Unid2-repaso 5-final - Ejercicios resueltos PDF

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14.1

T RABAJO DE UNA FUERZA

173

EJEMPLO 14.1 El bloque de 10 kg de la figura 14-6a descansa sobre el plano inclinado. Si el resorte originalmente está alargado 0.5 m, determine el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan en el bloque cuando una fuerza horizontal P  400 N lo empuja cuesta arriba s  2 m.

2m

s

400 N

P

2 sen 30⬚ m

Posición inicial del resorte

k ⫽ 30 N /m

SOLUCIÓN Primero se traza el diagrama de cuerpo libre del bloque con todas las fuerzas que actúan en el bloque, figura 14-6b.

2 cos 30⬚ m 30⬚

Fuerza horizontal P. Como esta fuerza es constante, el trabajo se determina con la ecuación 14-2. El resultado puede calcularse como la fuerza por el componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza, es decir,

(a) (a)

30 98.1 N 30

o el desplazamiento por el componente de fuerza en la dirección del desplazamiento, es decir,

P 30 30

400 N

Fs

NB (b) (b)

Fuerza del resorte Fs. En la posición inicial el resorte está alargado s1  0.5 m y en la posición final está alargado s2  0.5 m  2 m  2.5 m. Requerimos que el trabajo sea negativo puesto que la fuerza y el desplazamiento se oponen entre sí. El trabajo de Fs es por tanto 1

J

Peso W. Como el peso actúa en el sentido opuesto a su desplazamiento vertical, el trabajo es negativo; es decir,

Observe que también es posible considerar el componente del peso en la dirección del desplazamiento, es decir,

Fuerza normal NB. Esta fuerza no realiza trabajo puesto que siempre es perpendicular al desplazamiento. Trabajo total. El trabajo de todas las fuerzas cuando el bloque se desplaza 2 m es por consiguiente

Fig. 14-6

14

178

CAPÍTULO 14

CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA

EJEMPLO 14.2 El automóvil de 3500 lb de la figura 14-10a viaja cuesta abajo de la carretera inclinada 10° a una rapidez de 20 pies>s. Si el conductor aplica los frenos y hace que las ruedas se bloqueen, determine qué distancia s patinan las llantas en la carretera. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas y la carretera es k  0.5.

20 pies pies// s A

s

a)

SOLUCIÓN Este problema se resuelve por medio del principio de trabajo y energía puesto que implica fuerza, velocidad y desplazamiento. Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en la figura 14-10b, la fuerza normal NA no realiza trabajo puesto que nunca se desplaza a lo largo de su línea de acción. El peso, 3500 lb, se desplaza s sen 10° y realiza trabajo positivo. ¿Por qué? La fuerza de fricción FA realiza tanto trabajo externo como interno cuando experimenta un desplazamiento s. Este trabajo es negativo puesto que se opone al desplazamiento. Aplicamos la ecuación de equilibrio normal a la carretera y tenemos

14 s

3500 lb

10 FA 10 NA (b)

Fig. 14-10

Principio de trabajo y energía.

1

si este problema se resuelve por medio de la ecuación de movimiento, se requieren dos pasos. Primero, según el diagrama de cuerpo libre, figura 14-10b, la ecuación de movimiento se aplica a lo largo del plano inclinado. De esto resulta NOTA:

Segundo, como a es constante, tenemos ฀ Resp.

14.3

PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

179

EJEMPLO 14.3 Durante un breve tiempo la grúa de la figura 14-11a levanta la viga de 2.50 Mg con una fuerza F  (28  3s2) kN. Determine la velocidad de la viga cuando alcanza s  3 m. También, ¿cuánto tiempo se requiere para que alcance esta altura a partir del punto de reposo? SOLUCIÓN Podemos resolver una parte del problema con el principio de trabajo y energía puesto que implica fuerza, velocidad y desplazamiento. Debe utilizarse cinemática para determinar el tiempo. Observe que cuando s  0, F  28(103)N 7 W  2.50(103)(9.81)N, por lo que habrá movimiento. Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 14-11b, la fuerza F realiza trabajo positivo, que se determina mediante integración puesto que esta fuerza es variable. Además, el peso es constante y realizará trabajo negativo ya que el desplazamiento es hacia arriba. Principios de trabajo y energía.

14

(a)

F

(1)

2

2.50 (10 3)(9.81) N (b)

Cinemática. Como podemos expresar la velocidad en función del desplazamiento, el tiempo se determina con v  ds>dt. En este caso,

2

NOTA: la aceleración de la viga se determina al integrar la ecuación

(1) por medio de v dv  a ds, o más directamente, al aplicar la ecuación de movimiento 兺F  ma.

Fig. 14-11

180

CAPÍTULO 14

CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA

EJEMPLO 14.4 La masa de la plataforma P de la figura 14-12a es insignificante y está atada por abajo, de modo que las cuerdas de 0.4 m de largo mantienen comprimido 0.6 m un resorte de 1 m de largo cuando no hay nada sobre la plataforma. Si se coloca un bloque de 2 kg sobre la plataforma y se libera del punto de reposo después de que la plataforma se empuja hacia abajo 0.1 m, figura 14-12b, determine la altura máxima h que el bloque se eleva en el aire, medida desde el suelo. 14

P k

h

200 N/ m 0.4 m

0.3 m

(a)

(b)

Fig. 14-12

SOLUCIÓN

19 .6 2 N

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como el bloque se suelta del punto de reposo y después alcanza su altura máxima, las velocidades inicial y final son cero. El diagrama de cuerpo libre del bloque cuando aún está en contacto con la plataforma se muestra en la figura 14-12c. Observe que el peso realiza trabajo negativo y la fuerza del resorte trabajo positivo. ¿Por qué? En particular, la compresión inicial en el resorte es s1  0.6 m  0.1 m  0.7 m. Debido a las cuerdas, la compresión final del resorte es s2  0.6 m (después de que el bloque sale de la plataforma). La cara inferior del bloque se eleva desde una altura de (0.4 m  0.1 m)  0.3 m hasta una altura final h. Principio de trabajo y energía.

Fs 1

(c)

1

2

2

Observe que aquí s1  0.7 m 7 s2  0.6 m y por tanto el trabajo del resorte determinado con la ecuación 14-4 será positivo una vez que 1

EJEMPLO 14.5 El muchacho de 40 kg en la figura 14-13a se desliza cuesta abajo del tobogán acuático. Si parte del punto de reposo en A, determine su rapidez cuando llega a B y la reacción normal que el tobogán ejerce en esta posición. y A

14

y  0.075x2 7.5 m B

x 10 m

(a)

n 40(9.81) N u u t

Nb (b)

n 40(9.81) N t

NB (c)

Fig. 14-13

182

CAPÍTULO 14

CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA

EJEMPLO 14.6 Plano de referencia

La masa de los bloques A y B que se muestran en la figura 14-14a es de 10 kg y 100 kg, respectivamente. Determine la distancia que B se desplaza cuando se suelta desde el punto de reposo hasta el punto donde su rapidez es de 2 m>s.

sA

SOLUCIÓN

sB

B 100 kg

14

Este problema se resuelve si se consideran los bloques por separado y se aplica el principio de trabajo y energía a cada bloque. Sin embargo, el trabajo de la tensión del cable (desconocida) se elimina si los bloques A y B se consideran como un solo sistema.

A 10 kg (a)

T

R1

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre del sistema, figura 14-14b, la fuerza del cable T y las reacciones R1 y R2 no realizan trabajo, ya que estas fuerzas representan las reacciones en los soportes y por consiguiente no se mueven mientras los bloques se desplazan. Los dos pesos realizan trabajo positivo si suponemos que ambos se mueven hacia abajo en el sentido positivo de sA y sB.

R2

Principio de trabajo y energía. Si tenemos en cuenta que los bloques se sueltan del punto de reposo, tenemos

B

981 N A

1

2 1

2

98.1 N (b)

Fig. 14-14

1

(1)

Cinemática. Al usar los métodos de cinemática analizados en la sección 12.9 en la figura 14-14a se ve que la longitud total l de todos los segmentos verticales de cable pueden expresarse en función de las coordenadas de posición sA y sB como

Aquí vemos que un desplazamiento hacia abajo de un bloque produce un desplazamiento hacia arriba del otro bloque. Observe que ¢ sA y ¢ sB deben tener la misma convención de signos en las ecuaciones 1 y 2. Al considerar las derivadas con respecto al, tiempo se

Al conservar el signo negativo en la ecuación 2 y sustituirlo en la...