Trigonometria em um triângulo retângulo - matemática PDF

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Trigonometria em um triângulo retângulo 1. Razões trigonométricas em um triângulo retângulo: São razões que relacionam as medidas dos lados de um triângulo tendo sempre com referência a medida de um ângulo.

Existem três principais razões trigonométricas: 1.1. Definição 1: O seno é definido pela seguinte razão:

1.2. Definição 2: O cosseno é definido pela seguinte razão:

1.3. Definição 3: A tangente é definido pela seguinte razão:

2. Ângulos notáveis: Eles são chamados notáveis, pois estão presentes em figuras elementares, como o quadrado e o triângulo equilátero. Consequentemente a obtenção dos valores do seno, cosseno e da tangente desses ângulos são bem simples. - Ângulo de 30º: Considere um triângulo equilátero

. Sabemos pelos módulos

anteriores que todos os ângulos desse triângulo medem 60º e que a altura mede bissetriz do ângulo.

eé

Vamos considerar o triângulo

para calcular os valores do seno, cosseno e da tangente de 30º:

- Ângulo de 45º: Considere um quadrado que a diagonal de um quadrado mede

. Sabemos pelos módulos anteriores e é bissetriz do ângulo.

Vamos considerar o triângulo

para calcular os valores do seno, cosseno e da tangente de 45º:

- Ângulo de 60º: Considere um triângulo equilátero ABC. Sabemos pelos módulos anteriores que todos os ângulos desse triângulo medem 60º e que a altura mede

e é bissetriz do ângulo.

Vamos considerar o triângulo

para calcular os valores do seno, cosseno e da tangente de 60º:

3. Circunferência trigonométrico: É uma circunferência com centro na origem do plano cartesiano e raio com medida 1.

Desenhando um triângulo retângulo com um vértice na origem e outro na circunferência, temos:

Vamos calcular os valores do seno e do cosseno de :

Assim concluímos que as coordenadas

de um ponto representam o valor do

as coordenadas de um ponto representam o Em outras palavras, o representa os valores do cosseno e o os valores do seno.

e

. representa

Aprofundando um pouco mais, podemos dizer que ângulos suplementares têm o mesmo valor do seno e valores opostos do cosseno, pois a coordenada y no plano cartesiano será a mesma e a coordenada x será o oposto, como mostra a figura:

Estes ângulos estão distribuídos de maneira simétrica no círculo trigonométrico em relação aos eixos. E esse estudo pode ser feito com qualquer ângulo:

Com a circunferência trigonométrica podemos definir o valor do seno e do cosseno de qualquer ângulo, como por exemplo do ângulo de 90º que não era possível definir com o triângulo retângulo.

As coordenadas do ponto situado no 90º será (0,1), então: (0,1) = (cos (90º), sen (90º)) cos (90º) = 0 sen (90º) = 1 Observação: Lembre-se que a tangente de um ângulo sempre pode ser calculada como:

4. Relação fundamental da trigonometria: Essa é a relação mais importante e mais usada na trigonometria. Considere um triângulo qualquer com um vértice na origem do plano cartesiano e outro na circunferência trigonométrica.

Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo temos:

5. Exemplos: Exemplo 1: (Unesp) A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Se AB= 2 m e BCA = 30º, então a medida da extensão de cada degrau é:

Como a extensão de todos os degraus é a mesma, se calcularmos o valor de BC basta dividi-lo pelo número de degraus que encontraremos a extensão de cada um deles. Para calcular a medida de BC vamos utilizar a tangente do ângulo

:

Como a escada tem 6 degraus, a extensão de cada um deles é:

Exemplo 2: Um observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º. Se ele se afastar do edifício mais 30 m, passará a vê-lo sob ângulo de 30º. Qual a altura do edifício ? Antes de começarmos vamos ilustrar a situação:

Primeiramente o observador estava no ponto D, depois ele caminhou até C.Na figura AB representa a altura do prédio. Como não temos o valor das hipotenusas, iremos calcular tg 30º no triângulo ABC e tg 60º no triângulo ABD.

Resolvendo o sistema:

Calculando a altura:

Exemplo 3: Determine o valor da tg 310º, sabendo que sen 50º = 0,77. Sabemos que:

Então basta saber os valores de sen 310º e cos 310º. Pela circunferência trigonométrica temos:

Desse modo: sen 310º = - sen 50º sen 310º = - 0,77 No enunciado não foi dado nenhum valor do cosseno, por isso iremos utilizar a propriedade fundamental da trigonometria: 1 =sen ² 310º+ cos² 310º 1 = 0,77 ² + cos ² 310º 1 - 0,77 ²= cos ² 310º 1 - 0,5929 = cos ² 310º 0,4071 = cos ² 310º 0,638 = cos 310º Finalmente calculando o valor de tg 310º:...