Vectores - Apuntes 1 PDF

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vectores y modulo...

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Profesor: lic. Rubén Alejandro Jiménez Guevara Tema: Vectores

Un vector puede utilizarse para representar una magnitud física, quedando definido por un módulo y una dirección u orientación(sentido). Su expresión geométrica consiste en segmentos de recta dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha. La velocidad y la fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales.

Magnitud “modulo”

Sentido: Si va hacía el norte, sur, este, oeste.

30° Dirección: Ángulo

Vectores que parten del origen (0,0) a un punto (x,y) Ejemplo: Tenemos un vector “v” que llega al punto (3,2) y parte del origen: A) ¿Qué magnitud tiene?

Formula: v

x2 y2

v  32  2 2 v  9 4 v  13 v  3.60

B) ¿Qué angulo tiene? tan 

y x

y x 2   tan 1 ( ) 3 1   tan (0.666)

  tan 1( )

  33.69

C) ¿Qué sentido tiene? Noreste

2) Calcular los mismos incisos para v(9,8)

Vectores fuera del origen Tenemos vectores que estan fuera del origen Ejemplo: Se tiene un vector formado por un punto A(3,4) y el punto B(6,10)

¿Qué magnitud tiene?

v  (x 2  x1) 2  ( y 2  y1) 2 v  (6  3) 2  (10  4) 2 v  (3) 2  (6) 2 v  9  36 v  45 v  6.70 ¿Qué angulo tiene? y2  y1 x 2  x1 10 4 tan   6 3 6 tan   3 1   tan (2)   63.43 tan  

¿Qué sentido tiene? Noreste

Vector suma Se le conoce como vector resultante y es la suma de los vectores.

Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como regla del paralelogramo. Ejemplo: A=15

B=28

Ang=30°

Ang=50°

El vector resultante(R) parte del origen de A y llega hasta el final

de B. A éste se le conoce como vector resultante

Solución por componentes de vector: Paso 1) Descomponer el vector en: Ax=15cos30°=12.99 Bx=28cos50°=17.99 Ay=15sen30°=7.5 By=28sen50°=21.44 Paso 1) Forma polar Rx=Ax+Bx=12.99+17.99=31 Ry=Ay+By=7.5+21.44=28.94

R  Rx 2  Ry 2 R  312  28.94 2 R  961 837.5236 R  1798.5236 R  42.409

Ry ) Rx 28.94 )   tan 1 ( 31   tan 1 (0.933)

  tan 1 (

  43.031

A=4 Ang=20°

R=? Ang=?

B=9 Ang=120°

Suma y resta vectores: Sean a(2,-4) y b(5,-2)

a( 2, 4) b(5,2) necesitamos _ calcular _ a  b _ y necesitamos _ calcular _ a  b a  b  (7,6) a  b  (3,2) Vector proporcional:

v  ku k , es _ una _ cons tan te Implica que el vector v y el vector u son paralelos entre si

Problema 1) Determinar si los vectores a(5,-21) y el vector b(-10,6) tienen o no la misma dirección. Tarea: Se calcula la dirección de ambos, i.e, el angulo Y se compara Problema 2) Dado el vector a(5,3) y un punto p(4,-1) A) Determinar las coordenadas de un punto q(x2,y2) para que el vector fijo pq sea un representante del vector a.

Paso 1) Calcular el modulo de a(5,3)

a  52  32 a  34 a  5.83 pq  ( x2  4)2  ( y 2   1)2 pq  ( x 2  4)2  ( y 2  1)2 x2  4  5, x2  9 y 2  1  3, y 2  2 q(9,2) P(4,-1) Q(9,2)

Problema con 3 vectores (suma o resultante)

2

pq  (4  9)  (2  1) pq  ( 5) 2  (3) 2 pq  34 pq  5.83

2

Paralelogramo

A=5 Ang=30°

Componentes de vector

Ax=5cos30=4.33 Bx=6cos45=4.24 Cx=4cos20=3.75 Rx=12.32

Ay=5sen20=1.71 By=6sen45=4.24 Cy=4sen20=1.36 Ry=7.32

B=6 Ang=45°

C=4 Ang=20°

R  (12.32) 2  (7.32) 2 R  151.7824  53.5824 R  205.3648 R  14.33

7.32 ) 12.32   30.71

  tan 1(...