Trabajo. La física a través de Ramón Llull. (catalán) PDF

Preview

Summary

Treball de física, de caire optatiu, que el professor ofereix com a possibilitat per a pujar nota....

Description

ÍSICA a través de RAMON LLULL

Antoni Mateu Vera Vives Universitat Rovira i Virgili Curs 2015/2016

La física a través de Ramon Llull Física ÍNDEX

1. Introducció.................................................................................2 2. Anàlisi de fenòmens físics..........................................................3 2.1. L’alduf produeix so: vibració d’una membrana circular..........3 2.2. L’alduf oscil·la: moviment oscil·latori esmorteït......................5 2.3. El so de l’alduf retrona en tota la vall: fenomen d’eco.............9 2.4. L’alduf es trenca: tercera llei de Newton..............................11

Pàgina

1

3. Bibliografia................................................................................12

ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

La física a través de Ramon Llull Física 1. Introducció Ramon Llull (Palma, 1232 - Tunis, 1316) va ser un rellevant escriptor, pensador i religiós mallorquí del segle XIII. Llull creà un sistema filosòfic que denominà Ars Magna, que integrava en un tot coherent la religió, la filosofia, la ciència, la moral i l'ordre social. Aprofitant que enguany es commemora el setcentè aniversari de la seva mort, i emmirallant la seva visió unificadora dels coneixements humans, usarem l’obra de Lull per a exemplificar la relació inseparable de la física amb tots els àmbits de la nostra vida. En aquest petit estudi analitzarem des d’un punt de vista físic les accions que es descriuen en un fragment del Llibre de les Bèsties, una de les obres que s’inclouen al Llibre de les meravelles de Ramon Llull. En concret, prendrem el següent eximpli, posat en boca de Na Renard:

«En una vall hac un juglar posat son alduff 1 que penjaua en un arbre, e lo vent menaua aquell alduff e feya-lo ferir en les branques del arbre. Per lo feriment que l'alduff fehia de si mateix en lo arbre, exia del alduff una gran veu, lo qual fehia retentir tota aquella vall. Un simi hauia en aquella vall qui ohí lo so, e vench a aquell alduff. Aquell simi se cuydá, que enaxi com la veu era gran, que enaxi lo alduff fos ple de mantega o de alguna cosa que fos bona a menjar. Lo

1

Segons el DCVB, un alduf és una mena de pandero. Ho considerarem així en les nostres anàlisis.

ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

Pàgina

Representació de Na Renard, el Lleó i el Gall, tres dels personatges d’El Llibre de les Bèsties. Il·lustracions d’Aitana Carrasco.

2

simi esquinçà lo alduff e atrobà'l tot buyt.»

La física a través de Ramon Llull Física 2. Anàlisi dels fenòmens físics 2.1. L’alduf produeix so: vibració d’una membrana circular Un pandero és un instrument de percussió que es compost d’una membrana circular que produeix so en esser colpejada i, doncs, vibrar. Segons com vibri aquesta membrana, podem parlar de diferents modes normals de vibració, a cadascun dels quals se li associa una freqüència de vibració. La freqüència es relaciona amb el to del so que es produeix; per tant, el to que produeixi un pandero dependrà del seu mode normal de vibració. El mode de vibració del pandero –i, per extensió, de qualsevol instrument de percussió de membrana– depèn del punt de la membrana en què és copejat. Aquest principi es fa servir en musicologia; per exemple, els timbals es colpegen prop dels costats per tal de produir uns tons (uns modes de vibració) concrets, mentre que pel mateix motiu els tambors es colpegen més prop del centre. La freqüència més baixa a què poc vibrar una membrana és anomenada freqüència fonamental, que anomenarem 𝑓1 . La freqüència fonamental d’una membrana circular ideal sense efectes d’esmorteïment per l’aire ve donada per l’expressió: 𝑓1 = 0′ 765

√𝑇 ⁄𝜎 , 𝐷

amb 𝑇 = tensió de la membrana, 𝜎 = massa per unitat d’à rea i 𝐷 = diàmetre de la membrana. El valor 0′ 765 està ajustat al sistema MKS.

Podem fer un estudi dels diferents modes de vibració de l’alduf. El nostre alduf es compon d’una membrana circular de radi 𝑎, amb la vora fixa.

L’equació que regeix les vibracions de la membrana és la següent equació d’ones: ∆𝑢 =

1 𝜕 2𝑢 , 𝑐 2 𝜕𝑡 2

en què 𝑚 i 𝑘 són enters i 𝐽 són les funcions de Bessel de primera espècie. Podem obtenir les solucions aplicant la condició de contorn 𝐽𝑚 (𝑘𝑎) = 0, i una taula de zeros de les funcions de Bessel. ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

Pàgina

𝐽𝑚 (𝑘𝜌) cos 𝑚𝜃 sin 𝑘𝑐𝑡,

3

on 𝑐 és una constant que depèn de les condicions físiques del nostre cas. Separant variables i aplicant les propietats del problema obtenim les solucions bàsiques

La física a través de Ramon Llull Física >>>MODES DE VIBRACIÓ CONCRETS Procedim a exposar els 12 modes de vibració amb freqüències més baixes, de manera esquemàtica. En els esquemes es representen els diàmetres nodals i les circumferències nodals, que venen determinats pels dos dígits amb què s’anomena cada mode (el primer fa referència al nº de diàmetres nodals, i el segon al nº de circumferències nodals). Els segments adjacents es mouen en sentits oposats. El mode fonamental és el mode 01 (0 diàmetres nodals i una circumferència nodal). La solució a aquest mode seria 𝜌 𝑐 𝐽0 (2′ 40 ) sin(2′ 40 𝑡). 𝑎 𝑎

A aquest mode li correspon la denominada freqüència fonamental, que abans hem anomenat 𝑓1 . Com que aquesta és la freqüència menor a què vibrarà la membrana, podem relativitzar les freqüències de la resta de modes a aquesta 𝑓1 . Mode

Mode

01

11

21

02

31

12

𝑓1

1’59𝑓1

2’14𝑓1

2’30𝑓1

2’65𝑓1

2’92𝑓1

41

22

03

51

32

61

3’16𝑓1

3′50𝑓1

3’60𝑓1

3’65𝑓1

4’06𝑓1

4’15𝑓1

Pàgina

4

Per tot això, podem concloure que el so que produirà l’alduf en colpejar l’arbre dependrà, en primera instància, de les propietats pròpies de la construcció i materials de l’instrument (tensió, densitat, dimensions) i, en segon lloc, de la manera com es produeixin els cops en la seva membrana.

ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

La física a través de Ramon Llull Física 2.2. L’alduf oscil·la: moviment oscil·latori esmorteït Suposem que el joglar de què parla el fragment ha suspès l’alduf d’un cordell fermat a una de les branques d’un arbre. Per a augmentar el romanticisme de la nostra anàlisi, hem representat a la figura l’alduf penjat d’una branca d’un dels Arbor Sciencitae que Llull va fer servir (FIGURA 1). Llull va usar els arbres de coneixement com a metàfora per a mostrar la possibilitat de comprensió del saber universal, l’art i la ciència.

Vent

FIGURA 1 El que ens explica el fragment és que el vent fa moure aquest alduf i el copeja contra la soca de l’arbre, produint-se so.

sin 𝜃

pèndol descriu un moviment harmònic és prou petit. Per tant, en màxima elongació tendrem el que representa la FIGURA 2. Podem calcular el valor de l’amplitud, 𝑥 , pel teorema del sinus: ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

Pàgina

Prenem per criteri que l’angle entre el cordell en el punt d’equilibri i el cordell en estat de màxima elongació sigui 𝜃 = 15º, ja que per a angles més petits a 15º es compleix 𝜃 que < 1% i, doncs, l’error comès en aproximar 𝜃 i sin 𝜃 per considerar que el

5

Imaginam que una ràfega sobtada de vent empeny l’alduf segons es mostra a la figura. Aquest fer la soca de l’arbre, i suposam que tota l’energia del cop és absorbida per l’escorça de l’arbre. D’aquesta manera, l’alduf iniciarà un moviment oscil·latori amb velocitat inicial nul·la i amplitud igual a la distància entre el centre d’equilibri i la soca. El nostre alduf imaginari està suspès d’un cordell d’1 𝑚 de llargada. Calculam quina és la distància màxima a què es pot trobar de la soca per tal que els càlculs del moviment oscil·latori siguin acurats.

La física a través de Ramon Llull Física 𝑎

sin 𝐴

x

FIGURA 2

𝑥=𝑏=

𝑏 ; = sin 𝐵

𝑎 · sin 𝐵 1 𝑚 · sin 15º = = 0′ 259 𝑚 sin 𝐴 sin 90º

Així, per a la nostra anàlisi suposarem que tenim un alduf penjat d’una branca per un fil inelàstic d’1 m, de manera que queda suspès a una distància (horitzontal) de 25 cm de la soca d’aquest arbre. Un cop de vent mou l’alduf fins la soca, hi xoca i en aquest moment inicia un moviment harmònic des del repòs mogut pel seu pes. En el nostre cas imaginari, l’alduf passa per primera vegada per la posició d’equilibri quan ha passat un segon des de l’inici del moviment. A més, sabem que oscil·la amb una amplitud de 0’05 m després de 15 segons d’haver començat el moviment. Amb aquesta informació, procedim a determinar l’equació que descriu el seu moviment. L’equació que ens descriu aquest moviment, elàstic i esmorteït, és: 𝑚𝑎 + 𝑏𝑣 + 𝑘𝑥 = 0;

𝑚𝑥󰇘 + 𝑏𝑥󰇗 + 𝑘𝑥 = 0.

Si dividim tots els termes per la massa, tenim

𝑚𝑥󰇘 𝑏𝑥󰇗 𝑘𝑥 + + = 0. 𝑚 𝑚 𝑚

Aplicam les relacions

𝛾= i obtenim

𝑏 ; 2𝑚

𝜔0 = √

𝑘 𝑚

𝑥󰇘 + 2𝛾𝑥󰇗 + 𝜔20𝑥 = 0.

Hem obtingut una equació diferencial; en resolem el polinomi característic: 𝑟 2 + 2𝛾𝑟 + 𝜔02 = 0;

𝑟=

−2𝛾 ± √4𝛾 2 − 4𝜔02 = −𝛾 ± √𝛾 2 − 𝜔02 . 2

Com que el nostre és un cas infraesmorteït (hi ha moviment), sabem que 𝛾 2 < 𝜔20.

Si anomenam 𝜔𝑒𝑠 = √𝜔02 − 𝛾 2 , la solució vàlida per a l’equació característica serà i, doncs, la solució de la part homogènia serà del tipus

𝑥(𝑡) = 𝐴0 · 𝑒 −𝛾𝑡 · sin(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑).

ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

Pàgina

6

𝑟 = −𝛾 ± 𝜔𝑒𝑠 𝑖

La física a través de Ramon Llull Física Si definim l’amplitud en funció del temps,

𝐴(𝑡) = 𝐴0 · 𝑒 −𝛾𝑡 ,

podem reescriure l’equació del moviment com

𝑥(𝑡) = 𝐴(𝑡) · sin(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑).

FIGURA 3

L’equació de la velocitat en serà la derivada, és a dir:

𝑥󰇗 (𝑡) = 𝐴󰇗 (𝑡) · sin(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑) + 𝐴(𝑡) · 𝜔𝑒𝑠 · cos(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑 );

𝑥󰇗 (𝑡) = −𝛾 · 𝐴0 · 𝑒−𝛾𝑡 · sin(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑) + 𝐴0 · 𝑒 −𝛾𝑡 · 𝜔𝑒𝑠 · cos(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑).

Aplicam les condicions inicials del nostre cas suposat per a trobar els valors de 𝛾, 𝜔𝑒𝑠 i 𝜑. Sabem que en el moment inicial l’amplitud és màxima, 𝐴 = −𝐴0 (seguint el criteri de signes de la FIGURA 3). Aleshores: 𝑥(𝑡) = 𝐴0 · 𝑒 −𝛾𝑡 · sin(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑) ;

𝑥(0) = 𝐴0 · 𝑒−𝛾·0 · sin(𝜔𝑒𝑠 · 0 + 𝜑) = −𝐴0 ; −𝐴0 = 𝐴0 · sin(𝜑);

𝝅 𝝋=− . 𝟐

També coneixem l’amplitud en 𝑡 = 15 𝑠: 𝐴(𝑡) = 𝐴0 · 𝑒−𝛾𝑡 ; 𝛾=−

𝐴(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 ; 𝐴0

ln (

sin(𝜑) = −1;

𝐴(𝑡) ) = −𝛾𝑡; 𝐴0

𝛾=−

1 𝐴(15) 1 0′ 05 𝑚 ln 5 ; · ln ( )=− · ln ( ′ )= 15 𝑠 15 𝑠 𝐴0 15 𝑠 0 25𝑚

Si aplicam l’equació del moviment en 𝑡 = 1 𝑠 podem trobar 𝜔𝑒𝑠 .

𝐴(𝑡) 1 · ln ( ) 𝑡 𝐴0

𝜸 = 𝟎′ 𝟏𝟎𝟕 𝒔−𝟏

𝑥(𝑡) = 𝐴(𝑡) · sin(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑) ;

𝑥(1) = 𝐴(1) · sin (𝜔𝑒𝑠 · 1 𝑠 −

𝜋 ) = 0; 2

𝜋 = arcsin 0 ; 2 𝜋 𝜔𝑒𝑠 = ; 2𝑠

𝜔𝑒𝑠 · 1 𝑠 −

𝜋 sin (𝜔𝑒𝑠 · 1 𝑠 − ) = 0; 2 𝜋 𝜔𝑒𝑠 · 1 𝑠 − = 0; 2

𝝎𝒆𝒔 = 𝟏′𝟓𝟕𝟏 𝒔−𝟏

𝒙(𝒕) = 𝟎′ 𝟐𝟓 · 𝒆−𝟎 𝟏𝟎𝟕 𝒔 ′

· 𝐬𝐢𝐧 (𝟏′𝟓𝟕𝟏 𝒔−𝟏 · 𝒕 −

−𝟏 · 𝒕

ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

𝝅 )𝒎 𝟐

19/04/2016

Pàgina

𝑥(𝑡) = 𝐴0 · 𝑒 −𝛾𝑡 · sin(𝜔𝑒𝑠 · 𝑡 + 𝜑) ;

7

Així, hem trobat els valors de les característiques del moviment del nostre alduf. Finalment, podem definir l’equació del seu moviment en funció del temps de la manera següent:

La física a través de Ramon Llull Física Si representam gràficament la funció trobada, podem veure com l’amplitud del moviment va disminuint de manera progressiva amb el pas del temps, degut a l’esmorteïment de l’aire. 0,25 0,2 0,15

Posició (m)

0,1 0,05 0 -0,05

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Temps (s)

-0,1 -0,15 -0,2 -0,25

𝑥(𝑡) = 0′ 25 · 𝑒 −0 107 𝑠 ′

−1 · 𝑡

· sin (1′571 𝑠 −1 · 𝑡 −

𝜋 )𝑚 2

Pàgina

8

-0,3

ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

La física a través de Ramon Llull Física 2.3. El so de l’alduf retrona en tota la vall: fenomen d’eco En la frase «exia del alduff una gran veu, lo qual fehia retentir tota aquella vall» el fenomen físic que observam és el d’eco. En la mitologia grega, Eco és una nimfa que cantava i ballava molt bé, i menyspreava l’amor de tots els homes. Això va enfurir el luxuriós déu Pan, que va ordenar als seus seguidors que la matassin. Eco va ser esquarterada i repartida per tota la Terra. Gea va rebre les parts d’Eco, la veu de la qual continua repetint les últimes paraules dels altres. Com s’ha explicat, l’alduf és copejat contra l’arbre i, en conseqüència, la seva membrana vibra. La vibració de la membrana es transmet a l’aire, produint-hi ones sonores. Quan aquestes ones arriben a les nostres oïdes, hi sentim. Per explicar el fenomen d’eco, és adient explicar de manera succinta com funciona el nostre sistema auditiu. La nostra orella està composta de tres parts: -

-

-

Orella externa. Les ones sonores són recollides pel pavelló de l’orella, passen pel conducte auditiu i arriben al timpà. Les variacions de pressió (ones sonores en l’aire) produeixen en aquesta membrana unes oscil·lacions forçades, semblant al cas de la membrana de l’alduf que ja hem explicat. Orella mitjana. Les vibracions del timpà són percebudes per una cadena de quatre ossets que actua ampliant les excitacions que arriben al timpà. Aquestes vibracions es transmeten a la finestra oval, de superfície molt menor que el timpà, on les variacions de pressió de les ones es multipliquen aproximadament per 50. L’orella mitjana es manté a la mateixa pressió que l’exterior mitjançant la trompa d’Eustaqui. Orella interna. Conté un líquid aquós incompressible que transmet les vibracions que arriben a la finestra oval. Aquestes vibracions són recollides per una membrana flexible, la membrana basilar, situada al llarg del caragol i que el divideix en dues seccions. Al seu damunt es distribueixen les fibres de Corti, que són filaments terminals del nervi auditiu. Els canvis químics produïts en les cèl·lules d’aquestes fibres originen diferències de potencial que arriben al cervell, on es converteixen en sensacions sonores. Orella interna

Orella Timpà mitjana

ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

Pàgina

Pavelló

Trompa d’Eustaqui

9

Canal auditiu

|

19/04/2016

La física a través de Ramon Llull Física El fenomen d’eco consisteix a sentir per duplicat un mateix so. Això ocorre quan una ona sonora es reflecteix en una superfície, de manera que arriba al pavelló auditiu de manera repetida amb un interval de temps. Ara bé, tots els sons que ens arriben es reflecteixen en una o altra superfície, i això no obstant no sentim eco a cada moment. Això és així per l’anomenada persistència acústica. La persistència acústica fa referència al fenomen pel qual el cervell humà interpreta com a un únic so dos sons diferents rebuts en un curt espai de temps. Perquè l’oïda humana percebi dos sons com a diferents, ambdós han de tenir una diferència entre si d’almenys 70 mil·lisegons si són sons secs i 100 mil·lisegons si parlam de sons complexos. Si consideram que les ones sonores es desplacen de manera unidireccional seguint un moviment rectilini uniforme, i que la velocitat del so és de 344 m/s en l’aire, podem calcular la distància mínima a què s‘han de trobar la font emissora de so i el pla reflector perquè l’emissor experimenti el fenomen d’eco. De les equacions dels m. r. u.: 𝑥 = 𝑣𝑡;

𝑥 = 344

𝑚 ′ · 0 07 𝑠 = 24′ 08 𝑚 𝑠

Si tenim en compte que el so ha d’anar i tornar, la distància a què s’han de trobar l’emissor i el pla reflector és de

24′ 08 𝑚 2

= 12′ 04 𝑚.

Eco i Narcís. Pintura de J. W. Waterhouse (1903). ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

Pàgina

10

En el cas que exposam, el simi es troba al mig de la vall, envoltat de muntanyes. El so de l’alduf que s’emet des d’un punt qualsevol d’aquest paisatge es transmetrà per l’aire fins topar amb la paret d’alguna muntanya, rebotant-hi. Aquesta ona reflectida pot tornar a rebotar sobre una altra muntanya, i així es produeixen moltes reflexions d’un mateix so. A les oïdes del simi arriben moltes d’aquestes ones reflectides del mateix so, en temps diferents, per la qual cosa es pot dir que se sent retronar l’alduf per la vall.

La física a través de Ramon Llull Física 2.4. L’alduf es trenca: tercera llei de Newton El fragment ens acaba explicant que el simi, en veure que l’alduf és buit, l’esquinça, o sigui, el trenca. Imaginem que, per a fer-ho, el simi empeny l’alduf fortament contra la soca de l’arbre. En aquest cas, la força amb què l’alduf copeja la soca, per la tercera llei de Newton, genera una altra força de mòdul lleugerament inferior (suposam que hi ha pèrdues, com ara per absorció d’energia per part del suro de l’arbre) contra l’alduf. Si aquesta força és prou intensa, l’alduf no podrà absorbir tota l’energia que se li transmeti d’aquesta manera, i es trencarà per a assolir un estat energèticament més estable.

𝐹𝑠𝑜𝑐𝑎−𝑎𝑙𝑑𝑢𝑓

Pàgina

11

𝐹𝑎𝑙𝑑𝑢𝑓−𝑠𝑜𝑐𝑎

ANTONI MATEU VERA VIVES | FÍSICA

|

1r URV

|

19/04/2016

La física a través de Ramon Llull Física 3. Bibliografia R. Nave. Hyperphysics [en línia]. Georgia State University. Snare drum. [Consulta: 31/03/2016]. Disponible a: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/music/snare.html G. Reid. “Synthesizing Drums: The Bass Drum”. Sound on sound [en línia]. Gener 2002. [Consulta: 31/03/2016]. Disponible a: http://www.soundonsound.com/sos/jan02/articles/synthsecrets0102.asp J. R. Gladden. “Simple demonstration of 2D normal modes of a circular elastic membrane” [en línia]. Octubre 2009. [Consulta: 31/03/2016]. Disponible a: http://www.phy.olemiss.edu/~jgladden/other/listen_up/circular_membrane_resonanc es.html J. Roberts. Circular science [en línia]. About drums. Disponible a: http://circularscience.com/about-drums

[Consulta: 31/03/2016].

PPLATO [en línia]. University of Reading. Phys 5.6: introducing waves. [Consulta: 31/03/2016]. Disponible a http://www.physics.brocku.ca/PPLATO/h-flap/phys5_6.html Acústica musical [en línia]. Universidad de Valladolid. Principios de funcionamiento de los instrumentos de percusión. [Consulta: 02/04/2016]. Disponible a https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_ht ml/percusion/principios_percusion.html P. López Rodríguez. “Vibración de una membrana circular” [en línia]. Universidad de Sevilla, 2005. [Consul...