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UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA Objetivo general. Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los elementos que caracterizan a la elipse y a la hipérbola en las soluciones de ejercicios y problemas. Objetivos específicos: 1.

Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica.

2.

Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico, su ecuación en la forma canónica.

3.

Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse y de una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.

Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general. Definición. La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, situados en el mismo plano, llamados focos, es una cantidad constante y mayor que la distancia entre los focos. Se llama eje focal a la recta que pasa por los focos (F y F’) y que corta a la elipse en dos puntos llamados vértices (V y V’). La porción del eje focal comprendida entre los vértices: se llama eje mayor y su longitud VV ' se designa como 2a. La longitud del eje focal es

FF '  2c . La recta perpendicular al eje focal en el centro de la elipse se llama eje normal, y corta a la curva en dos puntos, A y A’. El segmento AA ' es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b. La posición del eje focal define la posición de la elipse: horizontal, si su eje focal es paralelo o coincide con el eje x (Figura 6.1a); vertical, si su eje focal es paralelo o coincide con el eje y (Figura 6.1b); o inclinada. Si la posición de la elipse es inclinada, se recurre a la rotación de ejes para analizarla.

Figura 1.1a.

Figura 1.1 b. La elipse es una curva simétrica con respecto a sus dos ejes, que tiene dos lados rectos: las dos rectas perpendiculares al eje mayor que pasan por los focos y unen dos puntos de la curva. La elipse tiene dos directrices: las rectas perpendiculares al eje focal que se encuentran a la misma distancia de los vértices que los focos, pero en el lado opuesto, es decir fuera de la elipse. Para determinar la ecuación del lugar geométrico que define a la elipse, en el caso en que la curva tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje x, como los focos se encuentran sobre el eje de las abscisas, sus coordenadas son F(c, 0), F’(–c, 0), siendo c una constante positiva. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse, de acuerdo con la definición de esta curva P debe satisfacer la condición: FP  F ' P  2a ; donde a > c

Al sustituir en la fórmula para calcular la distancia de cada segmento se tiene:

x  c 2   y  0 2   x  c2   y  0 2

 2a

Desarrollando:

x  c 2   

x c 

2

y

2

y 2  2a 

x  c 2  y 2

 2  2a    

x  c 

x 2  2xc  c 2  y 2  4a 2  4a

2

y

2

 

2

x  c  2  y 2  x 2  2xc  c 2 

4a

x  c 2  y 2

a 

 x  c 2  y2 





y2

 4a 2  4 xc

2

  a 2  xc 

2



a 2 x 2  2xc  c 2  y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2 x 2 a 2  2a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2

x 2a 2  x 2 c 2  a 2 y 2  a 4  a 2 c 2







x2 a2  c2  a 2 y 2  a 2 a2  c 2

Como a  c , a2  c2



y la expresión a 2  c 2   0 puede ser reemplazada por un número

positivo b 2 :

b2  a 2  c2 Sustituyendo: b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 Y dividiendo por a 2 b 2 :

x2 y 2  1 a2 b 2 Ésta es la ecuación de una elipse con las siguientes características: Centro:

C(0, 0)

Eje focal:

eje x

Vértices:

V(a, 0) y V’(–a, 0)

Focos:

F(c, 0), F’(–c, 0)

Distancia focal:

2c

Longitud del eje mayor:

2a

Longitud del eje menor:

2b

Longitud de cada lado recto: Excentricidad:

2b 2 a e

c a2  b2  c. Cuando el eje focal de la elipse coincide con el eje y, la curva es vertical, las coordenadas de los focos serán F(0, c), F’(0, –c) y las de los vértices V(0, a) y V’(0, –a). En este caso su ecuación es:

x2 y 2  1 b2 a 2 Y sus elementos son: Centro:

C(0, 0)

Eje focal:

eje y

Vértices:

V(0, a) y V’(0, –a)

Focos:

F(0, c), F’(0, –c)

Distancia focal:

2c

Longitud del eje mayor:

2a

Longitud del eje menor:

2b

Longitud de cada lado recto: Excentricidad:

2b 2 a e

c a2  b2  1 a b y x a

*Aun cuando la hipérbola no intersecta al eje y, los puntos A (0, b) y A’ (0, –b), se toman como extremos del eje conjugado.

Cuando el eje focal coincide con el eje y la hipérbola es vertical, las coordenadas de los focos son F(0, c), F’(0, –c), las de los vértices: V(0, a) y V’(0, –a), y su ecuación:

y2 x 2  1 a2 b 2 Sus características y elementos son: Centro

C(0, 0)

Eje focal

el eje y

Vértices

V(0, a) y V’(0, –a)

Focos

F(0, c), F’(0, –c)

Distancia focal

2c

Longitud del eje transverso

2a

Longitud del eje conjugado* 2b Longitud de cada lado recto Excentricidad Asíntotas

2b 2 a e

c = a

a2  b2 >1 a

y

a x; b

a y x b

*Ahora no hay intersección con el eje x, pero los puntos A (b, 0) y A’ (–b, 0), se consideran los extremos del eje conjugado.

Ejemplos: 1.) Para encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(3, 0) y V’(–3, 0) y sus focos F(5, 0), F’(–5, 0) se puede proceder como sigue. Por las coordenadas de los vértices y los focos se sabe que la hipérbola tiene su centro en el origen y su eje focal está sobre el eje x, por lo tanto, su ecuación es de la forma

x2 y2  1. a2 b 2 La distancia de los vértices al centro es de 3 unidades, a = 3, y la distancia de los focos al centro es de 5 unidades, c = 5, por lo que b2 = c2 – a2 b2 = (5)2 – (3)2 = 25 – 9 = 16 b=4 La ecuación de la hipérbola es:

x2 y2  1 9 16 2.) Los elementos que caracterizan a la hipérbola del ejemplo anterior son: Distancia focal

2c = 10

Longitud del eje transverso

2a = 6

Longitud del eje conjugado

2b = 8

Longitud de cada lado recto

216  32 2b 2  = 3 3 a

Excentricidad Asíntotas

e

c 5 = a 3

b 4 x = x ; 3 a 4 =  x 3 y

b y x a

Figura E 2.1 3.) Si los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0, 3) y (0, –3) y la longitud de cada lado recto es 6, entonces de las coordenadas dadas (que corresponden a los puntos A y A') se sabe que la hipérbola tiene su centro en el origen, que su eje focal está sobre el eje x, y que su semieje conjugado, b, es igual a 3. Para determinar la ecuación se debe conocer el valor de a, el semieje transverso, que puede encontrarse con el dato de la longitud del lado recto ya que

LR 

2b 2 a

2 3 18 2b 2 = = LR 6 6 2

a

a=3 Entonces la ecuación de la hipérbola es:

x2 y 2  1 9 9

Su excentricidad es:

c e = a

b2  a2 = a

99 3 2 = = 3 3

2

Figura E 2.2 4.) Para una hipérbola con centro en el origen y eje conjugado sobre el eje x, su

y 2 x2 ecuación es del tipo 2  2  1 . Si la longitud de cada lado recto es 2 3 y pasa por a b el punto  1, 2  , se puede encontrar su ecuación de la siguiente manera: El punto  1, 2  pertenece a la curva, por lo tanto satisface su ecuación:

(2) 2 ( 1) 2  2 1 a2 b 4 1  2 1 2 a b

Por otra parte,

LR 

2b 2 2  3 a

2a  6b 2 → b2  a 3 Al sustituir la expresión para b2 en la ecuación de la hipérbola:

4 1  1 2 a a 3 a 3 4 1  1 = 2 a a a 3

4  a 2  3a a 2  3a  4  0 y resolviendo esta ecuación se obtiene: a1  4 a2  1 El valor negativo de a se descarta dado que a es una longitud. Entonces a = 1 y: b2 

a 1  3 3

Con estos valores la ecuación de la hipérbola es:

y2 x2  1 1 1 3

Figura E 2.3 Dependiendo de la relación entre los ejes transverso y conjugado, se definen dos tipos particulares de hipérbolas:

a. Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado tienen la misma longitud, es decir a = b, y su ecuación se reduce a

x2 y 2 x2 y 2 → 1  1   a 2 b2 a2 a2 x2  y2  a2 Las asíntotas de esta curva: y 

b x , a

y x ,

y

b x , reducen su expresión a: a

y  x

Como estas rectas son perpendiculares entre sí, la curva también recibe el nombre de hipérbola rectangular. b. Se llaman hipérbolas conjugadas a dos hipérbolas en las que el eje transverso de una es igual al eje conjugado de la otra, por lo que también se dice que cada hipérbola es conjugada de la otra. Si la ecuación de una hipérbola es

x2 y 2  1 a 2 b2 la ecuación de su hipérbola conjugada es: y2 x2  1 a12 b12 con a1  b y b1  a . Dos hipérbolas conjugadas tienen un centro común, dos asíntotas comunes y todos sus focos equidistan del centro. Ejemplo: 5.) Para la hipérbola

Para

x2 y2 y2 x2   1 , su hipérbola conjugada es  1 . 9 16 16 9

x2 y2   1, que es horizontal, a2 = 9, b2 = 16, y sus asíntotas son 9 16 b y x a

→ y

4 x 3

Para

y2 x2 2   1, que es vertical, a12  16 , b1  9 , y sus asíntotas son 16 9 y

4 a1 x → y  x 3 b1

que son las mismas asíntotas de la primera hipérbola. El semieje focal tiene la misma longitud en ambas hipérbolas: c  a 2  b 2  9  16  5

Por lo tanto, los focos de la hipérbola

y los de la hipérbola conjugada

x2 y2   1 son F(5, 0) y F’(–5, 0) 9 16

y2 x2   1 son F(0, 5) y F’(0, –5) 16 9

Figura E 2.4

La ecuación de una hipérbola cuyo centro no está en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, puede obtenerse mediante traslación de los ejes cartesianos de manera que el origen del sistema coordenado coincida con el centro de la curva. Si las coordenadas

del centro de la hipérbola son (h, k) y su eje transverso es paralelo al eje x, la ecuación de la hipérbola con respecto a los nuevos ejes coordenados x’ y y’ es

(x ' )2 ( y ' ) 2  2 1 a2 b y, dado que la traslación de ejes es tal que x'  x  h

y'  y  k

y

Al sustituir en la ecuación se obtiene

x  h 2   y  k  2 a2

b2

1

Ésta es la ecuación de una hipérbola con Centro

C(h, k)

Eje focal

paralelo al eje x

Vértices

V(h + a, k) y V’(h – a, k)

Focos

F(h + c, k), F’(h – c, k)

Distancia focal

2c

Longitud del eje transverso

2a

Longitud del eje conjugado

2b

Longitud de cada lado recto

2b 2 a

Excentricidad Asíntotas

a 2  b2 c >1 = a a b b y  x  h  k ; y    x  h  k a a

e

Si el centro de la hipérbola está en (h, k) y el eje focal es paralelo al eje y, la ecuación es

 y  k 2  x  h 2 a2

b2

y sus características: Centro

C(h, k)

Eje focal (y eje transverso)

paralelo al eje y

1

Vértices

V(h, k + a) y V’(h, k – a)

Focos

F(h, k + c), F’(h, k – c)

Distancia focal

2c

Longitud del eje transverso

2a

Longitud del eje conjugado

2b

Longitud de cada lado recto

2b 2 a

Excentricidad Asíntotas

a2  b2 >1 a

e

c = a

y

a x  h  k ; b

y

a  x  h  k b

Ejemplos: 6.) Para obtener la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en (–4, 1) un vértice en (2, 1) y su semieje conjugado es igual a 4, como el centro y el vértice tienen la misma ordenada, la hipérbola tiene su eje focal paralelo al eje x, y la ecuación será

x  h 2   y  k  2 a2

1

b2

Su semieje conjugado es b = 4, y la distancia del centro al vértice es a   4  2  6

De modo que su ecuación es

x  42   y 12 36

16

1

7.) Los demás elementos de la hipérbola del ejemplo anterior se pueden obtener a partir 36  16  52

de que h = –4; k = 1; a = 6, b = 4; c = Vértices

V(2, 1),

V’(–10, 1)

Focos

F(–4 + 1)

Distancia focal

2 52 = 4 13

Longitud del eje transverso

12

52 , 1),

F’(–4 – 52 ,

Longitud del eje conjugado

8

Longitud de cada lado recto

32 2b 2 = a 6

Excentricidad

52 c = = 6 a 2 11 y x 3 3

e

Asíntotas

13 3

8.) Si una hipérbola tiene excentricidad de 3 2 y sus vértices son los puntos (2, 1) y

2,  3 ,

como los vértices tienen la misma abscisa, la hipérbola tiene su eje

transverso paralelo al eje y, y su centro está en el punto medio de este segmento: C(2, –1). La longitud del semieje transverso es: a   3   1   2  2

y, como e 

c 3  , entonces c = 3. a 2

Con estos valores se puede calcular b  c 2  a 2  9  4  5 La ecuación de la hipérbola es

y  12  x  2 2 4

5

1

las coordenadas de los focos son F(2, 2) y F’(2, –4) y la longitud del lado recto

LR 

2b 2 10  5 a 2

Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse y de una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola. De la forma canónica de la ecuación de una elipse o de una hipérbola es posible obtener la forma general desarrollando las operaciones indicadas por los cocientes y los binomios al cuadrado (si la curva tiene su centro fuera del origen), para después reducir términos semejantes e igualar a cero la ecuación. En el caso de una elipse en la que el eje mayor sea horizontal:

x  h 2   y  k  2 a2

b2

1

x 2  2 hx  h2 y 2  2 ky  y 2  1 a2 b2



   2 b h x   2 a k  y   b h



b 2 x 2  2hx  h 2  a 2 y 2  2ky  k 2  a 2 b 2

b2 x2  a2 y2

2

2

2

2

2 2 2 2 a k a b 0

Comparando esta ecuación con la forma general de una ecuación de segundo grado, en que no aparezca el término en xy: Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 se otiene que:

A  b 2 ; C  a2 ; D  2b 2 h ; E  2a 2 k ; F  b 2 h 2  a 2 k 2  a 2 b 2 Un desarrollo similar para la elipse con eje mayor vertical lleva a que:

A  a 2 ; C  b2 ; D   2 a 2 h ; E   2 b 2 k ; F  a 2 h 2  b 2 k 2  a 2 b 2 Así, la ecuación cuadrática de la forma Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 , con A ≠ C, pero con el mismo signo, corresponde a una elipse. Si A  C la elipse es horizontal y si A  C , es vertical. Ejemplos:

1.) Para la elipse x 2  4 y 2  2x  12 y  6  0 : A = 1; C = 4; D = 2; E = –12; F = 6 Como A y C son diferentes pero del mismo signo y A < C, la elipse es horizontal tiene, es decir, su eje mayor paralelo al eje x. Para determinar sus elementos se puede obtener la ecuación en la forma canónica, para lo cual se completan los trinomios y se iguala a 1 la ecuación. x 2  4 y 2  2x  12 y  6  0

9  x 2  2x  1  4 y 2  3y     6  1  9 4  2

x  1  4 y  3   4 2  2

2

3  y   2 x  1   2   1 4 1 De aquí se sabe que:

3  a) Su centro está en C  1,  2  b) Como a2 = 4,

a = 2, y los vértices son

3   3 V  1  2,  =  1,  2   2

y

3  3  V '  1  2,  =  3,  2  2  c) De

c 2  a 2  b2,

c  3,

y los focos están en

3  F   1 3,  y 2 

3  F '  1  3,  2  d) La longitud del eje mayor es 2a = 4; la longitud del eje menor es 2b = 2; y la 2

2b2 2 1  1 longitud de cada lado recto es LR = 2 a

e

e) La excentricidad es

3 c  2 a

2.) Dada la ecuación de la elipse 9x 2  4 y 2  8 y  32  0 , se pueden determinar todos sus elementos sin pasar por la forma canónica. Para obtener las coordenadas del centro, los vértices, los focos, las longitudes de sus ejes y de sus lados rectos, y la excentricidad, se deben conocer los valores de h, k, a, b y c, a partir de los de A, C, D, E y F. De la ecuación: A  9, C  4,

D  0, E   8,

F   32

Como A > C, la elipse tiene su eje mayor vertical por lo que:

A  a 2 = 9, a = 3; D  2 a 2 h ; →

C  b 2 = 4, b = 2

h

E  2 b 2 k ; → k  

D 2a 2

= 

0 0 18

E 8 =  =1 2 2b 8

c 2  a 2  b2 → c2  9  4  5 Con estos valores se determinan: a) Centro: (h, k) = (0, 1) b) Vértices: (h, k ± a) → V(0, 1 + 3) = (0, 4) y V’(0, 1 – 3) = (0, –2)



c) Focos: (h, k ± c) → F 0,1  5 d) Eje mayor: 2a = 6 e) Eje menor: 2b = 4 f) Lado recto (cada uno): g) Excentricidad: e 

2b 2 8  3 a

c 5  a 3





y F ' 0,1  5



Una ecuación de segundo grado Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 con A ≠ C pero del mismo signo representa, en general, a una elipse, pero también puede ocurrir que sea sólo un punto, o incluso que no represente un lugar geométrico real. Esto dependerá del valor de de la expresión CD 2  AE 2  4 ACF

como se indica: a) Si ( CD 2  AE 2  4 ACF ) > 0, la ecuación representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados. b) Si ( CD 2  AE 2  4 ACF ) = 0,

E   D representa un punto de coordenadas   ,   2 A 2C 

c) Si ( CD 2  AE 2  4 ACF ) < 0,

no representa ningún lugar geométrico real.

Ejemplos: 4.) La ecuación 4x 2  y 2  4x  3 y  26  0 no representa una elipse puesto que: Si bien A = 4,

C = 1,

4 ≠ 1 y ambos son positivos, como D = –4,

E = 3,

F  26 , entonces CD 2  AE 2  4 ACF =...