alj abar – Pengant ar Teori Modul © Wij na 2009. ht t p:/ / wij na.web.ugm.ac.id

9

Modul faktor merupakan salah satu sifat yang digunakan pada pembahasan mengenai teorema utama homomorfisma. Berikut diberikan pengertian mengenai homomorfisma, yaitu suatu pemetaan dari suatu modul ke modul lain yang “mengawetkan” sifat-sifat operasi pergandaan skalar di kedua modul. Definisi E4.16 (Homomorfisma Modul)

Diketahui M dan M ' adalah R-Modul. Pemetaan φ : M → M ' disebut homomorfisma modul jika dan hanya jika memenuhi kedua syarat berikut: 1. φ (m1 + m2 ) = φ (m1 ) + φ (m2 )

, untuk setiap m1 , m2 ∈ M

2. φ (rm) = r φ (m)

, untuk setiap m ∈ M dan r ∈ R .<...