TPN2 Ejercicios resueltos PDF

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espero que sirva, este documento como me sirvio a mi....

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Trabajo Práctico N° 2: Relaciones y Funciones 2- a) En cada uno de los siguientes casos, determine si la relación indicada es una relación de equivalencia o de orden en A = {1, 2, 3, 4, 5}. ii) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (5, 3)} Se analiza las propiedades para determinar si es una relación de orden amplio o una relación de equivalencia en el conjunto A. Entiéndase, las siguientes propiedades: 

Propiedad Reflexiva: x  A: (x, x)  R. El análisis se realiza a todos los elementos en la relación. De la siguiente forma: 1  A: (1, 1)  R , 2  A : (2, 2)  R, 3  A : (3, 3)  R, 4  A : (4, 4)  R, 5  A : (5, 5)  R “Todos los elementos del conjunto A cumple con la propiedad reflexiva”



Propiedad Antisimétrica: (x, y)  R  (y, x)  R  x = y. Considero el elemento 2  A y verifico de la siguiente forma: (2, 2)  R  (2, 2)  R  2 = 2 es V (1, 1)  R  (1, 1)  R  1 = 1 es V (3, 3)  R  (3, 3)  R  3 = 3 es V (4, 4)  R  (4, 4)  R  4 = 4 es V (5, 5)  R  (5, 5)  R  5 = 5 es V (3, 5)  R  (5, ⏟ ⏟ 3)  R  5⏟= 3 se concluye que la implicación resulta FALSA. 𝑉

𝑉

𝐹

Por lo tanto, no se cumple la propiedad antisimétrica.

Entonces la R no es de orden amplio. A continuación, analizo si R es una relación de Equivalencia? 

Propiedad Simétrica: (x, y)  R  (y, x)  R (1, 1)  R  (1, 1)  R es V (2, 2)  R  (2, 2)  R es V (3, 3)  R  (3, 3)  R es V (4, 4)  R  (4, 4)  R es V (5, 5)  R  (5, 5)  R es V (5, 3)  R  (3, 5)  R es V “Todos los elementos del conjunto A cumple con la propiedad simétrica”



Propiedad Transitiva: (x, y)  R  (y, z)  R  (x, z)  R (1, 1)  R  (1, 1)  R  (1, 1)  R es V (2, 2)  R  (2, 2)  R  (2, 2)  R es V (3, 3)  R  (3, 3)  R  (3, 3)  R es V (4, 4)  R  (4, 4)  R  (4, 4)  R es V (5, 5)  R  (5, 5)  R  (5, 5)  R es V (5, 3)  R  (3 5)  R  (5, 5)  R es V (3, 5)  R  (5, 3)  R  (3, 3)  R es V “Todos los elementos del conjunto A cumple con la propiedad transitiva”

CONCLUSION: La relación R cumple con todas las propiedades de una relación de Equivalencia, entiéndase (Propiedad Reflexiva, Propiedad Simétrica y Propiedad Transitiva). iii) {(x, y)  A2 / 2| x-y}

Se determina los elementos de la relación R por extensión. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (5, 3), (5, 1), (1, 5), (3, 1), (1, 3), (2, 4), (4, 2)} Se analiza las propiedades para determinar si es una relación de orden amplio o una relación de equivalencia en el conjunto A. Entiéndase, las siguientes propiedades: 

Propiedad Reflexiva: x  A: (x, x)  R. El análisis se realiza a todos los elementos en la relación. De la siguiente forma: 1  A: (1, 1)  R , 2  A : (2, 2)  R, 3  A : (3, 3)  R, 4  A : (4, 4)  R, 5  A : (5, 5)  R “Todos los elementos del conjunto A cumple con la propiedad reflexiva”



Propiedad Antisimétrica: (x, y)  R  (y, x)  R  x = y. Considero el elemento 2  A y verifico de la siguiente forma: (2, 2)  R  (2, 2)  R  2 = 2 es V (1, 1)  R  (1, 1)  R  1 = 1 es V (3, 3)  R  (3, 3)  R  3 = 3 es V (4, 4)  R  (4, 4)  R  4 = 4 es V (5, 5)  R  (5, 5)  R  5 = 5 es V (3, 5)  R  (5, ⏟ ⏟ 3)  R  5⏟= 3 se concluye que la implicación resulta FALSA. 𝑉

𝑉

𝐹

Por lo tanto, no se cumple la propiedad antisimétrica.

Entonces la R no es de orden amplio. A continuación, analizo si R es una relación de Equivalencia? 

Propiedad Simétrica: (x, y)  R  (y, x)  R (1, 1)  R  (1, 1)  R es V (2, 2)  R  (2, 2)  R es V (3, 3)  R  (3, 3)  R es V (4, 4)  R  (4, 4)  R es V (5, 5)  R  (5, 5)  R es V (5, 3)  R  (3, 5)  R es V (5, 1)  R  (1, 5)  R es V (3, 1)  R  (1, 3)  R es V (2, 4)  R  (4, 2)  R es V “Todos los elementos del conjunto A cumple con la propiedad simétrica”



Propiedad Transitiva: (x, y)  R  (y, z)  R  (x, z)  R (1, 1)  R  (1, 1)  R  (1, 1)  R es V (2, 2)  R  (2, 2)  R  (2, 2)  R es V (3, 3)  R  (3, 3)  R  (3, 3)  R es V (4, 4)  R  (4, 4)  R  (4, 4)  R es V (5, 5)  R  (5, 5)  R  (5, 5)  R es V (5, 3)  R  (3. 5)  R  (5, 5)  R es V (3, 5)  R  (5, 3)  R  (3, 3)  R es V (5, 1)  R  (1, 5)  R  (5, 5)  R es V (1, 5)  R  (5, 1)  R  (1, 1)  R es V (3, 1)  R  (1, 3)  R  (3, 3)  R es V (1, 3)  R  (3, 1)  R  (1, 1)  R es V (4, 3)  R  (3, 4)  R  (4, 4)  R es V

(3, 4)  R  (4, 3)  R  (3, 3)  R es V “Todos los elementos del conjunto A cumple con la propiedad transitiva” CONCLUSION: La relación R cumple con todas las propiedades de una relación de Equivalencia, entiéndase (Propiedad Reflexiva, Propiedad Simétrica y Propiedad Transitiva). b) Si alguna relación es de equivalencia, en A, determine las clases de equivalencia y el correspondiente conjunto cociente. Cuando una relación R cumple con todas las propiedades de una relación de equivalencia, indica que se obtuvo una clase de equivalencia del elemento a, al conjunto de todos los elementos del conjunto A que se relacionan con a: entiéndase 𝑎 = {x  A/ (x, a)  R}

El conjunto formado por todas las clases de equivalencia de elementos del conjunto A se denomina conjunto cociente y se indica así A/R. ii) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (5, 3)} La relación R cumple con todas las propiedades de una relación de Equivalencia, entiéndase (Propiedad Reflexiva, Propiedad Simétrica y Propiedad Transitiva). Lo que me indica que hay cuatro clases de equivalencia que determina el conjunto cociente de la siguiente forma: K1

K2

A/R = {K1 , K2, K3, K4} donde: K1 = {{ 1}} , K2 = {{ 2}}, K3 = {{ 3,5}} y K4 = {{ 4}}

K3

K4 2

iii) {(x, y)  A / 2| x-y} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (5, 3), (5, 1), (1, 5), (3, 1), (1, 3), (2, 4), (4, 2)} Es fácil ver que se cumple con todas las propiedades de una relación de Equivalencia y el conjunto cociente lo integra una sola clase de equivalencia.

A/R = {K1 } donde K1 = {{ 1, 3, 5}} y K2 = {{ 2, 4}} .

3) Sea 𝐴 = {1,2,3}

a) Hallar ℘(A) b) Verificar que la inclusión es una relación de orden amplio en ℘(A)

RESOLUCIÓN:

a) El conjunto de partes de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Por lo tanto ℘(A) es: ℘(A) = {∅; {1,2,3}; {1}; {2}; {3}; {1,2}; {1,3}; {2,3}} Observación: - Como el vació esta incluidos en todo conjunto, en particular ∅ ⊂ 𝐴 y todo conjunto está incluido

en sí mismo 𝐴 ⊂ 𝐴 se tiene que ∅ ⊂ ℘(𝐴) 𝑦 𝐴 ⊂ ℘(𝐴) . Como el conjunto A está formado por 3 elementos, el conjunto ℘(𝐴) esta formado por 23 = 8 elementos. Esto nos permite controlar si están todos los subconjuntos de A en ℘(𝐴). b) 𝑅: ℘(𝐴) × ℘(𝐴) , R relación de inclusión. R es una relación de orden amplio en ℘(𝐴) si cumple las siguientes propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. - Veamos si R cumple la propiedad reflexiva: por propiedad de inclusión, todo conjunto es parte de sí mismo. -

En efecto, si A’ es un conjunto se tiene que: 𝑉 [∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴′] = 1 En consecuencia, por definición 𝐴′ ⊂ 𝐴′. Por lo tanto R es reflexiva.

-

Veamos si cumple la propiedad antisimétrica: por propiedad de inclusión, si un conjunto está incluido en otro y éste incluido en el primero, entonces son iguales. Sean A’ y B’ conjuntos: 𝐴′ ⊂ 𝐵′ ∧ 𝐵′ ⊂ 𝐴′ ⇒ 𝐴′ = 𝐵′, es una consecuencia de la definición de igualdad. Por lo tanto R es antisimétrica.

-

Veamos por último si R es transitiva: por propiedad de inclusión, si un conjunto es parte de otro y éste parte de un tercero, entonces el primero está incluido en el tercero. Sean A’, B’ y C’ conjuntos: 𝐴′ ⊂ 𝐵′ ∧ 𝐵′ ⊂ 𝐶′ ⇒ 𝐴′ ⊂ 𝐶′ Demostraremos esta implicación: Sea 𝑥 ∈ 𝐴´. Por hipótesis: 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵′ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵′ ⇒ 𝑥 ∈ 𝐶′.

Entonces, por silogismo hipotético, 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ 𝐶′. En consecuencia, por definición de inclusión 𝐴′ ⊂ 𝐶 ′ . Por lo tanto R es transitiva.

Observación: Silogismo hipotético: [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)

Con lo cual concluimos que R es una relación de orden amplio en cualquier conjunto, en particular en ℘(𝐴), ya que es un conjunto formado por subconjuntos de A y estas propiedades son válidas.

-1 -1 -1 5) b) Halle R -1 , -1 , R -1 3 , R 4 , R 5 y R 6 por extensión. 1 R2

Observación: básicamente en el ítem b) del punto 5, se debe hallar por extensión las relaciones inversas de las dadas. Se debe tener presente que en este ejercicio es fundamental lo desarrollado en clases de teoría referente a la definición de relación inversa de una relación dada. Puesto que a lo largo del desarrollo y resolución de cada ítems, es prioritario el manejo de dicha definición.

Resolución: Las relaciones que se pueden observar en punto 5, están escritas tanto por comprensión como por extensión. En el caso de aquellas que están escritas por extensión, la tarea de hallar las relaciones inversas por extensión resulta sencillo, puesto que al estar detallados todos los pares ordenados es posible determinar su relación inversas sin mayores dificultades. Sin embargo en aquellas relaciones que están escritas por comprensión, no es posible visualizar de forma inmediata aquellos pares ordenados que van a pertenecer a la misma. Es así que es conveniente primero determinar cuáles son los pares ordenados que pertenecen a dicha relación y escribirla por extensión, para posteriormente determinar la relación inversa por extensión.

A continuación se detallan cada una de las relaciones y su respectiva relación inversa.



La



R1 = {(1, c), (2, a), (2, b), (3, c), (4, a)}  AxB , razón por la cual la relación inversa es R1-1 = {(c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 3), (a, 4)} La relación R 2 = {(x, y)  AxC / y = 2x} se encuentra escrita por compresión, por lo cual

relación

R1

se

encuentra

escrita

por

extensión,

siendo

la

misma

determinamos la misma por extensión, siendo R 2 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4,8)}  AxC . Resultando -1 su relación inversa R2 = {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4)} .



La relación R3 se encuentra escrita por extensión, siendo la misma R 3 = {(2, a), (4, c), (8, b)}  CxB , razón por la cual la relación inversa es R -13 = {(a,2), (c,4), (b,8)}



La relación R4 se encuentra escrita por extensión, siendo esta

R 4 = {(1, b), (2, a), (3, b), (4, c)}  AxB , por lo cual la relación inversa R4-1 = {(b,1), (a,2), (b,3), (c,4)}



La relación R 5 = {(x, y)  CxA / y = x - 1} se encuentra escrita por compresión, por lo cual determinamos la misma por extensión, siendo R 5 = {(2,1), (4,3)}  CxA . Resultando la relación inversa R -15 = {(1,2), (3,4)} .



La relación R6 se encuentra escrita por extensión, siendo la misma R 6 = {(a, 4), (b, 1), (c, 2)}  BxA , razón por la cual la relación inversa es R -16 = {(4, a), (1, b), (2, c)}

7) a)

Vemos en el diagrama que las imágenes de 2 ∈ 𝐴 por 𝑓 son 1 y 3, es decir f(2)=1 y f(2)=3. Por lo tanto 𝑣[𝑓(2) = 1 ∧ 𝑓(2) = 3 ⇒ 1 = 3] = 0

Como existe un elemento del dominio de 𝑓 que no tiene una única imagen, 𝑓 NO ES FUNCIÓN.

Suponiendo que 𝐶 = {−1, 0, 1, 2, 3} y 𝐸 = {−1, 0, 1, 3}

Vemos en el sistema de ejes cartesianos que las imágenes de 3 ∈ 𝐶 son 1 y 3, es decir g(3)=1 y g(3)=3. Por lo tanto 𝑣[𝑔(3) = 1 ∧ 𝑔(3) = 3 ⇒ 1 = 3] = 0 Como existe un elemento del dominio de 𝑔 que no tiene una única imagen, 𝑔 NO ES FUNCIÓN.

Además se puede suponer que 1 pertenece al Alcance de la relación 𝑔, y en el sistema de ejes no se representa ninguna cruz para este elemento. Es decir 1 no tiene imagen por 𝑔. Por lo tanto 𝑔 NO ES FUNCIÓN.

Vemos en la matriz booleana de la relación ℎ: 𝐵 → 𝐵, que ℎ = {(1,2), (2,4), (4,1)} y 3 no se relaciona por ℎ con ningún elemento de B. Esto significa que el Alcance es 𝐵 = {1, 2, 3, 4} y el dominio de la relación es 𝐷(ℎ) = {1, 2, 4}

Por lo tanto ℎ NO ES FUNCIÓN.

Vemos en la matriz booleana de la relación k: 𝐴 → 𝐸 , que k= {(1, −1), (2,0), (2,3), (3,1)} entonces 2 tiene imagen por k a 0 y 3. Luego 𝑣[k(2) = 0 ∧ k(2) = 3 ⇒ 0 = 3] = 0

Como un elemento del dominio de k tiene dos imágenes distintas, k NO ES FUNCIÓN.

Consideramos que 𝐸 ≠ ∅ y 𝑖𝐸 : 𝐸 → 𝐸 / 𝑖𝐸 (𝑥) = 𝑥, o de manera equivalente (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑖𝐸 ⇔ 𝑥 = 𝑦 



Por definición todo elemento de 𝐸 tiene por imagen a si mismo, es decir: 𝑣[∀𝑥 ∈ 𝐸: 𝑖𝐸 (𝑥) ∈ 𝐸 ] = 1

Sea 𝑥 ∈ 𝐸 . Suponemos que 𝑖𝐸 (𝑥) = 𝑦 ∧ 𝑖𝐸 (𝑥) = 𝑧, o equivalentemente (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑖𝐸 ∧ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑖𝐸 . Esto último implica que 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = 𝑧, entonces resulta 𝑥 = 𝑦 = 𝑧. Por lo tanto 𝑣[𝑖𝐸 (𝑥) = 𝑦 ∧ 𝑖𝐸 (𝑥) = 𝑧 ⇒ 𝑦 = 𝑧] = 1 Luego 𝑖𝐸 : 𝐸 → 𝐸 / 𝑖𝐸 (𝑥) = 𝑥 ES FUNCIÓN.

10) Dadas las siguientes funciones: 𝑓: ℤ → ℤ/∀𝑥 ∈ ℤ: 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2

𝑔: ℤ → ℤ/∀𝑥 ∈ ℤ: 𝑔(𝑥) = −𝑥 2

ℎ: ℤ → ℤ/∀𝑥 ∈ ℤ: ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2

1 𝑠𝑖 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1

!: ℕ0 → ℕ/𝑥! = {

𝑥

∏ 𝑖 𝑠𝑖 𝑥 > 1 𝑖=1

a) Represente f, g y h en sendos gráficos cartesianos. Recordar que tanto alcance como rango de las funciones es ℤ, un conjunto discreto, por lo tanto, NO se puede realizar un trazo continuo. La gráfica estará dada sólo por puntos. - 𝑓: ℤ → ℤ/∀𝑥 ∈ ℤ: 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2

-

𝑔: ℤ → ℤ/∀𝑥 ∈ ℤ: 𝑔(𝑥) = −𝑥 2

-

ℎ: ℤ → ℤ/∀𝑥 ∈ ℤ: ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)

2

b) Calcule 2!, 3!, 4! Y 5! 2

2! = ∏ 𝑖 = 1.2 = 2 𝑖=1 3

3! = ∏ 𝑖 = 1 . 2 . 3 = 6 𝑖=1 4

4! = ∏ 𝑖 = 1 . 2 . 3 . 4 = 24 𝑖=1 5

5! = ∏ 𝑖 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 𝑖=1

c) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando las respuestas. i. f no es Inyectiva 𝑉[𝑓 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎] = 0 𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔ 𝑥 ≠ 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦)𝑐𝑜𝑛 𝑥 𝑒 𝑦 ∈ 𝐷(𝑓) Si usamos la contrarecíproca: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) ⇒ 𝑥 = 𝑦

ii.

Tenemos que: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) −𝑥 + 2 = −𝑦 + 2 Propiedad cancelativa en ℤ −𝑥 = −𝑦 𝑥 = 𝑦 Luego f es Inyectiva g es una función sobreyectiva 𝑉[𝑔 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎] = 0 g no es sobreyectiva porque ningún número positivo es imagen de g. Recordemos que: 𝑥2 ≥ 0 −𝑥 2 ≤ 0

− (conjunto de los enteros negativos y el cero) Así se tiene que 𝑔(ℤ) = ℤ0 iii. ∀𝑥 ∈ ℕ: 𝑥! = 𝑥. (𝑥 − 1)! 𝑠𝑖 𝑥 = 1 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 1! = 1. (1 − 1)! = 1! .0! = 1.1 = 1 𝑥

𝑥−1

𝑠𝑖 𝑛 > 1 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥! = ∏ 𝑖 =𝑥. ∏ 𝑖 = 𝑥. (𝑥 − 1)! 𝑖=1

𝑖=1

Lo que se hace es sacar el último factor

iv.

v.

vi.

∃𝑥 ∈ ℤ /𝑓(𝑥) = 1200 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2 = 1200 ⇔ 𝑥 = −1200 + 2 Luego ∃ − 1998 ∈ ℤ /−1998 + 2 = 1200 ∴ 𝑣 [∃𝑥 ∈ ℤ /𝑓(𝑥) = 1200] = 1

∀𝑥 ∈ ℤ ∶ 𝑔(𝑥) < 0 𝑣[∀𝑥 ∈ ℤ ∶ 𝑔(𝑥) < 0] = 0 pues ∃0 ∈ ℤ ∧ 𝑔(0) = 0 ≮ 0 ∃𝑥 ∈ ℤ /𝑓(𝑥) = 2𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = 2𝑔(𝑥) ⇔ −𝑥 + 2 = 2. (−𝑥 2 ) ⇔ −2𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 0, utilizando la resolvente cuadrática se tiene que: 𝑥1,2 =

−1±√1−4(−2)(−2) −4

∴ 𝑣 [∃𝑥 ∈ ℤ /𝑓(𝑥) = 2𝑔(𝑥)] = 0

vii.

⇔ 𝑥 = −1198

7! 7 ∃𝑥 ∈ ℕ0 /𝑥 = 2! 5! = ( ) 5

𝑣 [∃𝑥 ∈ ℕ0 /𝑥 =

7! 2! 5!

=

−1±√−15 −4

7 = ( )] = 1 porque 5

7! 2! 5!

∉ℤ

=

7.6.5! 2! 5!

=

7.6 2!

=

7.6 2

= 7.3 = 21 ∈ ℕ0

Funciones del punto 10):

Recordar la teoría sobre composición de funciones, pág.9:

Entonces debe considerarse posible la composición de dos funciones cuando el conjunto imagen de la primera, esté incluido en el dominio de la segunda función. ●

𝑓: 𝑍 → 𝑍⁄

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2

𝑦 𝑔: 𝑍 → 𝑍⁄

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑔(𝑥) = −𝑥 2

como 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑓(𝑍) = 𝑍, 𝑦 𝑍 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔, 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖ó𝑛: 𝑔𝑜 𝑓: 𝑍 → 𝑍⁄

●

𝐶𝑜𝑚𝑜 ℎ: 𝑍 → 𝑍⁄

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑔𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(−𝑥 + 2) = −(−𝑥 + 2)2 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 4 ∴ 𝑔𝑜 𝑓: 𝑍 → 𝑍⁄

∀𝑥 ∈ 𝑍: ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 ℎ(𝑍) = 𝑍≥0 ⊂ 𝑍,

𝑔𝑜 ℎ: 𝑍 → 𝑍⁄

● 𝑔𝑜 𝑓 −1 : 𝑍 → 𝑍⁄ ●

𝑔: 𝑍 → 𝑍⁄

ℎ𝑜 𝑔 ∶ 𝑍 → 𝑍⁄

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑔𝑜 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 − 4

𝑔: 𝑍 → 𝑍⁄ ∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 𝑔𝑜 ℎ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛:

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑔𝑜 ℎ(𝑥) = 𝑔[ℎ(𝑥)] = 𝑔[(𝑥 + 1)2 ] = −(𝑥 + 1)4

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑔𝑜 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑔𝑜 𝑓(𝑥) 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑓 −1 : 𝑍 → 𝑍⁄

∀𝑦 ∈ 𝑍: 𝑓 −1 (𝑦) = −𝑦 + 2;

𝐶. 𝐴: 𝑦 = −𝑥 + 2 → 𝑦 − 2 = −𝑥 → 𝑥 = −𝑦 + 2

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑔(𝑥) = −𝑥2 𝑦 ℎ: 𝑍 → 𝑍⁄ ∀𝑥 ∈ 𝑍: ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑔(𝑍) = 𝑍≤0 ⊂ 𝑍, ℎ𝑜 𝑔 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛:

∀𝑥 ∈ 𝑍: ℎ𝑜 𝑔 (𝑥) = ℎ[𝑔(𝑥)] = ℎ(−𝑥 2 ) = (−𝑥 2 + 1)2 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 = (1 − 𝑥 2 )2

𝑓 −1 𝑜 𝑓: 𝑍 → 𝑍⁄ ∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑓 −1 𝑜 𝑓 (𝑥) = 𝑓 −1 [𝑓(𝑥)] = 𝑓 −1 (−𝑥 + 2) = −(−𝑥 + 2) + 2 = 𝑥 − 2 + 2 = 𝑥. 𝑉𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑝á𝑔. 9, la composición de una función con su inversa es la identidad. ● 𝑔: 𝑍 → 𝑍⁄ ∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑔(𝑥) = −𝑥2 𝑦 𝑓: 𝑍 → 𝑍⁄ ∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2 , 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑔(𝑍) = 𝑍≤0 ⊂ 𝑍, 𝑓𝑜 𝑔 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛: ●

●

𝑓𝑜 𝑔 ∶ 𝑍 → 𝑍⁄

ℎ: 𝑍 → 𝑍⁄

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑓𝑜 𝑔 (𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓(−𝑥 2 ) = −(−𝑥2 ) + 2 = 𝑥 2 + 2

∀𝑥 ∈ 𝑍: ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2 𝑦 𝑓 −1 : 𝑍 → 𝑍⁄

∀𝑦 ∈ 𝑍: 𝑓 −1 (𝑦) = −𝑦 + 2

𝑓 −1 𝑜 ℎ: 𝑍 → 𝑍⁄

𝑐𝑜𝑚𝑜 ℎ(𝑍) = 𝑍≥0 ⊂ 𝑍,

𝑔𝑜 ℎ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 −1 𝑜 ℎ:

∀𝑥 ∈ 𝑍: 𝑓 −1 𝑜 ℎ (𝑥) = 𝑓 −1 [ℎ(𝑥)] = 𝑓 −1 [(𝑥 + 1)2 ] = −(𝑥 + 1)2 + 2 = −𝑥 2 − 2𝑥 + 1...