VI Espai - la vida es dura pero mas dura es mi verdura pinche pelotudo weon me gustaz no PDF

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la vida es dura pero mas dura es mi verdura pinche pelotudo weon me gustaz no qiero pagar pero eso es de pobles jej...

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EXPRESSIÓ GRÀFICA I DAO I

Geometría del Espacio Departament d’Expressió Gràfica a l’Enginyeria

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Objetivo de la Geometría: – Estudio de las formas geométricas y en particular la medida de su extensión

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Geometria del Espacio: – Parte relativa a figuras situadas en cualquier posición del espacio

Geometría del espacio EGE - EUETIB - UPC

z Formas

geométricas

formas geométricas fundamentales : punto, la recta y el plano, de las que se derivan las:

z Las

complejas: segmentos, polígonos, arcos, curvas, poliedros, etc..

z Formas

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Elementos – Puntos (0D) – Líneas (1D) - recta – Superficies (2D) - plano – Cuerpos (3D)

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Puntos (0D)

El punto es un lugar en el espacio, sin extensión.

Líneas (1D) - recta

A la línea se le atribuye una sola dimensión, longitud de una línea. La línea es un conjunto infinito de puntos.

Superficies (2D) - plano

A la superficie se le atribuyen 2 dimensiones, longitud y anchura de una superficie. Podemos imaginar infinitas líneas suficientemente próximas para llenarla. Una superficie contiene infinitos conjuntos de líneas (de infinitos puntos). Se puede considerar doblemente infinito de puntos.

Cuerpos (3D)

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A los cuerpos se le atribuyen 3 dimensiones , longitud, anchura y altura. Puede considerarse un conjunto triplemente infinito de puntos.

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Un cuerpo es una porción de espacio limitada por superficies

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Las líneas son los límites de las superficies

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La línea más sencilla es la línea recta. – La línea recta es el camino más corto entre 2 puntos. – Por dos puntos puede pasar siempre una recta y no puede pasar más que una. – Dos rectas que tienen 2 puntos comunes coinciden en toda su extensión. – Dos rectas diferentes no pueden tener más que un punto en común.

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recta

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La superficie más sencilla es el plano. – Cualquier recta que pasa por 2 puntos de un plano está contenida en él. – El plano es una superficie infinita que divide al espacio en 2 regiones de las cuales es el límite común. – Por 2 puntos o 1 recta pasan una infinidad de planos. – Por 3 puntos que no estén en línea recta pasa un plano y sólo uno.

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plano

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La superficie más sencilla es el plano. – Por un punto y una recta exterior a él pasa un plano y sólo uno. – Por dos rectas que se cortan pasa un plano y sólo uno. – Si 2 planos tienen 1 punto en común también tienen una recta en común. – La intersección de 2 planos es una recta. – La intersección de 3 planos es un punto.

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plano

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Puntos impropios – Llamamos rectas paralelas a 2 rectas situadas en el mismo plano y que no tienen ningún punto en común. (…por un punto exterior a una recta puede trazarse una sola recta paralela a la misma.) – La recta tiene sólo un punto en el infinito y, en consecuencia, debemos considerar la recta como una línea cerrada por su punto del infinito o punto impropio.

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plano

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Rectas impropias – Si consideramos un plano cualquiera y las infinitas rectas posibles sobre él, cada una de ellas tiene un solo punto de ella en el infinito. (y por consiguiente del plano) – El lugar geométrico de los puntos del infinito del plano será tal que debe de ser cortado por una recta arbitraria del plano según un punto. Así pues, será una recta, que se denomina recta impropia del plano.

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plano

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Plano impropio – Si consideramos el espacio ilimitado, el lugar geométrico de sus puntos en el infinito debe ser tal, que ha de ser cortado por una recta cualquiera en un solo punto, y por un plano cualquiera según una recta.

– Los puntos del infinito del espacio forman el plano impropio del espacio.

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plano

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Posiciones relativas de recta y plano – A) La recta está en el plano – B) La recta y el plano se cortan – C) La recta y el plano son paralelos

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Posiciones relativas de recta y plano

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La recta tiene 2 puntos en común con el plano – A - la recta está en el plano

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Posiciones relativas de recta y plano

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La recta tiene 2 puntos en común con el plano Imponer que una recta esté en un plano dado

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Posiciones relativas de recta y plano

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La recta tiene 2 puntos en común con el plano Comprobar si una recta está en un plano dado

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Posiciones relativas de recta y plano

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La recta tiene 1 punto en común con el plano – B) la recta y el plano se cortan

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Posiciones relativas de recta y plano

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La recta tiene 1 punto en común con el plano Punto de intersección de una recta y un plano

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Posiciones relativas de recta y plano

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La recta no tiene ningún punto propio en común – C) la recta y el plano son paralelos

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Posiciones relativas de recta y plano

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La recta no tiene ningún punto propio en común Imponer que una recta sea paralela a un plano

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Posiciones relativas de recta y plano

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La recta no tiene ningún punto propio en común Comprobar si una recta es paralela a un plano

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Posiciones relativas de recta y plano

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Posiciones relativas de 2 planos – A) Los dos planos se cortan – B) Los dos planos son paralelos

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Posiciones relativas de dos planos

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Los dos planos tienen una recta en común – los planos se cortan

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Posiciones relativas de dos planos

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Los dos planos tienen una recta en común Obtener la recta intersección de dos planos

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Posiciones relativas de dos planos

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Los dos planos tienen una recta en común Comprobar si dos planos se cortan

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Posiciones relativas de dos planos

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Los dos planos no tienen ningún punto propio en común – los planos son paralelos

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Posiciones relativas de dos planos

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Los dos planos no tienen ningún punto propio en común Obtener un plano paralelo a otro

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Posiciones relativas de dos planos

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Los dos planos no tienen ningún punto propio en común Comprobar si un plano es paralelo a otro

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Posiciones relativas de dos planos

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Posiciones relativas de 2 rectas – Las rectas se cortan – Las rectas son paralelas – Las rectas se cruzan

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas se cortan – tienen un punto propio en común – pertenecen al mismo plano

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas se cortan Punto de intersección de dos rectas

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas se cortan Comprobar si dos rectas se cortan

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas se cortan Determinar el plano definido por dos rectas

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas son paralelas – tienen un punto impropio en común – pertenecen al mismo plano

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas son paralelas Determinar una recta paralela a otra recta (en un plano)

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas son paralelas Determinar una recta paralela a otra recta (en el espacio)

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas son paralelas Comprobar si una recta es paralela a otra recta

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas se cruzan – no tienen ningún punto en común – no pertenecen a un mismo plano – no se cortan ni son paralelas Geometría del espacio EGE - EUETIB - UPC

definen una orientación (la de los planos paralelos que las contienen)

Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas se cruzan Determinar la distancia entre dos rectas

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas se cruzan Determinar la distancia entre dos rectas (ERROR)

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Posiciones relativas de dos rectas

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Las rectas se cruzan Determinar la distancia entre dos rectas (conversión a ejes)

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Posiciones relativas de dos rectas

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Angulo de dos rectas

Se llama ángulo entre dos rectas r y s, el ángulo que determinan 2 rectas paralelas a las dadas, pasando por un mismo punto del espacio, r1 y s1.

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Angulos

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Ángulo de dos rectas

Se dice que 2 rectas no situadas en el mismo plano son perpendiculares cuando su ángulo es recto. – Cuando 2 rectas son perpendiculares entre sí, toda paralela a una de ellas es perpendicular a la otra. – Dadas 2 rectas que se cruzan, existe una recta, y sólo una, perpendicular a ambas y que las corte. (Por lo tanto también una dirección)

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Ángulos

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Angulo de dos rectas Determinar el ángulo de dos rectas

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Angulos

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Angulo de recta y plano – Es el ángulo que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano

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Ángulos

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Angulo de recta y plano Determinar el ángulo de recta y plano (directamente)

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Angulos

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Ángulo de recta y plano Determinar el ángulo de recta y plano

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Angulos

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Rectas y planos paralelos entre sí (I) – Por un punto exterior a una recta se puede trazar una sola recta paralela a ella – Por un punto exterior a un plano se pueden trazar infinitas rectas paralelas al plano

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Angulos

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Rectas y planos paralelos entre sí (II) – Por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitos planos paralelos a la recta – Por un punto exterior a un plano se puede trazar un solo plano paralelo a él

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Angulos

z rectas

y planos paralelos I

Si por una recta paralela a un plano se traza un plano que lo corte, la intersección de los 2 planos es paralela a la recta. Si 2 planos paralelos son cortados por otro plano cualquiera, las intersecciones respectivas son 2 rectas paralelas. Si 2 rectas son paralelas, todo plano que contenga a la 1ª o que le sea paralelo contendrá a la 2ª o será paralelo a ella. Si 2 rectas son paralelas, toda recta paralela a la 1ª lo es también a la 2ª , o coincide con ella. O bien, 2 rectas paralelas a una 3ª son paralelas entre si.

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Posiciones relativas de dos planos

z rectas

y planos paralelos II

La intersección de 2 planos paralelos a una misma recta es paralela a esa recta. La intersección de 2 planos que pasan por 2 rectas paralelas es paralela a ellas. Si 2 planos son paralelos, toda recta que corta al 1º, corta también al 2º. Si 2 planos son paralelos, todo plano que corte al 1º, corta también al 2º. Si 2 planos son paralelos, toda recta paralela al 1º, o contenida en él, es paralela al segundo, o está contenida en él. Si 2 planos son paralelos, todo plano paralelo al 1º lo es también al 2º o coincide con él.

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Posiciones relativas de dos planos

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Rectas y planos perpendiculares entre sí (I) – Si una recta y un plano son perpendiculares, la recta es perpendicular a todas las rectas del plano – Para que una recta sea perpendicular a un plano, es suficiente que lo sea a dos rectas no paralelas situadas en el plano, o paralelas a él Geometría del espacio EGE - EUETIB - UPC

Angulos

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Rectas y planos perpendiculares entre sí Determinar una recta perpendicular a un plano (conocida la entidad plano)

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Angulos

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Rectas y planos perpendiculares entre sí

Recta perpendicular a un plano (dado por dos rectas del plano)

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Angulos

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Rectas y planos perpendiculares entre sí (II) – Por un punto dado siempre se puede trazar un plano, y sólo uno, perpendicular a una recta

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Angulos

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Rectas y planos perpendiculares entre sí (II) Determinar un plano perpendicular a una recta

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Angulos

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Rectas y planos perpendiculares entre sí (III) – Por un punto dado siempre se puede trazar una recta y sólo una, perpendicular a un plano

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Angulos

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Rectas y planos perpendiculares entre sí (III) – El lugar geométrico de las perpendiculares que se pueden trazar a una recta dada, por un punto, es el plano perpendicular a la recta que pasa por este punto – El lugar geométrico de los puntos del espacio equidistantes de los extremos de un segmento es el plano perpendicular a él por su punto medio Geometría del espacio EGE - EUETIB - UPC

Angulos

z

Si dos rectas son perpendiculares entre sí (en el espacio) y una de ellas es paralela al plano de proyección, sus proyecciones ortogonales sobre el plano son perpendiculares

3P

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Angulos

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Si desde el pie (B) de la perpendicular (AB) a un plano se traza la perpendicular (BC) a una recta (r) cualquiera del plano, la recta que une C con un punto cualquiera de AB es perpendicular a r

3P

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Angulos

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Rectas particulares – // PH: horizontal – // PV: frontal – // PP: de perfil – ⊥ PH: vertical – ⊥ PV: de punta – ⊥ PP: perpendicular al PP Geometría del espacio EGE - EUETIB - UPC

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Planos particulares – // PH: horizontal – // PV: frontal – // PP: paralela al PP – ⊥ PH: vertical – ⊥ PV: de canto – ⊥ PP: perpendicular al PP Geometría del espacio EGE - EUETIB - UPC...