Guia N°1 VECTORES PDF

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Guía N°1 de Álgebra II Vectores 1.-Si A = iˆ + 3 ˆj + 2 kˆ . B= 4 iˆ - ˆj + kˆ . Calcular: a) A b) B c) AxB Luego, determinar los vectores unitarios Aˆ , Bˆ , Cˆ en las direcciones dadas por A, B, A x B, respectivamente. 2.- Dados los vectores A = 2 iˆ + 3 ˆj + 4 kˆ . B= 5 iˆ – 2 ˆj - kˆ , calcular ...

Description

Guía N°1 de Álgebra II Vectores

1.-Si A = ˆi + 3 ˆj + 2 kˆ . B= 4 ˆi - ˆj + kˆ . Calcular:

a) A

b) B

c) AxB

ˆ , Bˆ , Cˆ en las direcciones dadas por A, B, A x B, Luego, determinar los vectores unitarios A respectivamente.

2.- Dados los vectores A = 2 iˆ + 3 ˆj + 4 kˆ . B= 5 iˆ – 2 ˆj - kˆ , calcular AxB y comprobar que ( A x B )x( A + B ) = 2( A x B) 3.- Si a, b, c son tres vectores, demostrar la identidad: a x (b x c) = ( a.c)b – ( a.b)c Usar esta identidad para hallar el vector x que satisface las ecuaciones x x a = b, x.c = p, donde p es un escalar dado, y a.c  0 4.- Si a1, a2, a3, a4 son cuatro vectores cualesquiera, y b1, b2, b3, b4 vienen definidos por b1 = a2 x a3 + a3x a4 + a4 x a2 y las ecuaciones derivadas de ésta intercambiando cíclicamente los subíndices 1, 2, 3, 4, demostrar que a) b1 – b2 + b3 – b4 = 0 b) a1 x b1 – a2 x b2 + a3 x b3 – a4 x b4 = 0 5.- Hallar las soluciones para que verifiquen

iˆxx xjˆ  iˆ,  jˆxx xiˆ  ˆj ,

 x

2

 11

6.- a) Mostrar, usando métodos vectoriales, que la distancia entre dos rectas L1 y L2 está dada por. d( L1, L2 ) =

v2  v1  a1 xa2    a 1xa 2

    donde v1 , v 2 son puntos L1 y L2, a1 , a 2 son las direcciones de L1 y L2 respectivamente. (Ind. Considerar el plano que contiene a L2 y es paralelo a L1)

    Mostrar que a1 xa2  / a1xa 2 es un vector unitario normal de este plano; luego proyectar   v2 - v1 sobre esta dirección normal. b) Encontrar la distancia entre la recta L1 determinada por los puntos ( -1, -1, 1 ) y ( 0, 0, 0 ) y la recta L2 determinada por los puntos ( 0, -2, 0 ) y ( 2, 0, 5 ) 7.- Determinar m  IR tal que los vectores u = ( 1, m + 1, m ) y v = ( m – 1, m, m + 1 ) sean ortogonales en IR3. 8.- Considerar en IR2 el producto interno dado por < u, v > = x1y1 + 2x2y2 – x1y2- x2y1 para todo par de vectores u = ( x1, x2 ) y v = ( y1, y2 ) en IR2. a) Determinar m tal que los vectores ( 1 + m, 2 ), ( 3, m – 1 ) sean ortogonales. b) Determinar todos los vectores ( m, m – 1 ) de norma igual a 1. 9.- Sean u1, u2, …, un n vectores de IRn ortogonales dos a dos. Probar que n

2

 ui i 1

n

  ui

2

i 1

10.- Sea P2(IR) el espacio de polinomios de segundo grado. Se define < p, q > en P2(IR) por: 1

< p, q> =

 p (t )q (t )dt

(*)

0

a) Verificar que < p, q > es un producto interno en P2 (IR) b) Usando el proceso de Gram-Schimdt, ortonormalizar la base canónica {1, x, x2} c) Determinar la proyección ortogonal de p( t ) = 2t - 1 sobre q ( t ) = t en relación a ( * )

11.- Un operador T: IRn  IRn con la propiedad

Tu  u  u IRn se denomina isometría sobre IRn ( u operador ortogonal sobre IRn ) a) Verificar que la rotación T: IR2 IR2 dada por T ( x, y ) = ( x cos  - y sen, x sen  + y cos  ) donde 0    2 es una isometría sobre IR2 b) Sea T: IR3  IR3 definido por: T( x, y, z ) = ( x cos – y sen, x sen + y cos , z ) es una isometría. 12.- Determinar   IR de modo que el siguiente operador lineal F de IR3 sea una isometría:

1 1 2 1  1 x y  z , x y z, F(x, y, z ) =  3 6 6 6  3

1 1  x z  2 2 

13.- Sea { a1, a2, a3} una terna positivamente orientada de vectores, y sea  = [a1, a2, a3]. Se definen b1 =

a xa a2 xa3 a xa , b2 = 3 1 , b3 = 1 2 y ij ( Delta de Kronecker ) por   

1, i  j ij =  0, i  j Demostrar que

1  { b1,b2,b3}es una terna positivamente orientada de vectores aibj = ij, i, j = 1, 2, 3 Los vectores b1b2b3 son los únicos con la propiedad c) Si { a1,a2,a3} es una terna positivamente orientada de vectores unitarios ortogonales dos a dos, entonces b1 = a1, b2 =a2 y b3 = a3

a) [b1b2b3] = b) c) d) e)...