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Tutorial para trabajar matrices determinantes y sistemas de ecuaciones con geogebra...

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CONCEPCIÓN DEL URUGUAY

Álgebra y geometría analítica Tutorial de Geogebra

Ing. Prof. María Fernanda Carena.

Índice 1. Introducción

2

1.1. ¿Qué es GeoGebra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Descarga e instalación de Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2. Matrices

3

2.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.2. Multiplicación por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.3. Producto entre matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3. Forma escalonada reducida de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4. Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6. Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Sistemas de ecuaciones lineales

14

3.1. Vista Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Cálculo simbolico (CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Álgebra y geometría analítica Tutorial Geogebra

Tutorial de Geogebra: Álgebra lineal y geometría analítica

1. Introducción 1.1.

¿Qué es GeoGebra?

GeoGebra es un software de matemáticas dinámicas para todos los niveles educativos que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculo en un solo programa fácil de usar. GeoGebra es también una comunidad en rápida expansión, con millones de usuarios en casi todos los países. GeoGebra se ha convertido en el proveedor líder de software de matemática dinámica, apoyando la educación en ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM: Science Technology Engineering & Mathematics) y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje en todo el mundo.

1.2.

1

Descarga e instalación de Geogebra

Para descargar Geogebra se debe ingresar a https://www.geogebra.org/download y elegir la opción más conveniente. Tablets y celulares: bajar la aplicación correspondiente. Computadora: hacer click en la opción correcta y se descarga el instalador. Luego ejecutar el instalador y seguir las intrucciones. Se crea un icono en el escritorio y al hacer doble-click se abre la siguiente ventana. 1 https://www.geogebra.org/about

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Figura 1: Opciones de descarga en la página web de Geogebra

Figura 2: Pantalla inicial de Geogebra

2. Matrices Para trabajar con matrices en Geogebra se debe elegir la Vista Algebraica. GeoGebra representa las matrices como una lista de listas donde cada sublista corresponde a una  fila de la  matriz. ƒ  1    ƒ  2    , para ingresar esta matriz se debe escribir la siSea la matriz A =   ···    ƒ  m guiente sentencia en el campo Entrada {{}, {}, · · · , {}} más Enter

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Álgebra y geometría analítica Tutorial Geogebra 

Ejemplo: A = 

1 0 −2 0 1

1

3 −1

 

Figura 3: Sentencia para ingresar una matriz Y muestra lo siguiente

Figura 4: Sentencia para ingresar una matriz Al escribir a= estamos asignando a la variable a la matriz. Otra forma de ingresar matrices es trabajar con la Vista Hoja de Cálculo. Se ingresan los coeficientes de la matriz en la hoja de cálculo.

Figura 5: Ingresar los coeficientes de la matriz en la Hoja de Cálculo Se seleccionan las celdas y se hace click con el botón derecho del mouse y se selecciona Crea → Matriz Una vez generada la matriz se le asigna un nuevo nombre para empezar a trabajar con ella.

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Figura 6: Creación de la matriz

Figura 7: Matriz generada

2.1. 2.1.1.

Operaciones con matrices Suma

Para sumar dos matrices se utilizael símbolo  +.   1 0 −2 3 2 −1 −2 3 . Se cargan las  y B = Ejemplo: Sean A =  0 1 1 −1 0 1 4 −1 matrices como lo indicamos en la sección 2 en la página 3. Y se escribe en la línea de Entrada: a + b

Figura 8: Sentencia para sumar matrices

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Álgebra y geometría analítica Tutorial Geogebra Dando como resultado la matriz suma que le asigna como nombre matriz1 ya que no le asignamos ninguna variable.

Figura 9: Matriz resultado de sumar a y b

2.1.2.

Multiplicación por un escalar

Para multiplicar  una matriz por un  escalar se usa el símbolo * 1 0 −2 3 . Se cargan las matrices como lo indicamos Ejemplo: Sean A =  0 1 1 −1 en la sección 2 en la página 3. Y se escribe en la línea de Entrada: 3 * a

Figura 10: Sentencia para multiplicar una matriz por un escalar Dando como resultado la matriz que le asigna como nombre matriz1.

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Figura 11: Matriz resultado de multiplicar a por el escalar 3

2.1.3.

Producto entre matrices

Para multiplicar dos matrices se usa el símbolo *   2 −1 1      0 1 1 0 −2 3 0    yB= Ejemplo: Sean A =   . Se cargan las matri 1 − 1 −2  0 1 1 −1  

0 0 1 ces como lo indicamos en la sección 2 en la página 3. Y se escribe en la línea de Entrada: a * b

Figura 12: Sentencia para multiplicar dos matrices Dando como resultado la matriz producto.

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Figura 13: Matriz resultado de multiplicar a y b

2.2.

Rango de una matriz

Para calcular el rango de una matriz se usa el comando RangoMatriz[]  1 0 −2 3 . Se cargan las matrices como lo indicamos Ejemplo: Sea A =  0 1 1 −1 

en la sección 2 en la página 3.

Y se escribe en la línea de Entrada: RangoMatriz[ a ]

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Figura 14: Comando para calcular el rango de una matriz Dando como resultado un número.

Figura 15: Resultado del rango de una matriz

2.3.

Forma escalonada reducida de una matriz

Para obtener la forma escalonada reducida de una matriz se usa el comando EscalonadaReducida[]  1 0 −2 3 . Se cargan las matrices como lo indicamos Ejemplo: Sea A =  0 1 1 −1 

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Álgebra y geometría analítica Tutorial Geogebra en la sección 2 en la página 3. Y se escribe en la línea de Entrada: EscalonadaReducida[ a ]

Figura 16: Comando para obtener la forma escalonada reducida de una matriz Dando como resultado una nueva matriz que es la forma escalonada reducida de la matriz original.

Figura 17: Forma escalonada reducida de una matriz

2.4.

Transpuesta de una matriz

Para obtener la transpuesta de una matriz se usa el comando

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Álgebra y geometría analítica Tutorial Geogebra Traspone[]  1 0 −2 3 . Se cargan las matrices como lo indicamos Ejemplo: Sea A =  0 1 1 −1 

en la sección 2 en la página 3.

Y se escribe en la línea de Entrada: Traspone[ a ]

Figura 18: Comando para obtener la transpuesta de una matriz Dando como resultado una nueva matriz que es la transpuesta de la matriz original.

Figura 19: Matriz transpuesta de la matriz original.

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2.5.

Inversa de una matriz

Para obtener la inversa de una matriz se usa el comando



1  Ejemplo: Sea A =   0 1 sección 2 en la página

0 −2 1 1 3.

Inversa[] 

 1  . Se cargan las matrices como lo indicamos en la 1

Y se escribe en la línea de Entrada: Inversa[ a ]

Figura 20: Comando para obtener la inversa de una matriz Dando como resultado una nueva matriz que es la inversa de la matriz original.

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Figura 21: Matriz inversa de la matriz original.

2.6.

Determinante de una matriz

Para calcular el determinante de una matriz se usa el comando Determinante[]   1 0 −2   . Se cargan las matrices como lo indicamos en la Ejemplo: Sea A =  0 1 1   1 1 sección 2 en la página 3.

1

Y se escribe en la línea de Entrada: Determinante[ a ]

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Figura 22: Comando para calcular el determinante de una matriz Dando como resultado un número.

Figura 23: Resultado del determinante de una matriz

3. Sistemas de ecuaciones lineales Hay tres formas de trabajar con sistemas de ecuaciones en Geogebra

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3.1.

Vista Algebraica

Se trabaja con la matriz ampliada del sistema y se obtiene su forma escalonada reducida, como se explicó en la sección 2 y la subsección 2.3 en las páginas 3 y 9 respectivamente.

3.2.

Cálculo simbolico (CAS)

Para resolver un sistema de ecuaciones se utiliza el comando Soluciones[, ]   2 + 3y − 5z = 3 Por ejemplo: Dado el sistema , se carga el comando y da  − + 2y − z = 1

como resultado una terna con la solución.

Figura 24: Sentencia para resolver un sel

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