TM3 2018 Studyhelp PDF

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Zusammenfassung alle kapitel...

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Veranstaltungsskript Technische Mechanik III

basierend auf der Vorlesung Technische Mechanik III – Technische Universität Darmstadt 17./18.02.2018 Stand: 13. Februar 2018

#nachhilfewargestern

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#nachhilfewargestern Inhaltsverzeichnis 1 BEWEGUNG EINES MASSEPUNKTES

2

1.1 GESCHWINDIGKEIT UND BESCHLEUNIGUNG

2

1.1.1 GERADLINIGE BEWEGUNG

2

1.1.2 POLARKOORDINATEN

4

1.1.3 NATÜRLICHE KOORDINATEN

5

1.2 WURF

6

1.3 ENERGIESATZ & ARBEITSSATZ

8

1.4 GEFÜHRTE BEWEGUNGEN

9

2 KINETIK/ KINEMATIK VON SYSTEMEN

11

2.1 KINETIK

11

2.1.1 KRÄFTESATZ

12

2.1.2 MOMENTENSATZ

12

2.1.3 MASSENTRÄGHEITSMOMENT

13

2.2 KINEMATIK

15

3 STOß

17

3.1 ZENTRISCHER STOß

17

3.2 EXZENTRISCHER STOß

20

4 PRINZIP VON D’ALEMBERT

24

5 SCHWINGUNGEN

26

5.1 FREIE SCHWINGUNGEN

27

5.1.1 UNGEDÄMPFTE FREIE SCHWINGUNG

27

5.1.2 GEDÄMPFTE FREIE SCHWINGUNG

28

5.1.3 ALLGEMEINES VORGEHEN BEI FREIEN SCHWINGUNGEN

31

5.2 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN

32

5.2.1 UNGEDÄMPFTE ERZWUNGENE SCHWINGUNG

32

5.2.2 GEDÄMPFTE ERZWUNGENE SCHWINGUNG

34

5.2.3 ALLGEMEINES VORGEHEN BEI ERZWUNGENEN SCHWINGUNGEN

36

5.3 FEDERZAHLEN

37

5.3.1 PARALLELSCHALTUNG

39

5.3.2 REIHENSCHALTUNG

39

www.studyhelp.de - II

#nachhilfewargestern 6 HYDRODYNAMIK

40

6.1 KONTINUITÄTSGLEICHUNG

41

6.2 BERNOULLI-GLEICHUNG

41

6.3 IMPULSSATZ

42

7 AUFGABENSAMMLUNG

44

www.studyhelp.de - III

Vorwort Das Ziel dieses Kurses von Studyhelp ist es, eine Zusammenfassung über den Stoff der gesamten Veranstaltung zu geben. Der Inhalt des Kurses basiert auf der Vorlesung „Technische Mechanik III“ des Fachbereichs 13 der TU Darmstadt. Die Auswahl der im Rahmen dieser Veranstaltung behandelten Themen orientiert sich an den klausurrelevanten Aufgabentypen, was auf den Erfahrungen der letzten Jahre beruht. Da sich die Inhalte der Klausuren von Jahr zu Jahr ändern können, kann dieses Skript keine 100-prozentige Garantie liefern, dass genau die behandelten Themen drankommen. Das Skript besteht zunächst aus einem Grundlagenteil, in dem die theoretischen Vorgehensweisen beschrieben werden, die anschließend im zweiten Teil in der Bearbeitung von Aufgaben angewendet werden.

Bei Fragen oder Anmerkungen rund um TM, die im Laufe der weiteren Klausurvorbereitung entstehen, gibt es die folgende Gruppe auf Facebook: „Technische Mechanik @TU Darmstadt“ https://www.facebook.com/groups/TMTUD/

Bei der Ausarbeitung dieses Skriptes geht eine Danksagung an M. Werner.

13.02.2018 Stephan Cleve

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1 Bewegung eines Massepunktes

1.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung Die augenblickliche Lage eines Punktes in Bezug auf einen festen Punkt (Ursprung) wird durch den Ortsvektor r(t) beschrieben.

Ortsvektor

𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝒆𝒙 + 𝑦(𝑡)𝒆𝒚 + 𝑧(𝑡)𝒆𝒛

Geschwindigkeit

𝒗(𝑡) = 𝒓󰇗 (𝑡)

Beschleunigung

𝒂(𝑡) = 𝒗󰇗 (𝑡) = 𝒓󰇘 (𝑡)

Hinweis: Der Punkt über einer Variabel 𝑥󰇗 bedeutet die zeitliche Ableitung. Ein fett gedruckter Buchstabe bedeutet, dass dieser einen Vektor darstellt.

𝑥󰇗 =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

Somit ist die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Ortsvektors bzw. der Strecke. (Geschwindigkeit = zeitliche Änderung des Ortes)

1.1.1 Geradlinige Bewegung Bei einer geradlinigen Bewegung besteht der Ortsvektor nur aus einer Komponente. Ableitung

Integration 𝑥

𝑥 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡

Geschwindigkeit

𝑣 = 𝑥󰇗

𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡

Beschleunigung

𝑎 = 𝑣󰇗 = 𝑥󰇘

𝑎

Strecke

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In vielen Aufgaben ist es erforderlich, die Bewegungsgleichungen eines Körpers in Abhängigkeit der Zeit aus einer gegebenen Beschleunigung herzuleiten. Dabei ist zu unterscheiden, von welcher Größe diese Beschleunigung abhängig ist.

Beispiel 1.1 Gegeben ist eine konstante Beschleunigung a0: 𝑎(𝑡) = 𝑎0

𝑣 = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑎0 𝑡 + 𝑐1

𝑥 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡 =

1 𝑎 𝑡 2 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 2 0

Die Integrationskonstanten lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Alternativ dazu hätte man auch eine bestimmte Integration durchführen können.

Beispiel 1.2 Gegeben ist die Beschleunigung in Abhängigkeit der Geschwindigkeit v: 𝑎(𝑣) = 𝑘 ⋅ 𝑣 𝑑𝑣 𝑚𝑖𝑡 𝑎 = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑣 ⟹ = 𝑘 ⋅ 𝑣 ⟹ 𝑘 ⋅ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 𝑣 𝑡 𝑣 1 ∫ 𝑘 ⋅ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑣 𝑣0 𝑣 0

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑒𝑖𝑑 𝑒𝑟 𝑆𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛 𝑒𝑟𝑔𝑖𝑏𝑡: 𝑣 𝑘𝑡 = ln 𝑣0 ⟹ 𝑣(𝑡) = 𝑣0 ⋅ 𝑒 𝑘𝑡 1 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = ⋅ 𝑣0 ⋅ 𝑒 𝑘𝑡 𝑘

Hierbei wurde das Prinzip der Trennung der Veränderlichen angewendet. Dies ist erforderlich, wenn die Beschleunigung a bzw. die Geschwindigkeit v nicht in Abhängigkeit der Zeit t gegeben ist.

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Beispiel 1.3 Gegeben ist die Beschleunigung in Abhängigkeit der Strecke x. 𝑎(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑥

𝑚𝑎𝑛 𝑒𝑟𝑠𝑒𝑡𝑧𝑡 𝑎 = 𝑎=

𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑢𝑛𝑑 𝑒𝑟𝑤𝑒𝑖𝑡𝑒𝑟𝑡 𝑚𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥

𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑣 ⋅ = ⋅𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 ⋅𝑣=𝑘⋅𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑘 ⋅ ∫ 𝑥 𝑑𝑥

⟹ 𝑣(𝑥) = √𝑘 ⋅ 𝑥 + 𝑐

𝑤𝑒𝑖𝑡𝑒𝑟𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑖𝑡 𝑣 =

𝑑𝑥 𝑓üℎ𝑟𝑡 𝑧𝑢 : 𝑥 (𝑡) = . . . 𝑑𝑡

1.1.2 Polarkoordinaten

Abbildung 1-1: Polarkoordinaten

Bei Polarkoordinaten hat man einen festen Ursprung 0. Die Geschwindigkeit sowie die Beschleunigung hat eine radiale 𝒆𝒓 und eine zirkulare 𝒆𝝋 Komponente: 𝒓 = 𝑟𝒆𝒓 𝒗 = 𝑣𝑟 𝒆𝒓 + 𝑣𝜑 𝒆𝝋 = 𝑟󰇗 𝒆𝒓 + 𝑟𝜑󰇗 𝒆𝝋 𝒂 = 𝑎𝑟 𝒆𝒓 + 𝑎𝜑 𝒆𝝋 = (𝑟󰇘 − 𝑟𝜑󰇗 2 )𝒆𝒓 + (𝑟𝜑󰇘 + 2𝑟󰇗 𝜑󰇗)𝒆𝝋

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Mit: 𝜔 = 𝜑󰇗 = 𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑔𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 𝜔󰇗 = 𝜑󰇘 = 𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑏𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 Durch Erweiterung der Polarkoordinaten durch den Basisvektor ez erhält man Zylinderkoordinaten (r, φ, z), welche eine räumliche Verallgemeinerung der Polarkoordinaten (r, φ) sind.

Abbildung 1-2: Zylinderkoordinaten

1.1.3 Natürliche Koordinaten

Abbildung 1-3: Natürliche Koordinaten

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Der Ursprung des Koordinatensystems bewegt sich mit dem Punkt P längs seiner Bahn. Der Vektor en zeigt zum lokalen Krümmungsmittelpunkt M.

𝒓 = 𝒓(𝑠(𝑡))

Ortsvektor

𝒗 = 𝑣𝒆𝒕

Bahngeschwindigkeit

𝑣2 𝒂 = 𝑎𝑡 𝒆𝒕 + 𝑎𝑛 𝒆𝒏 = 𝑣󰇗 𝒆𝒕 + 𝒆𝒏 𝜌

Beschleunigungsvektor

Mit: at an ρ

= Bahnbeschleunigung = Normalbeschleunigung = Krümmungsradius

Für eine Kreisbewegung gilt: (ρ = r = konstant) 𝑣 = 𝑠󰇗 = 𝑟𝜑󰇗 = 𝑟𝜔 𝑎𝑡 = 𝑣󰇗 = 𝑟𝜔󰇗 ⇒ 𝒂𝒕 = 𝐫𝝋󰇘 𝑣2 𝑎𝑛 = = 𝑟𝜔2 ⇒ 𝒂𝒏 = 𝒓𝝋󰇗𝟐 𝑟

1.2 Wurf

Abbildung 1-4: Wurf

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Herleitung der Wurfparabel: 𝑥󰇘 = 0

𝑦󰇘 = −𝑔

𝑥󰇗 = 𝑐1

𝑦󰇗 = −𝑔𝑡 + 𝑐3

1 𝑦 = − 𝑔𝑡 2 + 𝑐3 𝑡 + 𝑐4 2

𝑥 = 𝑐1 𝑡 + 𝑐2

Mit den gegebenen Anfangsbedingungen (Abwurfgeschwindigkeit v0 mit dem Abwurfwinkel 𝛼 ) folgt: 𝑥󰇗 = 𝑣0 cos 𝛼

𝑦󰇗 = −𝑔𝑡 + 𝑣0 sin 𝛼

1 𝑦 = − 𝑔𝑡 2 + 𝑣0 sin 𝛼 ⋅ 𝑡 2

𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼 ⋅ 𝑡

Durch Elimination der Zeit t folgt die Wurfparabel:

𝑦(𝑥) = −

2𝑣0

𝑔

2 cos² 𝛼

𝑥 2 + tan 𝛼 ⋅ 𝑥

Weitere Formeln zum Wurf: Wurfweite 𝑥𝑤

𝑥𝑤 = tan 𝛼

Wurfzeit 𝑡𝑤

𝑡𝑤 =

Wurfweite 𝑥ℎ (Scheitelpunkt)

𝑥ℎ =

Wurfhöhe 𝑦ℎ

𝑦ℎ =

2𝑣0 2 cos² 𝛼 𝑣0 2 = sin(2𝛼) 𝑔 𝑔

𝑥𝑤 𝑣0 = 2 sin 𝛼 𝑔 𝑣0 cos 𝛼

1 𝑣0 2 sin(2𝛼) 2 𝑔

1 (𝑣 sin 𝛼)² 2𝑔 0

𝑦(𝑥𝑤 ) = 0

𝑦󰇗 (𝑥ℎ ) = 0 𝑦ℎ = 𝑦(𝑥ℎ )

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1.3 Energiesatz & Arbeitssatz Der Energie(-erhaltungs)-satz gibt an, dass sich die Gesamtenergie in einem geschlossenen System nicht ändert. Die Gesamtenergie ist somit zwischen zwei Bahnpunkten 1 und 2 jeweils gleich groß. Die Gesamtenergie kann sich aus unterschiedlichen Energieformen zusammensetzen und ineinander umgewandelt werden. Der Energiesatz ist unabhängig von der zurück gelegten Strecke (konservativ). Allgemein unterscheidet man zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie eines Systems. 𝐸𝑘𝑖𝑛.1 + 𝐸𝑝𝑜𝑡.1 = 𝐸𝑘𝑖𝑛.2 + 𝐸𝑝𝑜𝑡.2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Mit: Kinetische Energie 𝑬𝒌𝒊𝒏. Translation:

𝐸𝑘𝑖𝑛. =

Rotation:

𝐸𝑘𝑖𝑛 =

Potentielle Energie 𝑬𝒑𝒐𝒕.

1 𝑚𝑣² 2

1 𝜃𝜑󰇗 2 2

Höhenenergie:

𝐸𝑝𝑜𝑡. = 𝑚𝑔ℎ

Potential einer Feder:

𝐸𝑝𝑜𝑡. =

Potential einer Drehfeder:

𝐸𝑝𝑜𝑡. =

1 2 𝑐𝑥 2

1 𝑐 𝜑2 2 𝑇

Das Vorzeichen der Höhenenergie ist abhängig vom zuvor definierten Nullniveau; Höhenlagen darüber sind positiv, darunter negativ. Der Arbeitssatz beschreibt die dem System von außen zugeführte Arbeit W bzw. die Arbeit der Kräfte zwischen zwei Bahnpunkten. 𝐸𝑘𝑖𝑛.2 − 𝐸𝑘𝑖𝑛.1 = 𝑊

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Der Arbeitssatz stellt eine Erweiterung des Energiesatzes dar und wird angewendet, sobald ein Körper auf seiner Bahnbewegung Arbeit verrichtet. Dies ist beispielsweise der Fall, sobald Reibung vorhanden ist, bei der die Reibungskraft Arbeit verrichtet. 𝐸𝑘𝑖𝑛.1 + 𝐸𝑝𝑜𝑡.1 + 𝑊 = 𝐸𝑘𝑖𝑛.2 + 𝐸𝑝𝑜𝑡.2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Mit: Arbeit durch Reibungskraft Arbeit durch Kraft Arbeit durch Moment

𝑙

𝑊𝑅 = − ∫ 𝑅 𝑑𝑥 0

𝑙

𝑊 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 0

𝜑

𝑊 = ∫ 𝑀 𝑑𝜑 0

1.4 Geführte Bewegungen Unter einer geführten Bewegung versteht man, wenn sich ein Körper auf einer vorgegebenen Bahn (i.d.R. Kreisbewegung) bewegt. Dabei existiert eine Führungskraft (Zwangskraft), die die geforderte Bindung an die Bahn bewirkt. Diese wirken immer senkrecht zur Bahn und können mit Hilfe eines Freikörperbildes bestimmt werden. Dabei wird im Gegensatz zum Energiesatz die zurückgelegte Strecke berücksichtigt.

Vorgehensweise: Zur Lösung solcher Aufgaben werden an einem beliebigen Punkt auf der Kreisbewegung des Körpers die Kräftebilanzen in Normal- und Tangentialrichtung aufgestellt (natürliche Koordinaten) und die jeweiligen Beschleunigungen a n und at für eine Kreisbewegung eingesetzt.

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𝑚𝑎𝑛 = 𝐹üℎ𝑟𝑢𝑛𝑔𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 + ∑( 𝐾𝑟ä𝑓𝑡𝑒 𝑖𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑟 𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔)

(1.)

Mit: 𝑎𝑛 = 𝑟𝜑󰇗 2 𝑚𝑎𝑡 = ∑(𝐾𝑟ä𝑓𝑡𝑒 𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒𝑟 𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔)

(2.)

Mit: 𝑎𝑡 = 𝑟𝜑󰇘 = 𝑟 ⋅

𝑑𝜑󰇗 𝑑𝜑 𝑑𝜑󰇗 ⋅ 𝜑󰇗 ⋅ =𝑟⋅ 𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝑑𝜑

Aus Gleichung (2.) lässt sich die Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Winkels φ bestimmen: 𝜑󰇗 (𝜑) = Damit lässt sich anschließend die zur Führungskraft N aus der Gleichung (1.) be-

stimmen: 𝑁(𝜑) =

Verlangt die Aufgabenstellung, dass ein gewisser Punkt auf der Kreisbewegung mindestens bzw. gerade so erreicht werden soll, dann wirkt diese Führungskraft solange, bis dieser Punkt erreicht wird. Somit lässt sich für 𝜑 der Wert einsetzen, bis wohin die Kraft N wirken soll; bzw. wird genau dieser Grenzfall (beim Erreichen dieses Punktes) betrachtet, an dem die Führungskraft dann gleich Null gesetzt werden kann. Anschließend kann nach dem gesuchten Parameter aufgelöst werden.

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2 Kinetik/ Kinematik von Systemen Die Bewegung eines Körpers setzt sich im Allgemeinen aus Translation und Rotation zusammen. Die Geschwindigkeit (bzw. Beschleunigung) eines beliebigen Punktes P ist gleich der Geschwindigkeit (bzw. Beschleunigung) des Punktes A plus der Geschwindigkeit (bzw. Beschleunigung) des Punktes P infolge der Rotation um den Punkt A. 𝒓𝑷 = 𝒓𝑨 + 𝒓𝑨𝑷 𝒗𝑷 = 𝒗𝑨 + 𝒗𝑨𝑷 𝒂𝑷 = 𝒂𝑨 + 𝒂𝒓 𝑨𝑷 + 𝒂𝝋 𝑨𝑷 Mit: 𝒓𝑷 𝒗𝑨𝑷 𝒂𝒓 𝑨𝑷 𝒂𝝋 𝑨𝑷

= = = =

𝑟𝒆𝒓 𝑟𝜔𝒆𝒓 −𝑟𝜔2 𝒆𝒓 𝑟𝜔󰇗 𝒆𝝋

2.1 Kinetik Die Kinetik beschreibt allgemein den Zusammenhang zwischen Kräften und Bewegungen. Dabei wird zwischen dem Kräftesatz (Translation) und dem Momentensatz (Rotation) unterschieden.

Kinetik

Translation Bewegung, bei der alle Punkte eines Systems bzw. eines starren Körpers dieselbe Verschiebung erfahren Kräftesatz

Rotation Drehbewegung eines Körpers um eine Rotationsachse

Momentensatz

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2.1.1 Kräftesatz Der Kräftesatz (auch Schwerpunktsatz genannt) beschreibt den Zusammenhang zwischen einer translatorischen Bewegung und der auf den Körper wirkenden Kräfte in gleicher Richtung: "𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 ⋅ 𝐵𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 = 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐾𝑟ä𝑓𝑡𝑒" 𝑚𝑥󰇘 = ∑ 𝐹𝑥 𝑚𝑦󰇘 = ∑ 𝐹𝑦 Erfährt die Masse m keine Bewegung (𝑥󰇘 = 0), so ergibt sich ∑ 𝐹 = 0 (siehe TM I). 2.1.2 Momentensatz Der Momentensatz (auch Drallsatz genannt) beschreibt den Zusammenhang zwischen der Rotation eines Körpers und der auf ihn wirkenden Kräfte. "𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 ⋅ 𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑏𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 = 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒" 𝜃𝐴 𝜑󰇘 = ∑ 𝑀𝐴 Mit: 𝜃𝐴 𝜑󰇘

= Massenträgheitsmoment bezüglich des Drehpunktes A = Winkelbeschleunigung (= 𝜔󰇗 )

∑ 𝑀𝐴 = Summe aller Momente um den Drehpunkt A

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2.1.3 Massenträgheitsmoment Allgemein versteht man unter dem Massenträgheitsmoment ein Maß eines Körpers, wie sehr sich dieser gegenüber einer Rotationsbewegung widersetzen kann. Die Größe ist abhängig von der Geometrie des Körpers.

Allgemein gilt: 𝜃𝐴 = ∫ 𝑟² 𝑑𝑚 Mit: 𝜃𝐴

= Massenträgheitsmoment bezüglich Punkt A

r

= senkrechter Abstand von der Masse m zur Achse a-a

Ist das Massenträgheitsmoment eines Körpers bezüglich eines abweichenden Punktes 𝜃𝐴 zu bestimmen, so gilt der Satz von Steiner (vgl. Flächenträgheitsmomente TM II). 𝜃𝐴 = 𝜃𝑆 + 𝑟𝑠 ²𝑚 Mit: 𝜃𝐴

𝜃𝑆 𝑟𝑠

= Massenträgheitsmoment bezüglich Punkt A = Massenträgheitsmoment bezüglich Punkt S (i.d.R. Schwerpunkt S) = Entfernung von Punkt A zu S

In der folgenden Tabelle sind die gängigsten Massenträgheitsmomente aufgelistet:

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Geometrie

Massenträgheitsmoment

Punktmasse 𝜃𝑎 = 𝑚𝑙²

Dünner Stab (Balken) 1 𝑚𝑙2 12 1 𝜃𝑎 = 𝑚𝑙² 3

𝜃𝑆 =

Dünne Kreisscheibe

1 𝜃𝑆 = 𝑚𝑟² 2 1 𝜃𝑎 = 𝑚𝑟² 4

(Walze)

Quader

Kreiszylinder

Kugel

1 𝑚(𝑏 2 + 𝑑 2 ) 12 1 1 2 𝑑 ) 𝜃𝑎 = 𝑚 ( 𝑏 2 + 12 3

𝜃𝑆 =

1 𝜃𝑆 = 𝑚𝑟 2 2 3 𝜃𝑎 = 𝑚𝑟 2 2 1 1 𝑚𝑟² 𝜃𝑏 = 𝑚𝑟 2 + 12 4 2 𝑚𝑟 2 5 7 𝜃𝑎 = 𝑚𝑟 2 5

𝜃𝑆 =

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2.2 Kinematik Die Kinematik beschreibt den geometrischen Zusammenhang bzw. das Verhältnis von unterschiedlichen Bewegungsgrößen, ohne dass auf Kräfte als Ursache oder Wirkung der Bewegung eingegangen wird. Die Bewegung eines starren Körpers setzt sich aus Translation und Rotation zusammen. Diese Bewegung lässt sich zu jedem Zeitpunkt auch als reine Drehbewegung um einen augenblicklichen (momentanen) Drehpunkt beschreiben, welcher als Momentanpol π bezeichnet wird. Der Momentanpol ist kein fester Punkt, sondern bewegt sich selbst. Je nach Lage des Körpers befindet sich der Momentanpol an einer anderen Stelle. Den geometrischen Ort aller Punkte, die ein Momentanpol durchläuft, wird als Rastpolbahn bezeichnet. Zur Bestimmung der Kinematik bei Rotationsbewegungen ist es daher zunächst erforderlich, die Lage des Momentanpols zu bestimmen. Anhand des Beispiels in der folgenden Abbildung wird das allgemeine Vorgehen dazu beschrieben. Ist die Geschwindigkeitsrichtung von zwei Punkten des Körpers bekannt, lässt sich die Lage des Momentanpols eindeutig bestimmen. 1. Zeichen der Geschwindigkeitsvektoren vA und vS 2. Zeichnen von Senkrechten zu den beiden Geschwindigkeiten vA und vS durch beide Punkte A und S 3. Der Momentanpol liegt im Schnittpunkt beider Senkrechten (kann auch außerhalb des Körpers liegen) 4. Ist dabei die momentane Geschwindigkeit eines Punktes Null, so ist dieser Punkt der Momentanpol

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Aus der Abbildung folgt: 𝑣𝑆 = 𝜑󰇗 ⋅ 𝑟 𝑣𝐴 = 𝜑󰇗 ⋅ 2𝑟

Allgemeines Vorgehen zur Bestimmung der Kinematik 1. Festlegen des Momentanpols: -

Berührpunkt der Walze mit dem Boden Mittelpunkt der Walze, sofern diese dort gelenkig gelagert ist (keine Bewegung am Mittelpunkt) Punkt, an dem eine Walze mit einem Seil verbunden ist, welches an einer festen Wand befestigt ist Bestimmen des Schnittpunktes der Senkrechten auf den Geschwindigkeitsvektoren

2. Aufstellen der Kinematik „Strecke = [senkrechte Entfernung von Punkt zu Momentanpol] ⋅ Winkel“ 𝑥 =𝑟∙𝜑

Mit: x

= Bewegung des Punktes P

r φ

= senkrechte Entfernung vom Punkt P zum Momentanpol π = Winkel

Somit gilt auch: 𝑥󰇗 = 𝑟 ∙ 𝜑󰇗 𝑥󰇘 = 𝑟 ∙ 𝜑󰇘

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3 Stoß Ein Stoß beschreibt das plötzliche Aufeinandertreffen zweier Körper und die daraus hervorgerufene Bewegungsänderung. -

Der Punkt, an dem die Körper zusammentreffen wird als Stoßpunkt P

-

bezeichnet. Die am Stoßpunkt P auftretende Stoßkraft 𝑭 (= die über die Stoßdauer integrierte Kraft) ist so groß, dass alle anderen Kräfte vernachlässigt

-

-

werden. Die Stoßkraft 𝐹 wirkt dabei immer senkrecht zur Berührungsebene. Dieser Aussage liegt zugrunde, dass man sich auf glatte Stoßvorgänge beschränkt. Die bedeutet, dass keine tangentialen Kontaktkräfte am Stoßpunkt wirken. Die Wirkungslinie der Stoßkraft wird als Stoßnormale bezeichnet.

Bei Stoßvorgängen ist zwischen dem zentrischen und dem exzentrischen Stoß zu unterscheiden:

Stoß

Zentrischer Stoß

Exzentrischer Stoß

Stoßnormale geht durch die Schwerpunkte beider Körper

Ein Schwerpunkt liegt nicht auf der Stoßnormalen

3.1 Zentrischer Stoß Der zentrische Stoß ist dadurch gekennzeichnet, da...