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Ejercicios resueltos...

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Instituto Tecnológico superior Huaquillas Redes y Telecomunicaciones

Nombres: Enrriques Eduardo Curso: 1° Redes y Telecomunicaciones “A” Tema: Vectores ¿Qué es un vector? Un vector es la representación gráfica de una magnitud física llamada magnitud vectorial, inscrito dentro de un formato de plano cartesiano. Las magnitudes vectoriales tienen tres componentes: la cantidad, la dirección y el sentido. Algunas de estas magnitudes, son el desplazamiento (recorrido o distancia), la velocidad y la fuerza. Con vectores también se representa la interacción de dos o más magnitudes vectoriales, para obtener y representar el resultado final de esa interacción. Unidades escalares y Unidades Vectoriales Unidad escalar y vectorial. Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con un número y una unidad. Por ejemplo, una masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su magnitud representada por el número (para el caso, 30 es la magnitud) y las unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades son escalares. Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad.

Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades deben tener las mismas unidades para poder operarse. 30 kg + 40 kg = 70 kg 20 s + 43 s = 63 s Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.

Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además se debe especificar una dirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son vectoriales. Definición: Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección. Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores. Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su dirección y sentido: "una velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco de referencia determinado (los puntos cardinales).

Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad, aceleración, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento entre otras.

Existen diferentes formas de expresar una cantidad vectorial. Una de ellas es la forma polar, que se escribe como un par de coordenadas, en las cuales denotan su magnitud y su dirección. Por ejemplo, La velocidad (30 m/s, 60º), quiere decir "velocidad de 30 m/s a 60º desde el origen del marco de referencia dado". Características de un vector Magnitud. La magnitud es el fenómeno físico medible que se representa con el vector. Cantidad. La cantidad, también conocida como intensidad o módulo, son las unidades de medidas representadas mediante la longitud del vector desde el punto de origen hasta la punta. Espacio vectorial. También llamado espacio euclideo, es el tipo de plano cartesiano sobre el que se traza el vector y en el que se indica su dirección. Puede ser unidimensional (Eje X, recta numérica), bidimensional (Ejes XY, coordenadas cartesianas) y tridimensional (Ejes XYZ, trazo espacial). Dirección. La dirección es la característica del vector que indica el plano sobre el que actúa la magnitud de la cual se está tratando. Puede ser en cualquiera de los planos Euclidianos tridimensionales (Ejes XYZ). Cuando se trata de magnitudes que actúan en una misma dirección, generalmente se representan sobre el eje horizontal del plano cartesiano (Eje X), usualmente representado como un segmento de recta numérica, y sobre el que se representan unos sobre otros, cada uno de los vectores. Sentido. Como en la recta numérica, el sentido es determinado desde el punto de origen indicando en qué dirección se está aplicando la magnitud de que se trate. Cuando actúa en una sola dirección, (Eje X) el sentido se expresa en sentido positivo o negativo. Cuando actúa en dos planos (ejes X y Y), su sentido puede expresarse en forma de coordenadas de un plano cartesiano (XY), o bien, como movimientos en un sistema de

coordenadas de puntos cardinales (norte, sur, nororiente), o bien, una combinación de ambos. En los casos de vectores tridimensionales, la dirección se indica del punto de origen al punto de llegada, con una representación de coordenada espacial (XYZ). Punto de origen y extremo. El punto de origen, también llamado punto de aplicación o simplemente origen, es el punto a partir del cual se traza el vector, generalmente marcado con un punto o un pequeño círculo. El extremo es el final del trazo del vector, y se representa con la punta de una flecha. Trazo. Un vector siempre se representa como un segmento de recta, que tiene su origen en el punto de aplicación y termina en el extremo. Resultante. La resultante es el vector que se traza desde el punto de origen de un vector hasta el extremo del último vector trazado, cuando cada segmento representa la continuidad de una magnitud (como sucede en la representación de un móvil que cambia varias veces de dirección. En estos casos pueden sumarse vectores que van en una u otra dirección, y la resultante será la distancia total recorrida, que es el vector que se traza desde el punto de origen hasta el extremo del último trazo). También se llama resultante al vector que representa la magnitud final que se obtiene cuando interactúan dos vectores con dirección y sentidos diferentes, y con un mismo punto de aplicación o punto de origen. (Esto sucede cuando, por ejemplo, amarramos dos hilos en el mismo punto de un objeto colocado en la esquina de una mesa y luego comenzamos a jalar cada hilo a una esquina diferente de la mesa; el resultado será que el objeto se moverá diagonalmente sobre la mesa; este movimiento diagonal variará en relación a la fuerza aplicada en cada uno de los hilos. El trazo de este movimiento diagonal, será la resultante).

Representación de vectores (2D) Gráficamente, un vector se representa como una flecha ubicada en un eje de coordenadas. En esta flecha podemos identificar cada uno de los elementos que lo conforman y que estudiamos en el apartado anterior, además de algunos más.

Tienen un punto desde el que nace la flecha llamado origen o punto de aplicación.

De igual forma, tienen otro punto donde termina la flecha llamado extremo. La recta sobre la que "descansan" los puntos de extremo y origen se denomina dirección o recta soporte. La distancia entre el punto origen y extremo corresponde con su módulo. A mayor distancia entre ellos, el módulo será mayor. La punta de la flecha determina su sentido, dentro de los dos posibles que se podría dibujar siguiendo su dirección, es decir hacia un lado de la recta o hacia el otro. Experimenta y Aprende Representación de un vector Desliza los puntos origen y extremos del vector a→ y comprueba como puedes cambiar su módulo, su dirección y su sentido. Observa que al acercar los puntos origen y extremo el módulo del vector, que se expresa como ∣∣a→∣∣, disminuye. ¿Qué ocurre si los alejas?. NOTA. Los puntos discontinuos no se suelen dibujar, los representamos aquí para que puedas ver más clara la dirección del vector. Representación Analítica Todo vector se puede expresar como la suma de otros vectores que sirven de patrón o referencia. Estos vectores reciben el nombre de vectores unitarios ya que su módulo vale 1 (módulo unitario). En concreto se emplean: i→ o ux−→es un vector unitario en la dirección del eje X

j→ o uy→es un vector unitario en la dirección del eje Y

Como se muestra en el ejemplo anterior, hemos obtenido una forma de representar analíticamente un vector a partir de su gráfica. A continuación, puedes encontrar otras formas de representación posibles. De esta forma, un vector a→ con origen en el punto A = (Ax,Ay) y extremo en el punto B = (Bx,By) se puede representar analíticamente de la siguientes formas:

a→= ax ⋅ i→+ay ⋅ j→

a→= ax ⋅ ux−→+ay ⋅ uy→

donde axy ay reciben el nombre de componentes cartesianas del vector y se calculan de la siguiente forma: ax=Bx−Ax ay=By−Ay

a→= (ax,ay)

Módulo de un Vector Las coordenadas cartesianas (ax y ay) son muy importantes, ya que a partir de ellas es posible calcular el módulo y dirección del vector. Este último, teniendo en cuenta el ángulo αformado entre el vector y el semieje X positivo (o por el ángulo βformado entre el vector y el semieje Y negativo).

Módulo y coordenadas de un vector Si aplicamos el teorema de pitágoras, podemos deducir que ∣∣a→∣∣=a=ax2+ay2−−−−−−−−√ Además, si aplicamos las definiciones del seno y del coseno, podemos obtener otra forma de calcular las componentes cartesianas. ax= a ⋅ cos(α) = a ⋅ sin(β) ay= a ⋅ sin(α) = a ⋅ cos(β)

Tipos de vectores

VECTORES UNITARIOS

Son aquellos vectores que tienen por módulo la unidad (1). Generalmente se les denotan con un acento circunflejo (comúnmente llamado “sombrerito”), “^”. Ejemplo: Los vectores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos x, y, z, se designan generalmente por los vectores unitarios î, ĵ, k.

VECTORES OPUESTOS Se llama vector opuesto de uno dado, a otro vector que tiene el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido opuesto.

Ejemplo:

El opuesto es

El vector opuesto a es – A = (-Ax, -Ay), es decir: A=–A

VECTORES EQUIPOLENTES O IGUALES Se llama vector equipolente de uno dado, a otro vector que tiene el mismo módulo y la misma dirección y sentido.

Operaciones con vectores por el método gráfico Suma Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial. La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:

(1) Use una misma escala para las magnitudes. (2) Trace uno de los vectores, digamos V1 (3) Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta. (4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo. Este método se llama suma de vectores de cola a punta. Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante. Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V1, V2, y V3 representados a continuación:

VR = V1 + V2 +V3 es el vector resultante destacado con línea gruesa. Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

2.- Resta de Vectores Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

La diferencia de dos vectores A y B se define como A - B = A + (-B) De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

3.- Multiplicación de un Vector por un Escalar Se puede multiplicar un vector V por un escalar c. Se define este producto de tal manera que cV tenga la misma dirección que V y tenga la magnitud cV. Si c es positivo, no afecta el sentido. Si c es negativo, el sentido es exactamente opuesto a V.

Operaciones con vectores de forma analítica Suma de Componentes La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones. Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial Vx y sobre el eje y la componente vectorial Vy. Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelógramo. Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y. Notar también que Vy = Vsen y Vx = Vcos • Suma de Vectores Unitarios Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Problema Ilustratorio El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método analítico. Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto. Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando unitarios, tenemos: R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se denota y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo . A = 20 km j, (apunta hacia el Norte). B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i y j ) B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj Luego, R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i. La magnitud se obtiene de 2

= (37.5km)2 + (30.3km)2

= 48.2 km

Pitágoras Un vector fijo (extremo).

es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B

Elementos del vector Dirección: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido:El sentido del vector Modulo de un vector El modulo de un vector (valor absoluto).

es el que va desde el origen A al extremo B.

es la longitud del segmento AB, se representa por

Nota: "El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero". Coordenadas de un vector El modulo de un vector también se puede representar mediante coordenadas utilizando el sitema algebraico (x, y) = A (x1, y1) y B (x2, y2); ejemplo. Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son: A(x1, y1) B(x2, y2) Las coordenadas del vector menos las coordenadas del origen.

son las coordenadas del extremo

A(2, 2) B (5, 7) =(y2-x1, y2-y1) =(5-2, 7-2) =(3,5) Es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo. Es la relación entre los lados de los ángulos de un triángulo oblicuo (triangulo no rectángulo) con sus lados. La ley de senos establece que la razón entre la longitud de cada lado del triángulo y el seno del ángulo opuesto es siempre la misma. Esta ley aplica cuando se conocen: 

Dos ángulos interiores del triángulo y uno de sus lados



Dos lados del triángulo y el ángulo opuesto de cualquiera de los lados

Conclusión: Para describir las magnitudes físicas vectoriales se utilizan herramientas del cálculo vectorial. Los vectores – segmentos orientados – se caracterizan por su valor numérico o módulo, dirección y sentido.

Bibliografía: Aguilar, M. (2014) Fisic.ch. Todo acerca de vectores. Recuperado de https://www.fisic.ch/contenidos/elementos-matemáticos-básicos/vectores/...