Pengajaran Teori Modul PDF

Preview

Summary

Pengajaran Teori Modul Sebagai Suatu Alat Memperkenalkan Penelitian Bidang Matematika Sri Wahyuni dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika Universitas Gadjah Mada Sekip Utara Yogyakarta 55281 swahyuni, ind [email protected] Abstrak Mata kuliah Teori Modul yang sudah diajarkan kepada mahasiswa...

Description

Pengajaran Teori Modul Sebagai Suatu Alat Memperkenalkan Penelitian Bidang Matematika

Sri Wahyuni dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika Universitas Gadjah Mada Sekip Utara Yogyakarta 55281 swahyuni, ind [email protected]

Abstrak Mata kuliah Teori Modul yang sudah diajarkan kepada mahasiswa mulai dari tingkat S1, mempunyai karakteristik yang menarik. Modul yang merupakan bentuk perumuman ruang vektor bisa digunakan sebagai salah satu sarana memperkenalkan penelitian bidang aljabar atau matematika pada umumnya. Dalam tulisan ini akan diberikan beberapa contoh bentuk pengenalan tersebut yang semuanya dimulai dari suatu motivasi. Dengan metode pengajaran yang mengajak mahasiswa bereksplorasi, diharapkan mahasiswa semakin mandiri dan kreatif dalam proses belajar mengajar. Dampak lainnya adalah wawasan mahasiswa tentang permasalahan dan penelitian bidang matematika akan bertambah.

1

Pendahuluan

Keistimewaan modul adalah karena merupakan perluasan dari ruang vektor. Ruang vektor terbentuk dari suatu grup dan suatu lapangan yang dikaitkan dengan sebuah perkalian skalar. Pada perkembangannya lapangan yang menyusun ruang vektor tersebut mengalami perluasan menjadi suatu ring. Dalam hal ini struktur yang terbentuk dari suatu grup dan suatu ring dengan suatu perkalian skalar dinamakan modul atas ring tersebut. Dasar-dasar teori grup, teori ring dan ruang vektor sudah dikenal baik oleh mahasiswa pada tingkat. Hal ini memberikan peluang kepada para pengajar untuk melakukan pendekatan yang tepat dalam menyampaikan materi Teori Modul. Teori Modul merupakan mata kuliah pilihan pada tingkat S1. Karena mahasiswa tingkat S1 baru dikenalkan Pengantar Teori Modul, maka yang bisa dilakukan adalah megajak mereka menyelidiki sifat-sifat sederhana yang dikembangkan dari sebuah ruang vektor menjadi modul. 1

2

Memperkenalkan Definisi Modul Melalui Generalisasi

Generalisasi atau perumuman suatu definisi ataupun sifat sudah merupakan proses alami dalam perkembangan matematika. Sebagai obyek penelitian hal ini menjadi sesuatu yang menarik untuk dilakukan. Ada baiknya mahasiswa juga diajak untuk mengalami sendiri perkembangan suatu definisi yang diperumum, dalam hal ini dari ruang vektor ke modul. Untuk mencapai tujuan itu bisa dimulai dari hal-hal yang sudah sangat dikenal oleh mahasiswa. Ruang dimensi tiga R3 sudah dikenal oleh mahasiswa matematika sejak mereka belajar geometri analitik. Himpunan ini bisa menjadi model yang akan digunakan dalam pengenalan modul. Seperti yang sudah diketahui, ruang Euclid dimensi tiga   x1 R3 = { x2  | x1 , x2 , x3 ∈ R} x3 merupakan ruang vektor atas lapangan bilangan real R. Sebagai ruang vektor, untuk sebarang v, w ∈ R3 dan r, s ∈ R selalu dipenuhi aksioma-aksioma berikut : A1. r(v + w) = rv + rw; A2. (r + s)v = rv + sv; A3. (rs)v = r(sv); A4. 1v = v. Sekarang perhatikan himpunan matriks ukuran 3 × 3 dengan elemen-elemen bilangan real berikut :

 x11 x12 x13 M3 (R) = { x21 x22 x23  | xij ∈ R, i, j = 1, 2, 3}. x31 x32 x33 

Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks, M3 (R) merupakan ring dengan elemen satuan yang tidak komutatif. Walaupun demikian, untuk sebarang v, w ∈ R3 dan sebarang A, B ∈ M3 (R) diperoleh hasil yang serupa dengan Aksioma-aksioma [A1] sampai [A4], sebagai berikut : B1. A(v + w) = Av + Aw; 2

B2. (A + B)v = Av + Bv; B3. (AB)v = A(Bv); B4. Iv = v. Hal ini menunjukkan suatu kemungkinan untuk memperumum definisi ruang vektor dengan mengganti lapangannya dengan suatu ring asosiatif dengan elemen satuan. Struktur baru inilah yang dikenal dengan modul atas ring. Jika diberikan grup Abel (M, +), ring asosiatif dengan elemen satuan (R, +, ◦) dan pergandaan skalar α : R × M → M , α(r, m) := rm, maka M disebut modul kiri atas R jika untuk sebarang m, n ∈ M dan sebarang r, s ∈ R dipenuhi aksioma-aksioma berikut : (a.) r(m + n) = rm + rn; (b.) (r + s)m = rm + sm; (c.) (rs)m = r(sm); (d.) 1m = m. Perhatikan kembali ruang Euclid berdimensi 3 di atas. Cara menyatakan R3 tidak selalu seperti (2), tetapi bisa juga dinyatakan sebagai berikut : ¢ ¡ R3 = { x1 x2 x3 | x1 , x2 , x3 ∈ R}. Jika ini yang terjadi, maka perkalian dengan matriks berukuran 3 × 3 tidak bisa dilakukan dari kiri, melainkan dari kanan. Dari kondisi ini masih bisa dibentuk suatu modul dengan definisi pergandaan skalar A.v := vA untuk setiap A ∈ M3 (R) dan v ∈ R3 . Sifat-sifat yang diperoleh adalah untuk sebarang v, w ∈ R3 dan sebarang A, B ∈ M3 (R) berlaku : C1. A(v + w) = vA + wA; C2. (A + B)v = vA + vB; C3. (AB)v = v(AB) = (vA)B; C4. Iv = vI = v. Setelah suatu modul didefinisikan akan diperlukan contoh-contoh himpunan yang merupakan modul. Sebagi model awal, tentu saja ruang Euclid R3 merupakan suatu modul kiri atas M3 (R). Selain itu bisa digali lebih jauh lagi contoh-contoh yang sudah dikenal, misalnya sebagai berikut. 3

1. Karena lapangan bilangan real R juga merupakan ring, maka ruang vektor R3 adalah contoh suatu modul. Ruang Euclid berdimensi n Rn juga suatu modul atas R. 2. Secara umum, ruang vektor V atas lapangan F merupakan modul. 3. Karena lapangan adalah ruang vektor atas dirinya sendiri, maka sebarang lapangan F merupakan modul. 4. Sebarang ring asosiatif dengan elemen satuan merupakan modul atas dirinya sendiri. Dalam pencarian contoh-contoh modul, ada kalanya bisa diperoleh dengan menciptakan konstruksi baru dari himpunan yang sudah ada. Misalnya dari sebuah ring (R, +, ◦) diperoleh juga grup Abel (R, +), sehingga dengan menggunakan pergandaan yang dimiliki oleh ring tersebut dapat dibangun suatu modul R atas dirinya sendiri. Pertanyaan ini bisa dibalik, bagaimana kalau yang ada hanya grup Abel (M, +), apakah selalu bisa dibentuk modul? Bagaimana memunculkan ringnya dan bagaimana mendefinisikan pergandaan skalarnya? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, diberikan fakta yang dipunyai oleh grup M . Untuk sebarang m ∈ M dan n ∈ Z didefinisikan : mn = nm :=

4...