Unidad II - Lecture notes 2 PDF

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sistemas de ecuaciones lineales y no lineales...

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4/14/2021

UNIDAD II SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS (ING. EN ALIMENTOS) - 2021 PROF. RESP: DRA. MARÍA LAURA RODRÍGUEZ

RAICES DE ECUACIONES • Dada una función de la variable x: f(x), se denominan “raíces” de la ecuación, los valores de x, que hacen que la ecuación sea igual a cero.

• Por ejemplo, dada la función de una recta y=f(x)= x - 2, la raíz de esa función puede graficarse como: y 3 2 1 0

y=0 1

2

x 3 Raíz x-2 = 0 => x=2

Resolución: Técnica analítica (exacta) de obtención de la raíz

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RAICES DE ECUACIONES • Muchas funciones tienen una forma “no lineal”, y las técnicas analíticas o de “despeje” de x, que conocemos no pueden emplearse, este el es caso de la siguiente función: • f (x) = e-x – 0.1x 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

y=0

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.2 -0.4

Raíz e-x – 0.1x = 0

Resolución: Técnica numérica (aproximada) de obtención de la raíz

RAICES DE ECUACIONES EN LA PRÁCTICA DE INGENIERÍA •

Muchas funciones tienen una forma “no lineal” en la práctica de la ingeniería. Como las leyes o principios listado en la tabla.

•

Pueden ser ecuaciones algebraicas o trascendentes, entre las primeras están las funciones polinómicas, y entre las segundas, las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

•

Todas ellas presentan la característica de ser expresiones implícitas de la variable independiente, esto significa que no puede despejarse.

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RAICES DE ECUACIONES EN LA PRÁCTICA DE INGENIERÍA •

Por ejemplo, la expresión de la segunda Ley de Newton para obtener la velocidad de caída de un objeto:

Donde la velocidad v = la variable dependiente, el tiempo t = la variable independiente, la constante de gravitación g = una fuerza y el coeficiente de arrastre c y la masa m son los parámetros.

•

Si dados todos los otros parámetros y variables, quisiéramos determinar solamente el coeficiente c por despeje, no nos sería posible (inténtelo), se dice que la expresión es implícita en c.

•

Para resolver la ecuación, se re expresa de esta manera:

•

Por lo tanto, el valor de c, que hace f(c) =0 es la raíz de la ecuación.

MÉTODOS PARA HALLAR RAÍCES •

Métodos cerrados:

Usan intervalos, para encontrar raíces. Aprovechan el hecho de que una función cambia de signo en la vecindad de una raíz. A estas técnicas se les llama métodos cerrados, o de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, dichos valores iniciales deben “encerrar”, o estar a ambos lados de la raíz. Estos métodos empiezan con intervalos amplios que contienen a la raíz, y después reducen sistemáticamente el tamaño del intervalo hasta converger a la respuesta correcta. Se estudian dos métodos específicos: el de bisección y el de la falsa posición.

•

Métodos abiertos:

Se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz. Éstos, algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen, en general lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados. Se estudian tres métodos específicos: el de punto fijo, el método de Newton-Raphson y el de la secante.

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OBSERVACIÓN GRÁFICA Una forma simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste en graficar la función y observar dónde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximación inicial de la raíz.

OBSERVACIÓN GRÁFICA

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OBSERVACIÓN GRÁFICA Las interpretaciones gráficas, además de proporcionar estimaciones de la raíz, son herramientas importantes en la comprensión de las propiedades de las funciones y en la prevención de las fallas de los métodos numéricos. Por ejemplo, la figura 5.2 muestra algunas de las formas en las que la raíz puede encontrarse (o no encontrarse) en un intervalo definido por un límite inferior xl y un límite superior xu. La figura 5.2b representa el caso en que una sola raíz está acotada por los valores positivo y negativo de f(x). Sin embargo, la figura 5.2d, donde f(xl) y f(xu) están también en lados opuestos del eje x, muestra tres raíces que se presentan en ese intervalo. En general, si f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, existe un número impar de raíces en el intervalo. Como se indica en las figuras 5.2a y c, si f(xl) y f(xu) tienen el mismo signo, no hay raíces o hay un número par de ellas entre los valores. Aunque dichas generalizaciones son usualmente verdaderas, existen casos en que no se cumplen. Por ejemplo, las funciones tangenciales al eje x (figura 5.3a) y las funciones discontinuas (figura 5.3b) pueden violar estos principios. Un ejemplo de una función que es tangencial al eje x es la ecuación cúbica f(x) = (x – 2)(x – 2)(x – 4). Observe que cuando x = 2, dos términos en este polinomio son iguales a cero. Matemáticamente, x = 2 se llama una raíz múltiple.

MÉTODOS CERRADOS • Métodos de bisección:

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MÉTODOS CERRADOS • Método de bisección: Algoritmo

MÉTODOS CERRADOS • Método de bisección: Criterios de paro y estimaciones de errores El método se repite para obtener una aproximación más exacta de la raíz. Como criterio se usa el valor del error relativo porcentual. Tengamos en cuenta que el error verdadero no puede conocerse dado que no se tiene conocimiento previo del valor de la raíz. Cálculo del error relativo porcentual, a

donde xr nuevo es la raíz en la iteración actual y xr anterior es el valor de la raíz en la iteración anterior.

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MÉTODOS CERRADOS • Métodos de posición falsa (o Regula Falsi):

MÉTODOS CERRADOS • Métodos de posición falsa (o Regula Falsi):

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MÉTODOS CERRADOS • Métodos de posición falsa (o Regula Falsi):

MÉTODOS CERRADOS • Métodos de posición falsa (o Regula Falsi):

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MÉTODOS ABIERTOS • Método de Punto Fijo:

MÉTODOS ABIERTOS • Método de Punto Fijo:

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MÉTODOS ABIERTOS • Método de Punto Fijo: El método básicamente consiste en desdoblar la ecuación original f(x) en dos nuevas: f1(x)=x (Función identidad) f2(x)=g(x) (Función que queda a la derecha luego de despejar x) Observe que la posición de la raíz de la función original coincide con la intersección de las funciones f1 y f 2

MÉTODOS ABIERTOS

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MÉTODOS ABIERTOS • Método de Punto Fijo:

MÉTODOS ABIERTOS • Método de Punto Fijo:

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MÉTODOS ABIERTOS • Método de Newton-Raphson:

MÉTODOS ABIERTOS Método de NewtonRaphson:

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MÉTODOS ABIERTOS • Método de la secante:

MÉTODOS ABIERTOS • Método de la secante:

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CONVERGENCIA DE MÉTODOS

La velocidad de convergencia es mayor para los métodos abiertos en comparación con los métodos cerrados. Esto es, los métodos abiertos (Newton-Raphson y Secante) requieren un menor número de iteraciones para alcanzar el mismo nivel de aproximación de la raíz.

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