TUGAS AKHIR M6 MATEMATIKA PEMODELAN MATEMATIKA DAN METODE NUMERIK PDF

Preview

Summary

TUGAS AKHIR M6 MATEMATIKA PEMODELAN MATEMATIKA DAN METODE NUMERIK Disusun Untuk Memenuhi sebagian Persyaratan Ketercapaian Tugas Akhir M6 PPG dalam Jabatan Angkatan 2 Tahun 2019 Oleh: Muhammad Darmawan Dewanto, S.Pd 19040318010315 PPG DALAM JABATAN ANGKATAN 2 PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS K...

Description

TUGAS AKHIR M6 MATEMATIKA PEMODELAN MATEMATIKA DAN METODE NUMERIK Disusun Untuk Memenuhi sebagian Persyaratan Ketercapaian Tugas Akhir M6 PPG dalam Jabatan Angkatan 2 Tahun 2019

Oleh: Muhammad Darmawan Dewanto, S.Pd 19040318010315

PPG DALAM JABATAN ANGKATAN 2 PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2019

1. Carilah sebuah artikel jurnal imternasional (3 tahun terakhir) yang menggunakan pemodelan matematika, Buatlah resume artikel tersebut dengan menyebutkan langkahlangkah pemodelan sesuai yang telah Anda pelajari, 2. Lingkungan sekitar dapat menjadi inspirasi dalam mendesain soal matematika, termasuk lingkungan sekolah, a. Dengan mengacu pada kriteria yang telah dibahas pada modul 6,2, buatlah sebuah soal bertipe pemodelan matematika sederhana untuk pembelajaran matematika di sekolah, b. Dengan mengikuti model siklus pemodelan matematika yang telah dibahas dalam modul, selesaikan soal yang telah didesain pada poin a, c. Masing-masing siswa mungkin akan memberikan jawaban yang bermacammacam dan perlu diprediksi sebelum menggunakan soal tersebut dalam proses pembelajaran, Oleh karena itu, menyelesaikan

soal

tersebut,

berikan beberapa alternatif lain cara gunakan

juga

software

matematis

memungkinkan, 3. Nilai Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini: T(ºC)

(10-3 Ns/m2)

0

1,792

10

1,308

30

0,801

50

0,549

70

0,406

90

0,317

100

0,284

Perkirakan harga viskositas air  pada temperatur 40o menggunakan polinom Newton,

jika

1. Judul artikel jurnal internasional (artikel jurnal terlampir): Mathematical Modeling of the Effects of Tumor Heterogeneity on the Efficiency of Radiation Treatment Schedule Author: Farinaz Forouzannia1 · Heiko Enderling2, Mohammad Kohandel1 Bull Math Biol (2018) 80:283–293 https://doi.org/10.1007/s11538-017-0371-5 Received: 17 November 2016 / Accepted: 22 November 2017 / Published online: 7 December 2017 © Society for Mathematical Biology 2017 Hasil Resume: Penelitian ini berfokus pada radioterapi menggunakan energi dosis tinggi untuk membasmi dan mengendalikan sel kanker tumor. Berbagai jadwal perawatan telah dikembangkan dan dicoba dalam uji klinis, namun masih ada kendala signifikan untuk meningkatkan fraksinasi radioterapi. Metode penelitian ini mengembangkan model matematika dua kompartemen untuk menganalisis efek radiasi terapi pada dua subpopulasi fenotipik yang berbeda dari radioresisten dan sel kanker adiosensitif. Pada kanker payudara, populasi ini telah diidentifikasi oleh, masing-masing, CD44highCD24low (CD +; biomarker positif) dan CD44lowCD24high (CD−; biomarker negatif), yang juga merupakan penanda batang kanker.

Lebih lanjut, penelitian ini menggunakan parameter estimasi. Simulasi

stokastik dan deterministik telah dibandingkan dengan dua set percobaan data untuk mendapatkan nilai yang sesuai untuk parameter model. Studi eksperimental pada sel pemicu kanker payudara (mis., CSC) dan uji pembentukan mammosphere (MFA) data mengkalibrasi fraksi CSCs biomarker positif. Setelah dilakukan pemodelan, dan menggunakan parameter estimasi, dan diilustrasikan dengan gambar, hasil penelitian menunjukkan bahwa sel-sel tumor resisten dan sensitif dianggap memiliki radiosensitivitas yang berbeda. Dengan demikian, total populasi sel pada waktu t diberikan oleh N (t) = NS (t) + NP (t) (selanjutnya, NS ≡ NS + NRS

dan NP ≡ NP + NRP kecuali dinyatakan lain); populasi sel setelah terpapar pengobatan selama periode waktu τ.

Kesimpulan pada penelitian ini adalah model matematika dua kompartemen

telah dikembangkan untuk menilai efek heterogenitas tumor dan fraksinasi radioterapi pada respon pengobatan. Simulasi model menunjukkan bahwa radioterapi dapat mengubah dan meningkatkan heterogenitas tumor fraksi sel resisten. Studi selanjutnya dapat lebih meningkatkan kompleksitas biologis dengan mempertimbangkan peningkatan pembaruan diri populasi resisten sebagai respons

terhadap radiasi (Gao et al. 2013). Jika dosis radiasi total tidak cukup untuk memberantasnya tumor, pengayaan dalam sel induk kanker dapat menyebabkan kekambuhan dan kekambuhan tumor. Karena itu, jika kontrol total tumor tidak dapat dicapai terapi yang optimal harus seimbang berkurangnya beban tumor dan pencegahan pertumbuhan subpopulasi yang paling resisten. 2. Lingkungan sekitar dapat menjadi inspirasi dalam mendesain soal matematika, termasuk lingkungan sekolah, a. Soal pemodelan matematika sederhana “Sebuah kapal terlihat dari atas mercusuar yang tingginya 40 meter. Ujung depan kapal teramati dengan sudut depresi 45°, sedangkan ujung belakangnya 30°. Jika kapal bergerak dengan arah menuju mercusuar, panjang kapal tersebut adalah... meter.” b. Pada kasus soal pada poin (a), berdasarkan Modul 6 Kegiatan Belajar 2, permasalahan pada soal tersebut dinamakan dengan permasalahan dengan “situasi nyata”. Langkah selanjutnya adalah siswa diharapkan mampu

menganalisis

permasalahan

tersebut,

kemudian

siswa

dapat

membuat

“pemodelan nyata” sebagai dasar untuk menyusun dalam bentuk “pemodelan matematis”. Berdasarkan pemodelan yang sudah disusun, kemudian diharapkan siswa dapat menyelesaikan persoalan dengan ”perhitungan matematis”. Berikut adalah solusi penyelesaian dari permasalahan yang disajikan.

Diketahui: ∠𝐸𝐷𝐵 = 45° , ∠𝐸𝐷𝐶 = 30°, dan tinggi mercusuar = 40 m Sehingga: ∠𝐴𝐷𝐵 = 45° ∠𝐴𝐷𝐶 = 60° Diperoleh: 𝐴𝐵 tan 45° = 𝐴𝐷 𝐴𝐵

1= 40 40 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 dan tan 60° = 𝐴𝐷 √3 =

“Perhitungan matematis”

𝐴𝐶 40

40√3 = 𝐴𝐶 Jadi, panjang kapal adalah (BC) = AC-AB = 40√3 - 40 = 40(√3 − 1) meter

c. Alternatif yang dimungkinkan siswa dalam menjawab. 𝐴𝐶

tan 60° = 𝐴𝐷

√3 =

𝐴𝐶 40

40√3 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵

dan tan 45° = 𝐴𝐷 𝐴𝐵

1= 40 40 = 𝐴𝐵 Jadi, panjang kapal adalah (BC) = AC-AB = 40√3 - 40 = 40(√3 − 1) meter

3. Perkiraan harga viskositas air  pada temperatur 40o menggunakan polinom Newton sebagai berikut. Solusi ST-1 𝑓(𝑥1 , 𝑥0 ) = 𝑓(𝑥2 , 𝑥1 ) = 𝑓(𝑥3 , 𝑥2 ) = 𝑓(𝑥4 , 𝑥3 ) =

𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) 1,308 − 1,792 = = −0,04840 𝑥1 − 𝑥0 10 − 0 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) 0,801 − 1,308 = = −0,02535 𝑥2 − 𝑥1 30 − 10

𝑓(𝑥3 ) − 𝑓(𝑥2 ) 0,549 − 0,801 = = −0,01260 50 − 30 𝑥3 − 𝑥2

𝑓(𝑥4 ) − 𝑓(𝑥3 ) 0,406 − 0,549 = = −0,00715 𝑥4 − 𝑥3 70 − 50

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 ) = 𝑓(𝑥6 , 𝑥5 ) = Iterasi

𝑓(𝑥5 ) − 𝑓(𝑥4 ) 0,317 − 0,406 = = −0,00445 90 − 70 𝑥5 − 𝑥4

𝑓(𝑥6 ) − 𝑓(𝑥5 ) 0,284 − 0,317 = = −0,00330 100 − 90 𝑥6 − 𝑥5 x 0

f(x) 1,792

10

1,308

30

0,801

50

0,549

70

0,406

90

0,317

100

0,284

0 1 2 3 4 5 6

ST-1

0,04840 0,02535 0,01260 0,00715 0,00445 0,00330

Solusi ST-2 𝑓(𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) = 𝑓(𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) = 𝑓(𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) = 𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) = 𝑓(𝑥6 , 𝑥5 , 𝑥4 ) = Iterasi

𝑓(𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥1 , 𝑥0 ) −0,02535 − (−0,04840) = = 7,68 𝑥 10−4 𝑥2 − 𝑥0 30 − 0

𝑓(𝑥3 , 𝑥2 ) − 𝑓(𝑥2 , 𝑥1 ) −0,01260 − (−0,02535) = = 3,19 𝑥 10−4 50 − 10 𝑥3 − 𝑥1

𝑓(𝑥4 , 𝑥3 ) − 𝑓(𝑥3 , 𝑥2 ) −0,00715 − (−0,01260) = = 1,36 𝑥 10−4 𝑥4 − 𝑥2 70 − 30 𝑓(𝑥5 , 𝑥4 ) − 𝑓(𝑥4 , 𝑥3 ) −0,00445 − (−0,00715) = = 6,75 𝑥 10−5 90 − 50 𝑥5 − 𝑥3 𝑓(𝑥6 , 𝑥5 ) − 𝑓(𝑥5 , 𝑥4 ) −0,00330 − (−0,00445) = = 3,83 𝑥 10−5 𝑥6 − 𝑥4 100 − 70 X 0

f(x) 1,792

10

1,308

30

0,801

50

0,549

70

0,406

90

0,317

100

0,284

0 1 2 3 4 5 6

ST-1

0,04840 0,02535 0,01260 0,00715 0,00445 0,00330

ST-2 7,68E04 3,19E04 1,36E04 6,75E05 3,83E05

Solusi ST-3 𝑓(𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) =

𝑓(𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) 3,19 𝑥 10−4 − (7,68 𝑥 10−4 ) = 50 − 0 𝑥3 − 𝑥0

= −8,99 𝑥 10−6

𝑓(𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) − 𝑓(𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) 1,36 𝑥 10−4 − 3,19 𝑥 10−4 𝑓(𝑥4, 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) = = 𝑥4 − 𝑥1 70 − 10 = −3,04 𝑥 10−6

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) − 𝑓(𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) 6,75 𝑥 10−5 − 1,36 𝑥 10−4 𝑓(𝑥5, 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) = = 𝑥5 − 𝑥2 90 − 30 = −1,15 𝑥 10−6

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 , 𝑥4 ) − 𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) 3,83 𝑥 10−5 − 6,75 𝑥 10−5 𝑓(𝑥6, 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) = = 𝑥6 − 𝑥3 100 − 50 Iterasi

= −5,83 𝑥 10−7 X 0

f(x) 1,792

10

1,308

30

0,801

50

0,549

70

0,406

90

0,317

100

0,284

0 1 2 3 4 5 6

ST-1 0,04840 0,02535 0,01260 0,00715 0,00445 0,00330

ST-2 7,68E04 3,19E04 1,36E04 6,75E05 3,83E05

ST-3 -8,99E06 -3,04E06 -1,15E06 -5,83E07

Solusi ST-4 𝑓(𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) =

𝑓(𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) 𝑥4 − 𝑥0

𝑓(𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 ) =

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) − 𝑓(𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 ) 𝑥5 − 𝑥1

𝑓(𝑥6, 𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 ) =

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) − 𝑓(𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 ) 𝑥6 − 𝑥2

−3,04 𝑥 10−6 − (−8,99 𝑥 10−6 ) = = 8,50 𝑥 10−8 70 − 0 −1,15 𝑥 10−6 − (−3,04 𝑥 10−6 ) = = 2,37 𝑥 10−8 90 − 10 =

−5,83 𝑥 10−7 − (−1,15 𝑥 10−6 ) = 8,04 𝑥 10−9 100 − 30

Iterasi

x 0

f(x) 1,792

10

1,308

30

0,801

50

0,549

70

0,406

90

0,317

100

0,284

0 1 2 3 4 5 6

ST-1 0,04840 0,02535 0,01260 0,00715 0,00445 0,00330

ST-2 7,68E04 3,19E04 1,36E04 6,75E05 3,83E05

ST-3 -8,99E06 -3,04E06 -1,15E06 -5,83E07

ST-4 8,50E08 2,37E08 8,04E09

Solusi ST-5 𝑓(𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) =

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) 𝑥5 − 𝑥0

𝑓(𝑥6, 𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 ) =

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) − 𝑓(𝑥5 , 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 ) 𝑥6 − 𝑥1

Iterasi

x 0

=

2,37 𝑥 10−8 − 8,50 𝑥 10−8 = −6,81 𝑥 10−10 90 − 0

=

8,04 𝑥 10−9 − 2,37 𝑥 10−8 = −1,74 𝑥 10−10 100 − 10 f(x) 1,792

0 10

1,308

30

0,801

50

0,549

70

0,406

90

0,317

100

0,284

1 2 3 4 5 6

ST-1

0,04840 0,02535 0,01260 0,00715 0,00445 0,00330

ST-2 7,68E04 3,19E04 1,36E04 6,75E05 3,83E05

ST-3 -8,99E06 -3,04E06 -1,15E06 -5,83E07

ST-4 8,50E08 2,37E08 8,04E09

Solusi ST-6 𝑓(𝑥6, 𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) = =

𝑓(𝑥6, 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) 𝑥6 − 𝑥0

−1,74 𝑥 10−10 − 6,81 𝑥 10−10 = 5,07 𝑥 10−12 100 − 0

ST-5 -6,81E10 -1,74E10

Itera si

x

f(x)

ST-1

0

1,79 2

0,0484 0 0,0253 5 0,0126 0 0,0071 5 0,0044 5 0,0033 0

0 10

1,30 8

1 30

0,80 1

2 50

0,54 9

3 70

0,40 6

4 90

0,31 7

10 0

0,28 4

5 6

ST-2 7,68E04 3,19E04 1,36E04 6,75E05

ST-3 8,99E06 3,04E06 1,15E06 5,83E07

ST-4 8,50E08 2,37E08

ST-5 6,81E10 1,74E10

ST-6 5,07E12

8,04E09

3,83E05

Dengan demikian persamaan polinomnya adalah: 𝑝6 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 )+𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑎3 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) + 𝑎4 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )

+ 𝑎5 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥4 )(𝑥 − 𝑥4 )

+ 𝑎6 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥4 ) + (𝑥 − 𝑥5 )

Untuk x = 40 maka

𝑝6 (40) = 1,792 − 0,04840(40 − 0) + 7,68 𝑥 10−4 (40 − 0)(40 − 10) − 8,99 𝑥 10−6 (40 − 0)(40 − 10)(4 − 30)

+ 8,50 𝑥 10−8 (40 − 0)(40 − 10)(40 − 30)(40 − 50)

− 6,81 𝑥 10−10 (40 − 0)(40 − 10)(40 − 30)(40 − 50)(40 − 70)

+ 5,07 𝑥 10−12 (40 − 0)(40 − 10)(40 − 30)(40 − 50)(40 − 70)(40

− 90)

𝑝6 (40) = 1,79200 − 1,93600 + 0,92200 − 0,10790 − 0,01020 − 0,00245 − 0,00091 𝑝6 (40) = 0,657

Maka perkirakan harga viskositas air  pada temperatur 40o adalah 0,657 (10-3 Ns/m2)

Bull Math Biol (2018) 80:283–293 https://doi.org/10.1007/s11538-017-0371-5 ORIGINAL ARTICLE

Mathematical Modeling of the Effects of Tumor Heterogeneity on the Efficiency of Radiation Treatment Schedule Farinaz Forouzannia1 · Heiko Enderling2 · Mohammad Kohandel1

Received: 17 November 2016 / Accepted: 22 November 2017 / Published online: 7 December 2017 © Society for Mathematical Biology 2017

Abstract Radiotherapy uses high doses of energy to eradicate cancer cells and control tumors. Various treatment schedules have been developed and tried in clinical trials, yet significant obstacles remain to improving the radiotherapy fractionation. Genetic and non-genetic cellular diversity within tumors can lead to different radiosensitivity among cancer cells that can affect radiation treatment outcome. We propose a minimal mathematical model to study the effect of tumor heterogeneity and repair in different radiation treatment schedules. We perform stochastic and deterministic simulations to estimate model parameters using available experimental data. Our results suggest that gross tumor volume reduction is insufficient to control the disease if a fraction of radioresistant cells survives therapy. If cure cannot be achieved, protocols should balance volume reduction with minimal selection for radioresistant cells. We show that the most efficient treatment schedule is dependent on biology and model parameter values and, therefore, emphasize the need for careful tumor-specific model calibration before clinically actionable conclusions can be drawn.

Electronic supplementary material The online version of this article (https://doi.org/10.1007/s11538017-0371-5) contains supplementary material, which is available to authorized users.

B B

Farinaz Forouzannia [email protected] Mohammad Kohandel [email protected] Heiko Enderling [email protected]

1

Department of Applied Mathematics, University of Waterloo, Waterloo, ON N2L 3G1, Canada

2

Department of Integrated Mathematical Oncology, Department of Radiation Oncology, H. Lee Moffitt Cancer Center and Research Institute, Tampa, FL 33647, USA

123

284

F. Forouzannia et al.

Keywords Cancer stem cell · Fractionation · Tumor control

1 Introduction Radiation is commonly used in cancer treatment, either as monotherapy or as combination treatment with surgery and chemotherapy. Radiation is a DNA damaging agent, and radiation as cancer therapy benefits from cancer cells being less efficient in repairing radiation-induced damage than normal cells. Total radiation dose is divided into small frequent fractions to provide temporal windows for normal tissue recovery. Treatment schedules (fractionation) are predominantly based on evolved empirical knowledge and wisdom, but greatly constrained by logistical considerations. Recent developments include hypo- and hyperfractionation for various cancer types, that is delivery of either larger doses temporally further separated or smaller doses more frequently. Despite many technical improvements in the efficiency of radiotherapy, many tumors are refractory to irradiation. Various clinical and biological factors explain such complications, including DNA damage repair (Hall and Giaccia 2006; Mathews et al. 2013), prevalence of hypoxia, and tumor heterogeneity and plasticity. Recently, the presence of cancer stem cells and a tumor hierarchy has been discussed as source of intratumoral heterogeneity and therapy response (Marjanovic et al. 2013; Shackleton et al. 2009). The cancer stem cell hypothesis proposes that the small subpopulation of so-called cancer stem cells (CSCs) is critically important for the initiation and maintenance of the tumor. These CSCs are able to self-renew indefinitely and undergo symmetric and asymmetric divisions to retrospectively increase the CSC population and produce progenitor cells that will make up the bulk of the tumor (Reya et al. 2001). Recent evidence suggests plasticity between non-CSC and CSC states (Gupta et al. 2011), due to genetic or microenvironmental perturbations. CSCs have been shown to utilize superior radiation-induced DNA damage repair mechanisms to prevent cell death (Bao et al. 2006). After radiation exposure, cells with damaged DNA attempt different pathways of repair, and the repair time is likely dependent on the delivered radiation dose (Lagadec et al. 2010; Sarcar et al. 2011). The conventional radiotherapy protocol for most tumors delivers a total dose of 50– 70 Gy in 2 Gy fractions on each weekday, with no treatment given on weekends. To reduce toxicity and increase efficiency, alternative treatments have been considered, including a hyperfractionated protocol with 1 Gy per fraction twice a day; an accelerated regimen of 1.2 Gy per fraction twice daily; and hypofractionation with 5 Gy twice-a-week fractions. Here, we develop a minimal mathematical model to study the effect of tumor heterogeneity and repair in tumors exposed to theses different radiation treatment schedules. Several mathematical models have been developed to simulate the effects of radiotherapy. Most models utilize the so-called linear quadratic (LQ) model and its various extensions (Hall and Giaccia 2006). In the original LQ model, cell survival probability S after acute doses of radiation d can be estimated with S(d) = exp(−αd − βd 2 ),

123

(1)

Mathematical Modeling of the Effects of Tumor Heterogeneity…

285

where α (Gy−1 ) and β (Gy−2 ) are tissue-specific radiosensitivity parameters that are usually derived from fitting the LQ model to clonogenic survival data (Hall and Giaccia 2006). More recently, mathematical frameworks have been combined with experimental data to investigate the different responses to clinically available radiation protocols (Dhawan et al. 2014; Dionysiou et al. 2004; Enderling et al. 2009; Stamatakos et al. 2014). Recently, Leder et al. (2014) proposed an optimized radiation dosing schedule for PDGF-driven glioblastoma. The model, however, is dependent on a large number of parameters and, with limited biological data, some parameters are far from biological realism. In particular, tissue-specific radiosenstivity parameters α and β are derived such that the derived ratio of α/β = 865, 789 Gy is five orders of magnitude larger than frequently derived α/β = 3 − 10 Gy (Leder et al. 2014). Nevertheless, the model-predicted optimal dose fractionation showed prolonged survival in subsequent mouse experiments, emphasizing that the currently applied standard-of-care radiation fractionation may not yield optimal outcomes. Mathematical models may help decipher the complex biology underlying cancer cell response to irradiation, with the ultimate aim to improve clinical application of radiotherapy. Herein we propose a simple mathematical model of breast cancer cell dynamics under fractionated radiation exposure. The model includes phenotypic cell heterogeneity and plasticity, as well as radiation-induced cell cycle arrest, which may play a pivotal role in analyzing ra...