Trigonometria ejercicios resueltos PDF

Preview

Summary

Ejercicios buenos de trigonometria resueltos paso a paso...

Description

    TRIGONOMETRÍA A. Introducción teórica   !"# $%   & '()*  B. Ejercicios resueltos + +, +$- A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones: La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado: a)

Para el ángulo α: función seno a sen c función cosecante 1 c cos ec sen a



función coseno b cos c función secante 1 c s ec cos b



función tangente a tg b función cotangente 1 b cotg tg a

,./*01231*,   b)

Para el ángulo β: función seno b sen c función cosecante 1 c cos ec sen b

función coseno a cos c función secante 1 c s ec cos a

función tangente b tg a función cotangente 1 a cotg tg b

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes)

ángulo 0º

0 rad

30º

rad

45º

6

4

rad

sen

cos

tg

0

1

0

1 2 2 2

3 2 2 2

1 3

1

ángulo 60º 90 180º

3

2

sen 3 2

cos 1 2

rad

1

0

rad

0

–1

rad

tg 3

0

A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica Se llama   a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.





*01231*,,./    A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados mediante la siguiente igualdad: senθ = tgθ cosθ Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitágoras: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 b) Relaciones del ángulo suma–diferencia: sen

sen

cos

sen

cos

cos

cos

cos ∓ sen

sen

tg tg 1 ∓ tg tg

tg

c) Relaciones del ángulo doble Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales. sen 2

2sen

cos

cos 2

cos 2

sen 2

tg 2

2tg 1 tg 2

d) Relaciones del ángulo mitad sen 2

cos 2



2

1 cos 2

2

1 cos 2

$

,./*01231*,   1 cos tg 2 2 1 cos

A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno

Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como  y .  





 

a Teorema del seno: senA

Teorema del coseno: a2

b senB

b2

c2

c senC

2bc cosA

B. EJERCICIOS RESUELTOS  B.1. Cálculo de razones trigonométricas    Sabiendo que senα = 0, 86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas Solución: Las razones trigonométricas directas son el , el  y la , y las inversas la , la  y la . Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: senα = 0, 86



&

*01231*,,./    El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental sen 2 cos 2 1: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ⇒ cos 2 θ = 1 −sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 −sen 2 θ Sustituyendo datos:

1 2 La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental senθ = tgθ . Sólo hay que sustituir en ella los valores conocidos: cosθ cos θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 −0, 86 2 ⇒ cos θ =

senθ 0, 86 = tgθ ⇒ tgθ = ⇒ tgθ = 1,72 cosθ 0, 5 La cosecante es la inversa del seno. cos ec α = sen − 1α =

1 = 1, 26 0, 86

La secante es la inversa del coseno.

1 =2 1 2 La cotangente es la inversa de la tangente. −

s ec α = cos 1 α =

cot g α = tg −1 α =

1 = 0, 58 1,72

 Calcula las relaciones directas de α y β Solución:

trigonométricas

Las razones trigonométricas directas son el , el  y la 

 

Para el ángulo

:

40 ⇒sen 0, 8 , 50 30 ⇒cos cos 0, 6 50 40 ⇒tg tg 1, 33 30 Observa que se cumple que sen2 sen



'

cos2

1

,./*01231*,   Para el ángulo : 30 sen 0, 6 ⇒sen 50



40 ⇒cos 50

cos

30 ⇒tg 40

tg

0, 8 0,75

Observa que también se cumple que sen2 ser de otra manera.

cos2

1 , como no podía

 Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 

135º Solución: El ángulo 135º está en el 2º cuadrante. Será equivalente a un ángulo de 45º para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura.

sen 45

135º 4 5º @ cos 45



@ 560º Solución: Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo: 560 200

360    ⇒ 1 vuelta ⋅ 360º + 200º  1

El ángulo que tenemos que manejar es @200º. Ello es equivalente a un ángulo de 20º en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo



4

*01231*,,./   

sen 20 20º @ cos 45 @200 º

3 y que α está en el 4º cuadrante, halla las 2 demás razones trigonométricas.

 Sabiendo que cos α =

Solución: Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es negativo. El

senα

lo deducimos usando la relación fundamental de la

trigonometría: sen2 α +cos2 α = 1 2

 3  Así: sen α + cos α = 1 ⇒ sen α +   = 1⇒ senα = −  1−  2   2

2

2

3  1  = −  4 2

El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata:

senα tgα = = cos α

sec α =

1 2 = − 1 ; cotg α = 1 = − 3 ; tgα 3 3 2

−

1 3 1 ; co sec α = = −2  = cos α 2 senα

1 y que α está en el 2º cuadrante, halla las 3 demás razones trigonométricas.

 Sabiendo que tgα = −

Solución: Si α está en el 2º cuadrante entonces cosα es negativo y senα es positivo. @



1 para hallar senα : sen2 α 2   1 − 1  + 1 = 1 ⇒ 4 = 1 ⇒ senα = 3 tg 2 α + 1 = ⇒ sen 2α  3  sen 2α 3 sen 2α 2

Utilizamos la relación tg 2α + 1 =

5

,./*01231*,  

@

Hallamos cos α a partir de tgα =

senα : cos α

3 senα 3 cos α = = 2 =− . 1 tgα 2 − 3 @

Las obtención de las razones trigonométricas inversas es inmediata: sec α =

1 2 1 2 1 ; cot gα = = =− 3 = − ; co sec α = 3 cos α 3 tg α sen α

1  Si α está en el tercer cuadrante y senα = − , determina las siguientes 2 razones trigonométricas: 

sen (180º−α ) Solución:



Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo, como bien indica el enunciado. Pero, en general, sen α = sen (180 −α ) , así que 1 sen (180 −α ) = − 2 sen (180º +α) Solución:



Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo. Además: 1 senα = −sen (180 −α) , así que sen (180 −α) = 2 cos (180º −α ) Solución: Como α está en el tercer cuadrante cosα es negativo. Además: cos α = − cos (180 −α ) . Deduzcamos cosα : Usamos la relación fundamental de la trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1 2  1  1 3 sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ −  + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = − 1 − = −  2  4 4



6

*01231*,,./    3 Entonces, cos( 180 −α) = 4 cos (180º +α )  Solución: Se cumple que cos α = −cos (180 +α) . Entonces: 3 3 − = −cos (180 +α) ⇒ cos (180 +α ) = 4 4 

tg (180º −α ) Solución:

1 sen (180º −α) − 2 2 tg (180º −α ) = = = 3 −α ) − cos (180º 3 4 

tg (180º +α) Solución: 1 2 tg (180º +α) = =2= cos (180º +α ) 3 3 4 sen (180º +α)

B.2. Demostración de igualdades trigonométricas:

2sen α + 3 = cos α 2tg α + 3 sec α



Solución: 

Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para sen α y que convertirlo en cos α . Teniendo en cuenta que tg α = cos α 1 sec α = , podemos escribir: cos α 2sen α + 3 2sen α + 3 = sen 3 α 2tg α + 3 sec α 2 + cos α cos α



7

,./*01231*,   Operamos esa expresión con el fin de simplificarla:  2sen α + 3 2sen α + 3 cos α (2sen α + 3) = cos α = = sen α 3 2sen α + 3 2sen α + 3 2 + cos α cos α cos α 



Como acabamos de ver, la igualdad se cumple. tg2 α =

sen2 α 1 − sen 2 α

Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A = tg 2 α =

sen2 α cos 2 α

Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: En B =

sen2α vamos a reescribir el denominador de una forma 1− sen2 α

más conveniente: Teniendo en cuenta que sen 2 α + cos 2 α = 1 1 − sen 2 α = cos 2 α . Entonces: B=

se deduce que

sen 2α sen 2α = 1 − sen 2α cos 2 α

Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera.



tg( α) ⋅ cot g(α )−

 1  1  =  cos(α )+ sen (α )⋅  −  sec (α ) cos ec (α ) 1 + cot g2 (α) 2sen (α )

Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A:



8

*01231*,,./    2 ⋅ sen (α) 1 2 ⋅ sen (α) A = tg (α) ⋅ cot g (α )− = tg (α )⋅ − = 2 tg (α ) 1 1 + cot g (α ) 1+ 2 t g (α ) 2 ⋅sen ( α ) 2 ⋅ sen (α) 2 ⋅ sen (α ) = 1− = 1− = 1− = 1 sen 2 ( α) + cos 2 (α ) cos2 (α ) 1+ sen 2 ( α) sen 2 (α ) sen2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen2 ( α )

Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:

 1 1  = B = cos (α ) + sen (α ) ⋅  −  sec (α) cos ec (α) 

= cos (α ) + sen ( α ) ⋅ cos (α) − sen (α ) = = cos2 ( α) − sen 2 (α ) = 1 − sen 2 (α )− sen 2 (α ) = 1− 2 ⋅ sen 2 (α ) Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.



1 = sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α sec2 α Solución: Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A=

1 = cos 2 α 2 sec α

Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: B = sen 2 α ⋅ cos 2 α + cos 4 α = (sen 2α + cos 2 α )⋅ cos 2 α = cos 2 α Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.

4 2 4  cos ec α − 1 = 2 cot g α + cot g α

Solución: Manipulamos el miembro de la izquierda, que llamaremos A:





,./*01231*,   A = cos ec 4α − 1 = (cos ec 2α − 1)(cos ec 2α + 1 )

Recordamos que cos ec2 α = 1 + cot g2 α . Entonces:

(cos ec 2 α − 1)(cos ec 2α + 1 ) = (1 + cot g 2α − 1)(1 + cot g 2α + 1) = = cot g2 α ( cot g2 α + 2) = cot g4 α + 2 cot g2 α . Hemos llegado a obtener el lado B de la expresión dada, luego se ha demostrado que la igualdad es cierta.

 sen 2α =

2tg α 1 + tg2 α

Solución: Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante manipulaciones adecuadas llegaremos al miembro de la derecha: sen α ⋅ cos α sen 2α = 2 ⋅ sen α ⋅ cos α = 2⋅ ⋅ cos α = 2⋅ tg α ⋅ cos 2α = cos α

= 2 ⋅ tg α ⋅

=



1 1 tg α = 2 ⋅ tg α ⋅ = 2⋅ = 2 2 2 1 sen α + cos α sen α cos 2 α + cos2 α cos2 α cos2 α cos2 α

2 ⋅ tg α . Queda así demostrado. 1+ tg 2α

2 ⋅sen x + 3 = cos x 2⋅ tg x + 3⋅ sec x Solución: Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante

B.3. Ecuaciones trigonométricas

 Resuelve: sen x =

3 2

Solución:





*01231*,,./    π x 1 = 60º =    3 3  x = sen −1   ⇒  2π  2   x 2 = 180º −60º = 120º = 3   Resuelve: cos x =

1 2

Solución:

x = cos− 1

 tg x =

 π π x1 = 45º = 45º ⋅ = 1 180º 4  ⇒  2 x = 360º −45º = 315º = 315º ⋅ π = 7 π  2 180º 4

1 3

Solución:

x = tg −1

 π π x = 30º = 30º ⋅ =  1 180º 6  ⇒ π 3  x = 30º +180º = 210º = 7 

 Resuelve la ecuación cos 2x = sen x en el intervalo [ 0, 2π ] Solución: Hay que recordar que cos 2x = cos2 x − sen2 x . Así: cos 2x = sen x ⇒ cos 2 x − sen 2x = sen x Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x +sen 2x =1 . Por ello: cos2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 1 − sen 2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 2

⇒ 2 ⋅ sen 2x + senx − 1 = 0 ⇒ senx =

−1 ± (−1) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) = 2 ⋅2

 sen x = −1 =  1  sen x = 2  Finalmente estudiamos cada uno de estos dos casos:



$

,./*01231*,   3π Si sen x = −1 , entonces: x 1 = 2 Si sen x =

1 5π π , entonces: x2 = y x 3 = 2 6 6

3  Resuelve la ecuación sen 2x ⋅ cos x = 6sen x en el intervalo [ 0, 2π ]

Solución: Hay que recordar que sen 2x = 2sen x ⋅ cos x . Así: sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3x ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos x⋅ cos x = 6sen 3x ⇒ ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos2 x = 6sen 3 x Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2x = 1 . Por ello:

2 ⋅ sen x ⋅ (1 − sen 2 x ) = 6 ⋅ sen 3 x ⇒ ⇒ sen x ⋅( 1 − sen 2x) = 3 ⋅ sen x ⋅ sen 2x ⇒

sen x = 0 ⇒ sen x ⋅( 4 ⋅ sen2 x − 1) = 0 ⇒  1 1 sen2 x = ⇒ sen x = ± 4 2  Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos: Si sen x = 0 , entonces: x 1 = 0 1 5π π Si sen x = , entonces: x 2 = y x3 = 2 6 6 1 7π 11π Si sen x = − , entonces: x 4 = y x5 = 2 6 6

 Resuelve: cos 2x − cos 6x = sen5x + sen3x Solución: 

Vamos a utilizar las siguientes relaciones:

A +B A −B ⋅ sen 2 2 A +B A −B senA − senB = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 cosA − cos B = −2 ⋅ sen





Entonces:

&

*01231*,,./    2x+ 6x 2x− 6x cos 2x − cos 6x = − 2 ⋅ sen ⋅ sen 2 2 5x + 3x 5x − 3x sen5x − sen3x = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 

Sustituimos lo obtenido en la ecuación dada y pasamos todo a un miembro −2 ⋅ sen (4x )⋅ sen (−2x ) = 2 ⋅ sen (4x) ⋅ cos (x)



Si tenemos en cuenta que sen ( −a) = −sen (a ) y sacamos factor común, entonces: 2 ⋅sen (4x ) = 0 2 ⋅sen (4x ) ⋅  sen (2x) − cos (x) = 0 ⇒  sen (2x ) −cos (x) = 0  @ Resolvemos la primera ecuación de las dos:

π 4x 0 2k  = + π⇒x =k 2 2 ⋅sen (4x ) = 0 ⇒  4x = π + 2kπ ⇒ x = π + k π  4 2 @ Resolvemos la segunda ecuación: sen (2x) − cos (x) = 0 ⇒ 2 ⋅ sen (x) cos (x )− cos (x ) = 0 ⇒

⇒  2⋅ sen (x) − 1 cos (x) = 0 ⇒  x = π + 2k π    2 = ⇒ cos x 0 ( )    x = 3 π + 2k π  2  ⇒   x π 2k   =6+ π 1 2 ⋅sen (x ) −1 = 0 ⇒ sen (x ) = ⇒   5π 2   + 2k π x = 2   La solución es entonces la unión de todas estas soluciones.

 Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 2π ] sen x + sen y = 1   2x + 2y = π Solución:



'

,./*01231*,   Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la primera ecuación: π 2x + 2y = π ⇒ x = − y , por lo que: 2 π  sen x + sen y = 1 ⇒ sen  − y+ sen y = 1  2 

Ahora, para poder simplificar esta expresión usamos la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos: π  π π sen  − y = sen ⋅ cos y − cos ⋅ seny = cos y , es decir: 2  2 2 π  sen  − y + sen y = 1 ⇒ cos y + seny = 1 2  Intentamos expresar el coseno en función del seno, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación: 2

(cos y + seny ) = 12 ⇒ cos 2 y + sen 2 y + 2 ⋅ seny cos y = 1 ⇒ ⇒ 1 + 2 ⋅ sen y cos y = 1 ⇒ sen y cos y = 0 Pero sen y cos y = sen 2y , por lo que sen y cos y = 0 ⇒ sen 2y = 0 Las soluciones para sen 2y = 0 están dadas por: 2y = 0 y 2y = π , π π esto es: y1 = 0 ; y2 =...