Viga hiperestática ejercicio 3 - Método de doble integración PDF

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Resolución de un ejercicio de una viga hiperestáticas, usando las ecuaciones de la estática, junto con el método de doble integración para hallar las reacciones...

Description

7/30/2020

Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

EJERCICIO

3

Una viga AB doblement e empotr ada está car gada por una fuer za P que actúa en un punt o intermedio D. Encont r ar las fuer zas y los momentos r eactivos en los empotr amientos de la viga empleando el mét odo de super posición. Además, deter minar la deflexión en el punto D donde se aplica la car ga. 

A

B

D



 a



1

b L



Bernardo Romero Hidr ovo Ingeniero Civil, MBA

Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

SOLUCIÓN

Esta viga tiene cuatr o r eacciones desconocidas ( una fuer za y un momento en cada empot r amiento) , pero sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibr io independiente. Por tanto, la viga es est áticamente indet er minada de segundo gr ado. En este ejemplo se selecciona los momentos r eactivos    como los redundantes. 2

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

Ecuaciones de equilibrio.

Las dos fuer zas de r eacción desconocida (    ) se pueden expr esar en t ér minos de las r edundantes (    ) con la ayuda de dos ecuaciones de equilibr io. La pr imera ecuación es par a momentos con r especto al punt o B y la segunda es par a momentos con r especto al punto A . Las expr esiones r esultantes son:

 =

   − +   

 = 1

   + −   

2

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

Ecuaciones de compatibilidad y nomenclatura

1. Cuando las dos r edundantes ( los momentos en los empot r amientos) se liber an, al eliminar las r est r icciones r otacionales en los extr emos de la viga, queda una viga simple como est r uct ur a liber ada. 





























Viga doblemente empotrada con una carga concentrada. 4

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio 10.4



2. Los ángulos de r otación en los ext r emos

de la estr uctur a liber ada debidos a la car ga concent r ada P se denot an     . 







3. De maner a similar , los

ángulos en los ext r emos debidos a la r edundant e  se denotan      y los ángulos debidos a la r edundant e  se denot an      .



5

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 















Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

Como los ángulos de r otación en los empotr amientos de la viga or iginal son iguales a cero, las dos ecuaciones de compatibilidad son

 =





− 



− 



 =





− 



− 



= 0 = 0

3

4

Nótese que en estas expresiones ya constan los signos que evidentemente tendrán los giros por los momentos en los extremos.

en donde los signos de los var ios t ér minos se det er minan por inspección de las figur as.

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Relaciones fuerza-desplazamiento Los ángulos en los ext r emos de la viga debidos a la car ga P, se obt ienen del caso 5 de tabla G.2:





=

 (  + ) 6



=

 (  + ) 6

en donde a y b son las dist ancias desde los apoyos hasta el punt o D donde se aplica la car ga. Bernardo Romero Hidr ovo Ingeniero Civil, MBA

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

Además, los ángulos en los extr emos debidos al momento r edundante  son:



8



=

  3



=

  6

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

De maner a similar, los ángulos debidos al moment o  son:





=

  6



=

  3 

Reacciones.

Cuando las expr esiones ant er ior es par a los ángulos se sust it uyen en las ecuaciones de compatibilidad, se llega a dos ecuaciones simult áneas que contienen    como incógnitas:

 =





− 



− 

 =





− 



− 

Ecuaciones de compatibilidad

 

= 0 = 0

     (  + ) + = 3 6  6      (  + ) + = 6 6 3 

5

6

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

 Al despejar los r edundantes, obt enemos     =  =  

7

 Se sustit uye est as expr esiones par a  y  en las ecuaciones de equilibr io y se obt iene las r eacciones vert icales:

   − +  1       = + −  2  

 =

Ecuaciones de equilibrio

10

  =  (  + 2) 

  =  (  + 2) 

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 De est a maner a se ha determinado todas las r eacciones par a la viga doblemente empot r ada. Bernardo Romero Hidr ovo Ingeniero Civil, MBA

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

Las r eacciones en los sopor tes de una viga con extr emos empotr ados suelen denominar se momentos de empotramiento y fuerzas de empotramiento y son de uso común en el análisis estr uctur al, por lo que las fór mulas par a estas cantidades se encuentr an en manuales de ingeniería. Deflexión en el punto D Para obt ener la deflexión en el punto D en la viga

doblemente empotr ada , de nuevo se utiliza el pr incipio de super posición.

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

La deflexión en el punto D es igual a la suma de t r es deflexiones: 

1. La deflexión hacia abajo   en el punt o D de la est r uctur a liberada debida a la car ga P



2. La deflexión hacia arriba   en el mismo punto de la est r uctur a liber ada debida a la r edundant e 







  12







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3. La deflexión hacia arr iba   en el mismo punto de la est r uctur a liberada debida a la r edundant e 

 







Est a super posición de deflexiones se expr esa por la ecuación siguient e:

 =





− 



− 



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En donde  es la deflexión hacia debajo de la viga original.

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Vigas Estáticamente Indeter minadas Ejercicio3

Las deflexiones que apar ecen en la ecuación ( 9) se pueden obt ener con las fór mulas de la tabla G.2 del apéndice G , haciendo sust it uciones apr opiadas y simplificaciones algebr aicas. Los r esult ados de est as manipulaciones son los siguient es:

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



=

   ; 3

  =

  +  ; 6 



=

  +  6

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Al sustit uir las expr esiones par a    de las ecuaciones ( 7) en las últ imas dos expresiones, se obt iene:





  = +  ; 6  

  (  + )   = 6  

Por tanto, la deflexión en el punto D en la viga or iginal, obt enida sustit uyendo  ,   y   en la ecuación 7 y simplificando, es:

   = 3   16

( 1 0)

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El mét odo descr it o en este ejemplo par a det erminar la deflexión  se puede emplear no sólo par a encont r ar deflexiones en punt os individuales, sino t ambién par a determinar las ecuaciones de la cur va de deflexión. Carga concentrada que actúa en el centro del claro de la viga.

Cuando la carga P act úa en el cent r o del claro C , las r eacciones de la viga ( de las ecuaciones 7 y 8 con a = b = L/ 2) son:

 =  =

 8

 =  =



( 1 1)

2

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 Además, la deflexión en el cent r o del clar o ( de la ecuación 10 ) es:

 =

 192 

( 1 2)

 Est a deflexión es solo una cuar ta par t e de la deflexión en el cent r o de una viga simplemente apoyada con las misma car gas, lo que demuest r a el efecto rigidizador de la sujeción de los ext r emos de la viga.

 Los r esultados ant erior es par a las r eacciones en los ext remos y las deflexiones en el cent r o ( ecuaciones 11 y 12 ) concuerdan con las deter minadas en el ejer cicio 2 al r esolver la ecuación diferencial de la cur va de deflexión.

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Bibliografía Mecánica de Materiales.

James M. Ger e & Bar r y Goodno, Tabla G.2.

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