TP 4 flexion - Notes de cours 1,2,3 PDF

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C - FLEXION DES POUTRES DROI DROITES TES : TP N°3 1 - FLEXION PURE : Un ep o u t r ee s t s o l l i c i t é ee nfl e x i o ns i s o nmo d ed ec h a r g ee s t t e l q u ' i l a p p a r a î t d a n sl e ss e c t i o n s d r o i t e sd el ap o u t r ed e smo me n t sfl é c h i s s a n t s .L afl e x i o ne s td i t e" p u r e "s i l emo me n tfl é c h i s s a n t d a n s l e ss e c t i o n sd r o i t e se s t l ' u n i q u ea c t i o n , l e se ff o r t st r a n c h a n t se t l e se ff o r t sn o r ma u xn ' e x i s t a n t p a s . L e ss e c t i o n sd a n sl e u re n s e mb l en es ec o u r b e n tp a sp e n d a n tl afl e x i o nma i se ff e c t u e n t s i mp l e me n tu n er o t a t i o n( e x c e p t él e sz o n e sd ' a p p l i c a t i o nd e sc h a r g e ss e l o nl ep r i n c i p ed e St Ve n a n t ) . Pa rc o n s é q u e n tl ' a p p a r i t i o nd ed é f o r ma t i o n se nfl e x i o np u r ep e u t ê t r ec o n s i d é r é ec o mmel e r é s u l t a t d el ar o t a t i o nd e ss e c t i o n sd r o i t e sp l a n e sl e su n e sp a r r a p p o r t a u xa u t r e s .

1 . 1Et u d et h é o r i q u e: Ona d me tq u el e sd i me n s i o n sd el as e c t i o nd r o i t es o n tp e t i t e sd e v a n t l er a y o nd ec o u r b u r eR, q u el e sd é f o r ma t i o n sr e s t e n t“p e t i t e s”e tn ’ e n t r a î n e n td ed é p a s s e me n td el al i mi t eé l a s t i q u e( l o id e Ho o k e ) .

1.1.1 - Etude de la contrainte normale dans la section droite : L e sh y p o t h è s e sn o u sp e r me t t e n t d ' a d o p t e rl ac o n fi g u r a t i o ng é o mé t r i q u ed el afi g u r e2 .  Ex p r e s s i o nd el ' a l l o n g e me n t r e l a t i fx : x = NN' / d x L o i d eHo o k e : x = E x = E NN' / d x o r NN’ =y t a n( d ) e t d p e t i t d o n ct a n( d ) #d  c eq u i p e r me t d ' é c r i r e : x = E ( ddx ) y One nd é d u i t d o n cq u el ar é p a r t i t i o ne s t l i n é a i r e : j u s t i fi c a t i o n+s c h é mad el ar é p a r t i t i o nd e sc o n t r a i n t e s

x = E ( ddx ) y E, d x , d s o n t d e sc o n s t a n t e s .

Do n cx = kya v e cku n ec o n s t a n t ep o s i t i v e . No u sa v o n sd o n cu n ed r o i t ep a s s a n t p a r l ep o i n t G Et d ec o e ffic i e n t d i r e c t e u r E ( d d x )

1.1.2 - Etude des actions mécaniques de cohésion dans une section droite Et u d ed e sa c t i o n smé c a n i q u e sd ec o h é s i o nd a n su n es e c t i o nd r o i t e : Onc o n s i d è r eu n ep o u t r es o l l i c i t é ée nfl e x i o np u r e . One ff e c t u eu n e“c o u p u r e”s e l o nu n es e c t i o nd r o i t e S1 . Oni s o l el et r o n ç o nI .

Oné t u d i el ’ é q u i l i b r ed ut r o n ç o nI s o mi sa u xa c t i o n smé c a n i q u e ss u i v a n t e s:  Ac t i o n smé c a n i q u e se x t é r i e u r e sd ec o n t a c t ( a p p l q u é e sd a n sl as e c t i o nd r o i t eS0 ):

R

Nx=0e ff o r t n o r ma l Ny=0 e ff o r t t r a n c h a n t Tz=0 e ff o r t t r a n c h a n t

m

Mx=0 t o r s i o n My=0fl e x i o n Mz 0 fl e x i o n

 Ac t i o n smé c a n i q u e si n t é r i e u r e sd eI I s u r I d a n sl as e c t i o nd r o i t eS1:

F II / I

Fx=. d S F y=0 Fz=0

a)Pr opr i é t édel afibr emo y e n ne: S. Nx= x d s =  E ( d d x ) y d s o r E ( d d x ) =c t ee t Y d s( mo me n t s t a t i q u e ) d o n cs iS. Nx=0( é q u i l i b r ed el as e c t i o n ) , o ne nd é d u i t : x = 0  y = 0 G c ' e s t àd i r ey o r r e s p o n dàl afi b r en e u t r e G c Si l emo me n t s t a t i q u ee s t n u l , o nay b r emo y e n n e . Gfi L afi b r emo y e n n ee t l afi b r en e u t r es o n t d o n cb i e nc o n f o n d u e s .

b)L e sa x e spr i nc i pa u xd' i ne r t i e: S. Mt = z x d S= z E ( d d x ) y d s S. Mt =0( é q u i l i b r ed e smo me n t sp a r r a p p o r t àl ' a x eG1y = > z y d S=0 OrG1e s t l ec e n t r ed eg r a v i t é , d ep l u sl ap i è c ee s t s y mé t r i q u ed ep a r t e t d ' a u t r ed e sa x e sG1ye t G1z . Onad o n c : G1ye t G1z x e sp r i n c i p a u xd ' i n e r t i e . .a

c)Et udedur a y ondec o ur b ur e: M=S  d S y = E ( d d x )  y ² d s Or d d x = 1 / R, Ré t a n t l er a y o nd ec o u r b u r e Dep l u s y ² d s=I Gz d ' o ù : 1 / R= Mz/ E I Gz

1.1.3 - Expression de la contrainte normale : Mf =E ( d d x ) I Gz Dep l u s= E ( d d x ) y  d ' o ù : = Mf  y/ I Gz  One nd é d u i t Mf  y/ I Gz d ’ où:

 x y d S=Mf = > K1 y ² d x . d y=Mf z< z h / 2 . b / 2 . K1 y ² d y d z=Mf I 1 2 b h3/ Gz= 3 Mf =K / 1 2 h 1 b

x=Mf y / I Gz

2.1.2 - Effor t t r a nc h a ntT y: No u sa l l o n smo n t r e rl ar e l a t i o ns u i v a n t e : T y= K x / d x 2 d Onp e u t r a p p e l e rl e sl o i ss u i v a n t e s :

x=E 

( l o i d eHo o k e )

x=Mf / I y T=d M/ d x d M/ d x=d / d x( E x I / y )=E I / y d x / d x Do n c :T z=K2 d x / d x a v e cK E I / y 2=

2 . 2Et u d ee x p é r i me n t a l ed el ap o u t r ec o n s o l e:

s c h é mad el ap o u t r e

2.2.1 - Et udet hé or i quedel apou t r e: a)Equi l i br es t a t i que: c a l c u l de sa c t i on se nA: Pa rl e sé q u a t i o n sd el as t a t i q u e , o na : Ha=0 Va=P Ma =P . L b)Di a gr a mmede se ffor t st r a nc ha n t s: Eq u a t i o n s :

T r o n ç o nAB:

P T AB=

Di a g r a mme :

s c h é ma

c)Di a gr a mmede smome n t sflé c h i s s a n t s: Eq u a t i o n s:

Ma+ Px=P . ( x-L ) T r o n ç o nAB: Mf AB=-

Di a g r a mme :

d)Dé f or ma t i on: Onc h e r c h eàe x p r i me r y ( x ) =v ( x ) : Mf = E I " Gz v

v "=Mf / ( E I ) < = > v " = P . x/ ( E I Gz Gz) d ' o ù v ' = Px ² / ( 2 E* I Gz ) + C1e t d o n c : v = P* x ^ 3 / ( 6 * E* I Gz ) + C1 * x + C2 o r v ' ( B) = 0(vma x i ma l e ) v ' ( l ) = p * l ² / ( 2 * I * E) + C1 = > C1 = p * l ² / ( 2 * I * E) v ( 0 ) = 0 = > C2 = 0 d ' o ù : 3 v ( x ) = y ( x ) = p x / ( 6E. I ) -P . L² / ( 2EI ) x 3 v ( B) = p L / ( 3E. I )

v ( B) é t a nt l a dé fle x i on

ma x i ma l e .

2.2.2 - Et udee x p é r i me nt a l edel apout r e:  Po ut r ec ons o l e:E1 0 5 F  Sc h é mad el ap o u t r e:

Ca r a c t é r i s t i q u e sd el ap o u t r e:

E=7 1 0 0 0N/ mm² h=3mm b=2 5mm I 5 6 . 2 5mm4 Gz=

Ch a q u ej a u g eal emê mef a c t e u r:

K=2 . 0 9 5

a)Me s ur e s: L o r sd ur é g l a g ed uz é r o , o nl i t s u r l av i smi c r o mé t r i q u e : 1 3 . 4 0 . Po u rV . 5mm( v i smi c r o mé t r i q u e :3 . 9 0mm) ,o nr e l è v el e sv a l e u r sd e sd é f o r ma t i o n sr e l a t i v e sa u x B =9 p o i n t sC, D, e t E. Onp r e n ds o i nd er é g l e r l ez é r od up o n t d ’ e x t e n s i o mé t r i eàc h a q u es é r i ed eme s u r e s .

Me s u r e s

x( C) 6 0 2

y( D) 4 0 2

b)I nt e r pr é t a t i onde sr é s u l t a t s: l c u l del ac h a r geP:  Ca dx dx

Onav uq u e : T P  K 2 

E) z( 1 9 8

Vb( mm) 9 . 5

Ai n s i , p a rme s u r ed e sv a r i a t i o n sd e sd é f o r ma t i o n su n i t a i r e sl o n g i t u d i n a l ee n t r el e s3j a u g e s , o n t r o u v e : P1-2=K2 d / c d 1 / d x=E I / y ( cd) P1-2=7 7 5 1 0 0 0 ( 5 6 . 2 5/ 1 . 5 ) ( ( 6 0 2-4 0 2 ) . 1 0-6)/ P1-2=7 , 1N P2-3=E ( I / y ) ( ed) P2-3=7 7 5 1 0 0 0 5 6 . 2 5/ 1 . 5 ( ( 4 0 21 9 8 ) . 1 0-6)/ P2-3=7 , 2N D' o ù : Pnoy=7 , 1 5N

c he r c hegr a p hi qu edeP:  Re

courbe Ex = f(x)

Ex (µm/m)

800 600 400 200 0 0

50

100

150

200

x (mm)

Onr e c h e r c h el ame i l l e u r ed r o i t ep a s s a n t p a r c e st r o i sp o i n t s. n o sv a l e u r s y = 2 . 6 3 7 * x + 6 6 4 . 7a v e cr = 0 . 9 9 9 9 D' o ù : d / d x = 2 . 6 3 7 1 0 3 µ m/ mm²e t a i n s i Pmo y = 6 . 6 5 N Co n n a i s s a n t Pmo yo np e u t e nd é d u i r e c = Mf * y / I Gz = ( P* x P* l ) * 1 . 5 / 5 6 . 2 5 = 6 . 6 5 * ( 2 5 + 2 5 0 ) * 1 . 5 / 5 6 . 2 5 =3 9 . 9N/ mm² Onp e u t a u s s i d é t e r mi n e r l av a l e u r d e c = E* c = 7 1 0 0 0 * 5 9 7 . 3 * 1 0 3 / 1 0 0 0 = 4 2 . 4N/ mm² Onc o n s t a t eu n ed i ff é r e n c ed e5 . 9%. L e sr é s u l t a t se x p é r i me n t a u xs o n t d o n ct o u t àf a i t c o mp a t i b l e .

i s s a n tl av a l e urdel aflè c h ev ( B) , onpe ut e nc or er e t r ouv e rl av a l e urdeP:  Conna V (B) 

 P x3  P 2503  9,5mm 3 EI 37100056,25



P=7 , 2 8N

r a i s onde s3v a l e ur sdeP:  Compa

mé t hode P( N)

Pa rl ec a l c u l 7 , 1 5

Pa rl eg r a p h i q u e

Pa rl afl è c h e 7 , 2 8

J emes u i sa r r ê t éI CI ud edel ac ont r a i nt enor ma l ee nC:  Et

Onl ed é t e r mi n e r ap a r d e u xmé t h o d e s :  Pa r l ac o n n a i s s a n c ed ePmo y : c = Mf * y / I Gz = 4 2 . 4N/ mm²  Pa r l ac o n n a i s s a n c ed ec : c = E* c( l o i d eHo o k e ) = 4 2 . 2 N/ mm² Ono b t i e n t u n ed i ff é r e n c ed e0 . 5%, c eq u i e s t t o u t àf a i t a c c e p t a b l e . Pa rc e sd i ff é r e n t e smé t h o d e s , o nap ur e t r o u v e r l av a l e u r d ePe t d el ac o n t r a i n t ee nC, d ef a ç o n r e l a t i v e me n t p r é c i s e .L e sv a l e u r ss o n t t r è sv o i s i n e s. Onr e ma r q u eq u el amé t h o d eb a s é es u rl ame s u r e d el afl è c h ee s t c e r t a i n e me n t l amo i n sp r é c i s ed ' e n t r ee l l e s . Ene ff e t , l afl è c h ee s t d i ffic i l eàme s u r e rd ’ o ù l e ss o u r c e sd ’ e r r e u r s .

 Pout r ec on s ol e:EF1 0 2 F  Sc h é mad el ap o u t r e : PROBLEME Ca r a c t é r i s t i q u e sd el ap o u t r e:

b = 2 5 mm h = 6 mm I 4 5 0 mm4 Gz=

Onp l a c el ’ é p r o u v e t t ed a n ss o ns u p p o r te to nv é r i fi el ad i s t a n c eAC= 7 5 mm.Onb r a n c h el e s2 j a u g e se t o nf a i t l e sr é g l a g e sàz é r o . Onc h a r g el ’ é p r o u v e t t ee nBe t o nr e l è v el e sv a l e u r s . Onf a i t v a r i e r l ac h a r g ed e0à3k gd ef a ç o nc r o i s s a n t ee t p r o g r e s s i v ed e0 , 3e n0 , 3k g . a)Me s ur e s: Su rc e t t ep o u t r eo n té t ép l a c é e sd e u xj a u g e sd ' e x t e n s i o mé t r i el ' u n ed a n sl es e n sl o n g i t u d i n a l s u rl af a c es u p é r i e u r e , l ' a u t r e , d a n sl es e n st r a n s v e r s a l s u rl af a c ei n f é r i e u r e . Ca l c u l d ex:

x=P/ S=m. g/ ( b . h ) x=m 1 0/ ( 2 5 6 ) x( Mpa ) =m( k g)/ 1 5

x( µ m/ m) 0 5 7 1 1 3 1 7 1 2 2 8 2 8 5 3 4 2 3 9 9 4 5 6 5 1 4 5 7 1

Ma s s e( k g ) 0 0 . 3 0 . 6 0 . 9 1 . 2 1 . 5 1 . 8 2 . 1 2 . 4 2 . 7 3

z( µ m/ m) 0 1 4 3 3 5 1 6 8 8 6 1 0 4 1 2 4 1 4 0 1 5 8 1 7 6

Mp a) x( 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6 0 . 1 8 0 . 2 0

VVVVVVVAML EURAMODI FFFF FFFFFFFI EEEé é é é é é r r

ox (MPa)

Détermination de E: ox=f(Ex) 0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0 0

100

200

300

400

500

600 Ex (µm/m)

b)I nt e r pr é t a t i onde sr é s u l t a t s:

l c u l deE:  Ca Onc a l c u l el ' é q u a t i o nd el ad r o i t e : x = 3 , 4 91 0 4 x 7 , 0 9 1 0 4 D' o ùE= 3 4 9N/ mm² l c u l duc oe ffic i e ntd epoi s : s o n  Ca

Ez (µm/m)

Da n sl ’ e x p é r i e n c eq u i s u i t , n o u sa l l o n sme s u r e rl ec o e ffic i e n t d ePo i s s o nd el ’ a l u mi n i u ms u ru n e p o u t r ec h a r g é ee nfl e x i o np u r e . Détermination de v:

Ez=f(Ex)

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

100

200

300

400

500

600 Ex (µm/m)

a l c ul del ' é qua t i ondel adr oi t e: c z = 0 . 3 1 3 5 * x 1 . 3 2 1

d ' o ù:  =0 , 3 1 3 5

Conc l us i on:Lav a l e urduc oe ffic i e ntdepoi s s one s ts a t i s f a i s a nt e , pa rc o nt r eE, s e mbl el ui pl usdout e u x ....