Termodinámica - Ejercicios resueltos PDF

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Termodinámica - Ejercicios resueltos ...

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EJERCICIO 21

En el gráfico podemos ver que el gas ideal evoluciona desde un punto A; pasando sucesivamente por B y C para finalmente volver al punto A. Esto es lo que conocemos como un CICLO. Para definir las diferentes evoluciones, debemos ver qué parámetros se mantienen constantes, cuáles se modifican, y en qué sentido lo hacen. a) En la evolución AB vemos que la presión se mantiene constante, mientras que el volumen aumenta. Esto es lo que se conoce como EXPANSIÓN ISOBÁRICA. La evolución BC se realiza manteniendo constante el volumen, y pasando de un punto (B) que corresponde a una isoterma de mayor temperatura a un punto (C), correspondiente a una isoterma de menor temperatura. Por lo tanto esta evolución se conoce como ENFRIAMIENTO ISOCÓRICO. Por último, la evolución CA tiene lugar sobre una isoterma, o sea que la temperatura se mantiene constante mientras que el volumen disminuye. A este tipo de evolución se la conoce como COMPRESIÓN ISOTÉRMICA.

b) Gráficamente, el trabajo realizado por el gas en una transformación termodinámica se representa como el área bajo la curva correspondiente.

En el caso de la evolución AB, el área aparece pintada en celeste. Analíticamente, el trabajo de una transformación isobárica se calcula como: W= P x (Vf – Vi)

En el caso de la evolución BC, no hay área bajo la curva puesto que en dicha evolución no se define una curva. Esto se condice con el hecho de que en las transformaciones isocóricas no hay trabajo. De hecho, el trabajo en forma analítica en una evolución isocórica vale cero.

En el caso de la evolución CA, esta aparece pintada en rojo. Analíticamente, el trabajo en una evolución isotérmica se calcula como: 𝑉𝑓

𝑃𝑖

W= n.R.t. ln ( 𝑉𝑖 ) = n.R.T. ln (𝑃𝑓)

EJERCICIO 22

En este gráfico podemos ver que el gas ideal evoluciona desde un punto A; pasando sucesivamente por B; C y D para finalmente volver al punto A. Nuevamente nos encontramos con un ciclo. Como explicamos en el ejercicio anterior, para definir las diferentes evoluciones, debemos ver qué parámetros se mantienen constantes, cuáles se modifican, y en qué sentido lo hacen.

a)

En la evolución AB vemos que la presión se mantiene constante, mientras que el volumen aumenta. Esto es lo que se conoce como EXPANSIÓN ISOBÁRICA. La evolución BC se realiza manteniendo constante el volumen, y pasando de un punto (B) que corresponde a una isoterma más alta (de mayor temperatura) a un punto (C) de una isoterma más baja, de menor temperatura. Por lo tanto esta evolución se conoce como ENFRIAMIENTO ISOCÓRICO. La evolución CD sigue la línea de una sola temperatura, mientras que el volumen disminuye. A este tipo de evolución se la conoce como COMPRESIÓN ISOTÉRMICA. El ciclo se cierra con la evolución DA, en la cual el volumen se mantiene constante a expensas de un aumento de la presión. Podemos ver que en esta

evolución se pasa de un punto (D) de una isoterma más baja, es decir de menor temperatura, a un punto (A) de una isoterma más alta. Por lo tanto esta evolución es un CALENTAMIENTO ISOCÓRICO.

b) Recordemos que para calcular el trabajo total realizado en el ciclo necesitaremos calcular los trabajos individuales realizados en cada evolución. Para ello vamos a necesitar los datos de temperatura, presión y volumen de los diferentes puntos. Probablemente no vayamos a necesitarlos todos, pero sirve como práctica calcularlos y ver si guardan relación con el gráfico. Datos: PUNTO PARÁMETRO

VOLUMEN PRESIÓN TEMPERATURA

A

B

C

D

1 atm

1 atm

0,082 atm

0,82 atm

200 K

Con la Ecuación general de los gases, de cualquier punto que tengamos 2 valores vamos a poder calcular el tercero. En este caso, tenemos datos de presión y temperatura del punto C. Entonces calculamos: PC x VC = n . R . TC 0,082 atm x VC = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x 200 K

VC = VB = 200 l Viendo las evoluciones que nos muestra el gráfico, sin embargo, podemos agregar más datos al cuadro:  La evolución BC es una isocora, con lo cual VB = VC  La evolución CD es una isoterma, con lo cual TC = TD  La evolución DA es una isocora, por lo tanto VD = VA

PUNTO

A

PARÁMETRO

VOLUMEN PRESIÓN

1 atm

B

C

200 l

200 l

1 atm

0,082 atm

0,82 atm

200 K

200 K

TEMPERATURA

D

Con estos datos ya podemos averiguar todos los datos restantes: PD x VD = n . R . TD 0,82 atm x VD = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x 200 K

VD = VA = 20 l

PA x VA = n . R . TA 1 atm x 20 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TA

TA = 243,9 K

PB x VB = n . R . TB 1 atm x 200 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TB

TB = 2439 K

PUNTO

A

B

C

D

VOLUMEN

20 l

200 l

200 l

20 l

PRESIÓN

1 atm

1 atm

0,082 atm

0,82 atm

TEMPERATURA

2439 K

243,9 K

200 K

200 K

PARÁMETRO

Como vemos, podemos averiguar todos los datos. Ahora veremos cuáles de todos utilizaremos para resolver el ejercicio.

WT = ∑ WAB + WBC + WCD + WDA



Trabajo de la evolución AB WAB= P x (VB – VA) WAB = 1 atm x (200 l – 20 l) WAB= 180 l.atm



Trabajo de la evolución BC WBC= 0



¡Recuerden! El trabajo en evoluciones isocóricas vale CERO

Trabajo de la evolución CD 𝑉𝑓

W CD= n.R.t. ln ( 𝑉𝑖 ) W CD= 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x 200 K x ln

20 𝑙 200 𝑙

WCD= - 37,72 l.atm



Trabajo en la evolución DA WAD = 0



Trabajo total W T= ∑ 180 l.atm + (-37,72 l.atm) WT= 142,28 l.atm Dado que el trabajo es una forma de energía puede expresarse en cualquier unidad de energía, siendo la más adecuada Joule.

Por lo tanto; utilizando la constante general de los gases R:

0,082 l.atm _____ 8,31 J 142,28 l.atm _____ 14418,86 J ¡Recuerden! Cada uno de los valores obtenidos se tiene que corresponder con el gráfico.  Las expansiones deben darnos valores de trabajo positivos y las compresiones, negativos.  Los valores de temperatura de dos puntos de una isoterma deben ser iguales al calcularlos analíticamente  Las expansiones isobáricas deben acompañadas de un aumento en la temperatura y las compresiones, de una disminución.  Los enfriamientos isocóricos se corresponden con disminución de la presión, y con una aumento de la misma los calentamientos

c) Para resolver este ítem debemos tener en cuenta más conceptos teóricos que prácticos. En primera instancia, la Primer ley de la termodinámica, que dice

ΔU = Q – W En segundo lugar, recordar que la variación de energía interna depende única y exclusivamente de la variación de temperatura, como demostró Joule en su experiencia. Con lo cual, si no se modifica la temperatura de un sistema, tampoco se modifica la energía interna. Esto resulta en que ΔU= 0. Para el caso particular de los ciclos, independientemente de las transformaciones que haya sufrido el gas, el estado inicial y el final son iguales. Por lo tanto, no hay modificación de la temperatura. Es decir que en este y en todos los ciclos, ΔU = 0 En este caso, el gas parte del punto A y termina en el punto A. Con lo cual, la variación de temperatura es cero (ΔT= Tf – Ti => ΔT= TA – TA => ΔT= 0).

Por lo tanto se cumple que ΔU = Q – W 0=Q–W Q=W ¡Recordar! En los ciclos, la variación de temperatura entre el estado final y el inicial es nula, con lo cual la variación de energía interna también es nula. Por lo tanto el calor es igual al trabajo

Como consecuencia de esto, no debemos calcular el valor del calor total intercambiado mediante el empleo de fórmulas y la sumatoria de todos los intercambios de calor individuales de cada evolución, sino utilizando el equivalente mecánico del calor, valor hallado por Joule en su primera experiencia:

8,31 J ________ 2 cal 14418,86 J_____ 3470,24 cal

EJERCICIO 23

a) En principio, vamos a describir cada uno de los procesos que aparecen en el enunciado: Evolución AB: ENFRIAMIENTO ISOCÓRICO Evolución BC: EXPANSIÓN ISOBÁRICA Evolución CA: COMPRESIÓN ISOTÉRMICA

b) Recordemos que para calcular el trabajo total realizado en el ciclo necesitaremos calcular los trabajos individuales realizados en cada evolución. Para ello vamos a necesitar los datos de temperatura, presión y volumen de los diferentes puntos.

PUNTO PARÁMETRO

A

B

C

8 atm

4 atm

4 atm

3 l

VOLUMEN PRESIÓN

3l

6l

TEMPERATURA Probablemente no vayamos a necesitarlos todos, pero sirve como práctica calcularlos y ver si guardan relación con el gráfico. Con la Ecuación general de los gases, de cualquier punto que tengamos 2 valores vamos a poder calcular el tercero. Entonces calculamos: PA x VA = n . R . TA 8 atm x 3 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TA

TA = 292,68 K Viendo las evoluciones que nos muestra el gráfico, sin embargo, podemos agregar más datos al cuadro:  La evolución CA es una isoterma, con lo cual TC = TA

PB x VB = n . R . TB 4 atm x 3 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TB

TB = 146,34 K

PUNTO

A

B

C

VOLUMEN

3 l

3l

6l

PRESIÓN

8 atm

4 atm

4 atm

TEMPERATURA

292,68 K

146,34 K

292,68 K

PARÁMETRO

Como vemos, podemos averiguar todos los datos. Ahora veremos cuáles de todos utilizaremos para resolver el ejercicio.

WT = ∑ WAB + WBC + WCA



Trabajo de la evolución AB WAB= 0



¡Recuerden! El trabajo en evoluciones isocóricas vale CERO

Trabajo de la evolución BC W BC= P x (VB – VC) WBC = 4 atm x (6 l – 3 l) WBC= 12 l.atm



Trabajo de la evolución CA 𝑉𝑓

W CA= n.R.t. ln ( 𝑉𝑖 ) W CA= 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x 292,67 K x ln

3𝑙 6𝑙

WCA= - 16,56 l.atm



Trabajo total W T= ∑ 12 l.atm + (-16,56 l.atm) WT= - 4,56 l.atm

Dado que el trabajo es una forma de energía puede expresarse en cualquier unidad de energía, siendo la más adecuada Joule. Por lo tanto; utilizando la constante general de los gases R:

0,082 l.atm _____ 8,31 J - 4,56 l.atm _____ - 462,12 J c) Para resolver este ítem debemos tener en cuenta más conceptos teóricos que prácticos. En primer instancia, la Primer ley de la termodinámica, que dice

ΔU = Q – W

En segundo lugar, recordar que la variación de energía interna depende única y exclusivamente de la variación de temperatura, como demostró Joule en su segunda experiencia. Con lo cual, si no se modifica la temperatura de un sistema, tampoco se modifica la energía interna. Esto resulta en que ΔU= 0. Para el caso particular de los ciclos, independientemente de las transformaciones que haya sufrido el gas, el estado inicial y el final son iguales. Por lo tanto, no hay modificación de la temperatura. Es decir que en este y en todos los ciclos, ΔU = 0 En este caso, el gas parte del punto A y termina en el punto A. Con lo cual, la variación de temperatura es cero (ΔT= Tf – Ti => ΔT= TA – TA => ΔT= 0).

Por lo tanto se cumple que ΔU = Q – W 0=Q–W Q=W ¡Recordar! En los ciclos, la variación de temperatura entre el estado final y el inicial es nula, con lo cual la variación de energía interna también es nula. Por lo tanto el calor es igual al trabajo Como consecuencia de esto, no debemos calcular el valor del calor total intercambiado mediante el empleo de fórmulas y la sumatoria de todos los intercambios de calor individuales de cada evolución, sino utilizando el equivalente mecánico del calor, valor hallado por Joule en su primera experiencia:

8,31 J ________ 2 cal - 462,12 J_____ -111,21 cal d) En el caso de las evoluciones isotérmicas, ocurre lo mismo que para el caso de los ciclos. La variación de energía interna es nula, con lo cual el calor intercambiado es equivalente al trabajo realizado por el sistema. Por lo tanto:

0,082 l.atm ________ 2 cal - 16,56 l.atm_____ - 403,9 cal

EJERCICIO 27 a) Hay dos maneras de resolver este ítem. Analíticamente y gráficamente. Podemos calcular la cantidad de trabajo realizado en cada uno de los ciclos o podemos trazar el área bajo la curva y ver cuál de los dos tiene un área mayor. Vamos a resolverlo de ambas maneras ya que cualquiera de las dos es válida. ANALÍTICAMENTE: PUNTO

A

B

B´

C

VOLUMEN

5l

5l

20 l

20 l

PRESIÓN

4 atm

1 atm

4 atm

1 atm

PARÁMETRO

TEMPERATURA

Con todos los datos disponibles, podemos calcular el trabajo en las dos diferentes evoluciones que se nos plantean:

WT ABC= ∑ WAB + WBC 

Trabajo de la evolución AB WAB= 0



Trabajo de la evolución BC W BC= P x (VB – VC) WBC = 1 atm x (20 l – 5 l) WBC= 15 l.atm



Trabajo total W T= ∑ 0 l.atm + 15 l.atm WT= 15 l.atm

WT AB´C= ∑ WAB´ + WB´C



Trabajo de la evolución AB´ W AB´= P x (VA – VB´) WAB´ = 4 atm x (20 l – 5 l) WAB´= 60 l.atm



Trabajo de la evolución B´C WB´C= 0



Trabajo total W T= ∑ 60 l.atm + 0 l.atm WT= 60 l.atm

Por lo tanto el trabajo intercambiado en la evolución ABC es menor al realizado en AB´C GRÁFICAMENTE: Recordemos que el trabajo se calcula como el área bajo la curva de la evolución correspondiente

Evolución ABC

El trabajo realizado en la evolución se grafica en celeste

Evolución AB´C

El trabajo realizado en la evolución se grafica en rojo

Claramente, el área bajo la curva en el segundo caso es mayor al primero.

b) Con la Ecuación general de los gases, de cualquier punto que tengamos 2 valores vamos a poder calcular el tercero. Entonces calculamos: PA x VA = n . R . TA 4 atm x 5 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TA

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TB

TA = 243,9 K

PB x VB = n . R . TB 1 atm x 5 l = 1 mol x 0,082 TB = 60,98 K

PC x VC = n . R . TC 1 atm x 20 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TC

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TB´

TC = 243,9 K

PB´ x VB´ = n . R . TB´ 4 atm x 20 l = 1 mol x 0,082

TB´ = 975,61 K

c) Para resolver este ítem debemos tener en cuenta conceptos teóricos más que prácticos. En primer instancia, la Primer ley de la termodinámica, que dice

ΔU = Q – W En segundo lugar, recordar que la variación de energía interna depende única y exclusivamente de la variación de temperatura, como demostró Joule en su segunda experiencia. Con lo cual, si no se modifica la temperatura de un sistema, tampoco se modifica la energía interna. Esto resulta en que ΔU= 0. Para el caso particular de los ciclos, independientemente de las transformaciones que haya sufrido el gas, el estado inicial y el final son iguales. Por lo tanto, no hay modificación de la temperatura. Es decir que en este y en todos los ciclos, ΔU = 0 En este caso, el gas parte del punto A y termina en el punto A. Con lo cual, la variación de temperatura es cero (ΔT= Tf – Ti => ΔT= TA – TA => ΔT= 0).

Por lo tanto se cumple que ΔU = Q – W 0=Q–W Q=W ¡Recordar! En los ciclos, la variación de temperatura entre el estado final y el inicial es nula, con lo cual la variación de energía interna también es nula. Por lo tanto el calor es igual al trabajo Como consecuencia de esto, no debemos calcular el valor del calor total intercambiado mediante el empleo de fórmulas y la sumatoria de todos los intercambios de calor individuales de cada evolución, sino calcular el trabajo total realizado y luego, mediante el equivalente mecánico del calor, expresarlo en calorías.

WT AB´CBA= ∑ WAB´ + WB´C + WCB + WBA 

Trabajo de la evolución AB´ W AB´= P x (VA – VB´)

WAB´ = 4 atm x (20 l – 5 l) WAB´= 60 l.atm 

Trabajo de la evolución B´C WB´C= 0



Trabajo de la evolución CB W CB= P x (VC – VB) WCB = 1 atm x (5 l – 20 l) WCB= -15 l.atm



Trabajo de la evolución BA WBA= 0



Trabajo total W T= ∑ 60 l.atm + 0 l.atm + (-15 l.atm) + 0 l.atm WT= 45 l.atm

0,082 l.atm ________ 2 cal 45 l.atm _____ 1097,56 cal d)

¡Recordar! En los ciclos, la variación de temperatura entre el estado final y el inicial es nula, con lo cual la variación de energía interna también es nula.

Por lo tanto, ΔU= 0 calorías.

EJERCICIO 30 En este caso, la recomendación para hacer el gráfico PV es, en primera instancia, marcar los puntos de los cuales tenemos valores. De acuerdo a la

tabla y a la descripción de las evoluciones, podremos encontrar los valores correspondientes de presión y volumen para los 5 puntos: Evolución AB BC CD DE EA

Transformación isotérmica compresión isobárica Isocórica Isobárica Isocórica

Dato PA = 2 atm TB = 27 °C PC = 1 atm VD = 18 dm3 PE = 0,8 atm

Entonces deducimos que:     

La temperatura de A y B es de 300 K La presión de B y C es 1 atmósfera El volumen de C y D es 18 litros La presión de D y E es 0,8 atmósferas El volumen de E es el mismo que el de A PUNTO

A

PARÁMETRO

B

VOLUMEN PRESIÓN

2 atm

1 atm

TEMPERATURA

300 K

300 K

C

D

18 l

18 l

1 atm

0,8 atm

E 0,8 atm

Con la Ecuación general de los gases, de cualquier punto que tengamos 2 valores vamos a poder calcular el tercero. Entonces calculamos: PA x VA = n . R . TA 2 atm x VB = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x 300 K

VA = 12,3 l Como dijimos, VA = VE = 12,3 l

PB x VB = n . R . TB 1 atm x VB = 1 mol x 0,082 VB = 24,6 l

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x 300 K

PC x VC = n . R . TC 1 atm x 18 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TC

TC = 219,51 K

PD x VD = n . R . TD 0,8 atm x 18 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TD

TD = 175,61 K

PE x VE = n . R . TE 0,8 atm x 12,3 l = 1 mol x 0,082

𝑙.𝑎𝑡𝑚 𝐾.𝑚𝑜𝑙

x TE

TE = 120 K

PUNTO

A

B

C

D

E

VOLUMEN

12,3 l

24,6 l

18 l

18 l

12,3 l

PRESIÓN

2 atm

1 atm

1 atm

0,8 atm

0,8 atm

TEMPERATURA

300 K

300 K

219,51 K

175,61 K

120 K

PARÁMETRO

Por lo tanto, ahora colocaremos l...